2.9. Сравнение вейвлетов разного типа

Сейчас выбор вейвлетов довольно обширен. Как было только что показано, только в пакете Wavelet Toolbox 2.0/2.1 представлено полтора десятка базовых типов вейвлетов и множество вариантов для ряда базовых типов вейвлетов. Однако, необоснованное применение того или иного типа вейвлета способно привести к разочарованию. Поэтому ниже обобщены основные свойства вейвлетов раз­личного типа. Их учет позволяет подбирать наиболее подходящие типы вейвле­тов для решения конкретных задач обработки сигналов и изображений.

Такой выбор надо рассматривать как «пробу пера». Разумеется, при реше­нии серьезных задач в области обработки сигналов и изображений желательно применение хотя бы нескольких типов вейвлетов с последующим сравнением ре­зультатов и выбором наилучших из них.

2.9.1. Грубые ( Crude ) вейвлеты

К «грубым» вейвлетам относятся вейлеты Гауссова типа ( gaus ), Морле ( morlet ) и «мексиканской шляпы» ( mexihat ). Они обладают минимумом свойств, которыми должны обладать вейвлеты, обеспечивающие полноценные возмож­ности в технике преобразования сигналов:

• функция phi у них отсутствует;

• анализ не является ортогональным;

• psi не имеет компактного носителя;

• возможность реконструкции не гарантирована;

• возможна непрерывная декомпозиция;

• главные свойства: симметричность, функция psi задается явно;

• быстрые алгоритмы преобразований и точная реконструкция невозможны.

2.9.2. Бесконечные регулярные вейвлеты

К бесконечным регулярным вейвлетам принадлежат вейвлеты Мейера ( meyr ). Они имеют следующие свойства:

• имеют функцию phi и их анализ ортогональный;

• функции не определены явно psi и phi ;

• функции psi и phi не имеют компактного носителя;

• вейвлеты симметричны и регулярны в бесконечности;

• быстрый алгоритм преобразований не поддерживается.

У этих вейвлетов возможны следующие методы анализа:

• непрерывные преобразования;

• дискретные преобразования, но без FIR фильтров.

Еще один вейвлет этого типа — дискретный вейвет Мейера ( dmey ). Его свойства:

• аппроксимация фильтром класса FIR ;

• поддержка непрерывного и дискретного преобразований.

2.9.3. Ортогональные вейвлеты с компактным носителем

К этим вейвлетам относятся вейвлеты Добеши ( dbN ), Симлета ( symN ) и Койфлета ( coifN ). Их основные свойства:

• функция phi имеется и анализ относится к ортогональному типу;

• функции имеют определенное число моментов исчезновения;

• функции psi и phi имеют компактный носитель;

• возможны непрерывные преобразования и дискретные преобразования с при­менением быстрого вейвлет-преобразования;

• обеспечивается принципиальная возможность реконструкции сигналов и функций.

Некоторые трудности: недостаточная периодичность. Специфические про­блемы:

• вейвлеты dbN несимметричны;

• вейвлеты symN : близки с симметричным;

• вейвлеты coifN : отсутствие симметрии, функций phi и psi , наличие моментов исчезновения.

2.9.4. Биортогональные парные вейвлеты с компактным носителем

К ним относятся В-сплайновые биортогональные вейвлеты ( biorNr . Nd и rbioNr . Nd ). Они имеют следующие свойства:

• функция phi имеется, и анализ относится к биортогональному типу;

• обе функции psi и phi для декомпозиции и реконструкции имеют компакт­ный носитель;

• phi и psi для декомпозиции имеют моменты исчезновения;

• psi и phi для реконструкции могут иметь периодичность.

Возможные виды анализа: непрерывное преобразование и дискретное пре­образование с использованием алгоритма быстрого вейвлет-преобразования.

Наиболее существенные достоинства: симметрия с фильтрами, желаемые свойства для разложения и восстановления разделены, возможно их хорошее распределение. Наиболее существенные трудности: отсутствие ортогональности.

2.9.5. Комплексные вейвлеты

К комплексным относится довольно большая группа вейвлетов: Гаусса ( cgauN ), Морле ( cmorFb - Fc ), Шенона ( shanFb - Fc ) и частотные В-сплайновые вейвлеты ( fbspM - Fb - Fc ). Они обладают минимальными свойствами:

• функция phi отсутствует;

• анализ не ортогональный;

• функция psi не имеет компактного носителя;

• свойства реконструкции не гарантируются;

• возможен анализ типа комплексной декомпозиции.

Трудности применения: быстрый алгоритм и реконструкция невозможны.