Т.Н. ГАРТМАН, Д.В. КЛУШИН  

Курс лекций

"КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ"

Под общей редакцией д.т.н. проф. Т.Н. Гартмана


Тема 07. Построение эмпирических статистических моделей ХТП

3.6.3. Оценка совместной доверительной области коэффициентов регрессии

 

 

Отношение дисперсии рассчитанной величины выходной переменной  y   к остаточной дисперсии подчиняется распределению Фишера  ( F ) с доверительной вероятностью β, и условием их малой различимости является:

 

 

 

 

 

В соответствии с логикой рассматриваемого анализа эти величины должны мало различаться, и граница области, где это условие выполняется, задаётся уравнением:

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

Величина- значение критерия, полученное при реализации программы минимизации.

 

Значение SSy  можно заменить матричным произведением:

 

 

 

 

 

т.к. и

 

Подставляя матричное произведение вместо SSy, получается квадратичная форма вида:

 

 

 

 

 

Геометрической интерпретацией этой квадратичной формы является эллипсоид, оси которого пропорциональны собственным значениям матрицы

 

определяемой из характеристического уравнения вида:

 

 

 

Для двух коэффициентов a0  и a1  получается эллипс вида:

 

 

 

 

Получена совместная доверительная область для коэффициентов (здесь a0  и a1 ) в линейной модели. Её можно сравнить с прямоугольником, образованным оценками доверительных интервалов коэффициентов регрессии (64).

 

Длинная, вытянутая доверительная область (собственные значения матрицы    существенно отличаются) указывает на то, что коэффициенты сильно коррелированны и значения коэффициентов плохо оценены.

 

Результатом высокой корреляции коэффициентов является то, что неправильно оцененное значение одного из коэффициентов можно сбалансировать при проведении подгонки компенсирующим исправленным значением другого параметра. В результате подгонка даёт почти столь же хороший результат, как и результат, получаемый при использовании наилучших оценок.

 

Поверхность суммы  ( Cr ) квадратов задаётся уравнением:

 

 

Источник
Назадвперед