Содержание

1. Введение (465).

2. Вейвлеты для начинающих (467).

3. Основные понятия и вейвлеты Хаара (469).

4. Многомасштабный анализ и вейвлеты Добеши (472).

5. Быстрое вейвлет-преобразование и койфлеты (475).

6. Выбор вейвлета (476).

7. Многомерные вейвлеты (478).

8. Преобразование Фурье и вейвлет-преобразование (479).

9. Вейвлеты и операторы (481).

10. Нестандартное матричное умножение (482).

11. Регулярность и дифференцируемость (483).

12. Дважды микролокальный анализ (484).

13. Вейвлеты и фракталы (487).

14. Дискретизация и устойчивость (488).

15. Некоторые применения (490).

15.1. Физика.

15.2. Авиация (турбины).

15.3. Медицина и биоло­гия.

15.4. Сжатие данных.

15.5. Фокусировка микроскопа.

16. Заключение (498).

17. Приложение (499).

17.1. Многомасштабный анализ.

17.2. Операторы Калдерона — Зигмунда.

17.3. Связь с разложением Литтлвуда —Пали.

Список литературы (500).

1. Введение

Вейвлеты стали необходимым математическим инстру­ментом во многих исследованиях. Их используют в тех случаях, когда результат анализа некоего сигнала' должен содержать не только простое перечисление его характерных частот (масштабов), но и сведения об определенных локальных координатах, при которых эти частоты проявляют себя. Таким образом, анализ и обработка нестационарных (во времени) или неоднород­ных (в пространстве) сигналов разных типов предста­вляют собой основное поле применений вейвлет-ана-лиза. Общий принцип построения базиса вейвлет-преоб­разования состоит в использовании масштабного преобразования и смещений. Любой из наиболее часто применяемых вейвлетов порождает полную ортонорми-рованную систему функций с конечным носителем, построенных с использованием масштабного преобра­зования и сдвигов. Именно за счет изменения масштабов вейвлеты способны выявить различие в характеристиках на разных шкалах, а путем сдвига проанализировать свойства сигнала в разных точках на всем изучаемом интервале. В силу свойства полноты этой системы возможно сделать обратное преобразование. При ана­лизе нестационарных сигналов за счет свойства локаль­ности вейвлеты получают существенное преимущество перед преобразованием Фурье, которое дает нам только глобальные сведения о частотах (масштабах) исследуе­мого сигнала, поскольку используемая при этом система функций (синусы, косинусы или комплексные экспо­ненты) определена на бесконечном интервале 2 . Однако, как мы увидим в дальнейшем, используются и более общие определения вейвлетов и их разные модифика­ции, допускающие применение довольно широкого класса функций. Согласно И. Мейеру [1], "вейвлет-базисы обладают универсальной применимостью: "все, что попадается под руку", будь то обычная или обобщен­ная функция, представимо в виде вейвлет-ряда, и, в отличие от ситуации с рядами Фурье, коэффициенты вейвлет-рядов передают свойства функции или распреде­ления просто, точно и надежно".

Литература, посвященная вейвлетам, весьма об­ширна, и нетрудно получить огромное количество ссы­лок на нее, послав соответствующий запрос в Интернет. Математические проблемы подробно рассмотрены во многих монографиях (см., например, [1 — 5]). Вводные курсы по вейвлетам читатель может найти в книгах [6 -9]. Прекрасная обзорная статья, ориентированная на начинающих заниматься этим предметом и интересую­щихся его применением, с демонстрацией вейвлет-преоб-разований некоторых сигналов, была опубликована в этом журнале около четырех лет тому назад [10] и вызвала широкий интерес. Однако в ней были рассмот­рены в основном лишь непрерывные вейвлет-преобразо-вания, а дискретные упомянуты только вскользь 3 . Такой выбор был продиктован тем, что непрерывные вейвлеты допускают несколько более наглядное и зрелищное представление результатов анализа данного сигнала в виде локальных максимумов и скелетонных графиков вейвлет-коэффициентов при непрерывных переменных.

В то же время в основной своей массе статьи, касающиеся практического использования вейвлет-пре-образования, содержат результаты расчетов, в которых применяются дискретные вейвлеты. Именно они и будут являться предметом этой статьи. Такое предпочтение, отдаваемое дискретным вейвлетам, связано с тем, что обычно используемые базисы на основе непрерывных вейвлетов не являются, строго говоря, ортонормирован-ными, поскольку элементы базиса бесконечно дифферен­цируемы и экспоненциально спадают на бесконечности, что противоречит строгой ортонормируемости. С дис­кретными вейвлетами этих проблем не возникает. В силу этого дискретные вейвлеты приводят обычно к более точному преобразованию и представлению сигнала и в особенности к его обратному восстановлению после процедуры сжатия. Более того, они лучше подходят для теории и практики передачи информации. Эти замечания отнюдь не означают, что мы настаиваем на использова­нии только дискретных вейвлетов для анализа сигналов. Наоборот, иногда непрерывные вейвлеты приводят к более ясным и аналитически представимым результа­там при анализе сигналов, нежели дискретные вейвлеты.

Выбор конкретного вейвлета, будь то дискретный или непрерывный, зависит от данного анализируемого сиг­нала. Разные функции удается анализировать тем или иным способом, и критерием успеха обычно является простота получаемого разложения. Интуиция и практи­ческий опыт исследователя оказываются при этом решающим фактором. В качестве аналога зачастую приводится пример с использованием систем исчисле­ния. Применение десятиричной либо двоичной системы, либо системы с натуральным логарифмом в качестве основания определяется удобством и традициями. Однако применение римских цифр, например, оказы­вается абсолютно исключенным, когда начинают иметь дело с умножением чисел. В то же время решение разных задач и их графическое представление может потребо­вать больших или меньших усилий в зависимости от правильности выбора соответствующей системы, и наша интуиция при этом играет важную роль.

Программы, в которых употребляются вейвлеты, находят широкое применение не только в научных разработках, но и в чисто коммерческих проектах. Некоторые из них уже описаны в книгах (см., например, [11]). В то же время прямой переход от чистой матема­тики к компьютерным программам и практическим приложениям отнюдь не тривиален и зачастую требует как индивидуального подхода к изучаемой задаче, так и правильного выбора используемого вейвлета. Наша основная цель здесь состоит в том, чтобы описать подходящим способом тот "мост", который соединяет математическое конструирование вейвлетов и построе­ние базисов вейвлет-преобразований с практической обработкой сигналов. Именно практические приложе­ния, рассмотренные А. Гроссманом и Ж. Морле [12, 13], привели к быстрому прогрессу в теории вейвлетов, связанному с работами И. Мейера, И. Добеши и др.

Дискретные вейвлеты выглядят вначале несколько необычными для тех, кто привык иметь дело с аналити­ческими вычислениями, потому что они не могут быть записаны в аналитической форме (кроме простейшего из них) или же представлены в виде решений каких-то дифференциальных уравнений, а характеризуются набо­ром численных коэффициентов в некоторых функцио­нальных уравнениях, содержащих изменение масштаба и сдвиг аргументов. Более того, в практических вычи­слениях конкретная форма вейвлетов даже не выписы­вается, а используются только величины этих коэффи­циентов функциональных уравнений. Вейвлет-базис задается с помощью итерационного алгоритма с измене­нием масштаба и сдвигом единственной функции. Это приводит к исключительно важной процедуре много­масштабного анализа, который в свою очередь делает возможными быстрые численные расчеты локальных характеристик на разных масштабах. Каждая шкала содержит независимую неперекрывающуюся информа­цию о сигнале в виде вейвлет-коэффициентов, которые легко вычисляются с помощью итерационной про­цедуры, известной под названием быстрого вейвлет-преобразования. В совокупности они решают проблему полного анализа сигнала и соответственно существенно упрощают диагноз вызвавшего его процесса.

После того как такой анализ проведен, можно, если необходимо, сжать полученные данные, отбросив неко­торую несущественную часть закодированной информа­ции. Это делается с помощью так называемой процедуры квантования, в процессе которой обычно приписывают­ся разные весовые множители различным полученным вейвлет-коэффициентам. Это помогает, в частности, удалить некоторые статистические флуктуации и повы­сить роль динамических характеристик сигнала. В то же время это может привести к неправильному диагности­рованию, если сжатие информации проведено неакку­ратно. Аккуратно проведенная процедура приводит обычно к существенному сокращению необходимой компьютерной памяти и требований к передаче инфор­мации, а значит, и к заметному уменьшению расходов. Число нулевых моментов у вейвлетов играет важную роль на этом этапе. К сожалению, при сжатии неизбежно появляются систематические ошибки. Получающиеся погрешности пропорциональны величине отброшенных вейвлет-коэффициентов, и потому становится особенно существенным знание нерегулярностей в поведении сиг­нала. Конечно, качество воспроизводства сигнала после процедуры сжатия уже не может быть идеальным. Ясно, что эти две цели являются антагонистическими. Тем не менее обратное преобразование (синтез) все еще остает­ся достаточно устойчивым и воспроизводит наиболее важные характеристики начального исследуемого сиг­нала, если используются правильные методы. Свойства регулярности используемых вейвлетов становятся осо­бенно существенными на этапе восстановления сигнала. Искажения в реконструированном сигнале, возникаю­щие в результате квантования, можно сделать сравни­тельно небольшими даже при весьма заметном сжатии. Поскольку та часть сигнала, которая при этом не воспроизводится, часто является шумом, оказывается, что в результате такой операции мы избавляемся от шумовых помех. Именно на этом этапе преимущество дискретных вейвлетов проявляется особенно ярко.

Таким образом, задачи обработки сигналов состоят в точном преобразовании, эффективном сжатии, быстрой передаче и, наконец, аккуратном восстановлении началь­ного сигнала в точке его назначения. Иногда для решения поставленной задачи и достижения цели достаточно только первого этапа преобразования сигнала с после­дующей интерпретацией полученных результатов (диаг­ностикой).

Было доказано, что любую функцию можно пред­ставить в виде суперпозиции вейвлетов, и существует устойчивый численный алгоритм вычисления коэффи­циентов при таком разложении. Более того, эти коэффи­циенты полностью характеризуют функцию, и ее можно восстановить численно устойчивым способом непо­средственно по этим коэффициентам. Из-за их уни­кальных свойств вейвлеты нашли применение в функ­циональном анализе в математике, при изучении (мульти)фрактальных характеристик, сингулярностей и

сильных локальных осцилляции функций, для решения некоторых дифференциальных уравнений, в распознава­нии образов, при сжатии изображений и звука, при цифровой обработке геометрических объектов, для решения многих задач в физике, биологии, медицине, технике и других областях (см. недавно опубликованные книги [11, 14—17]). Этот список, конечно, неполон.

Следует, однако, подчеркнуть, что несмотря на мощь этого метода цели вейвлет-анализа довольно скромные. Он помогает распознать и описать некоторые дотоле скрытые характеристики сигнала, в частности, его сим­метрии, но не претендует на объяснение лежащей в их основе динамики и физической природы, хотя и может дать некоторые ценные указания в этом направлении. Вейвлеты предоставляют новые возможности в оптими­зации такого описания, поскольку во многих случаях дают нам наилучшее из известных представление сиг­нала. С помощью вейвлетов мы просто начинаем видеть привычные вещи несколько отчетливее. Для описания же динамики при обычном подходе разрабатываются модели процесса, которые по своей идее должны содер­жать основные механизмы, приводящие к наблюдаемым эффектам. С целью выявления оптимальных алгоритмов вейвлет-преобразования были разработаны некоторые (все еще дебатируемые) энергетические и энтропийные критерии. Они являются внутренними критериями по отношению к самим алгоритмам. Однако выбор наи­лучшего алгоритма обусловлен также объективно поста­вленной целью его практического применения, т.е. неко­торыми внешними критериями. Именно поэтому при практическом использовании того или иного "теорети­чески идеального алгоритма" необходимо проверить его работоспособность, подвергнув его всесторонней оценке экспертов и пользователей для выяснения его преиму­ществ по сравнению с использовавшимися ранее мето­дами.

Несмотря на очень активные исследования и полу­ченные впечатляющие результаты разнообразие подхо­дов при вейвлет-анализе наводит на мысль, что, воз­можно, эти исследования еще не вошли в завершающую стадию. Мы попытаемся описать ситуацию в ее status nascendi.

Основная часть этой обзорной статьи (разделы 2-14) посвящена описанию общих свойств вейвлетов и исполь­зованию вейвлет-преобразования в компьютерных рас­четах. Некоторые применения к решению разнообразных задач приведены в разделе 15.