ЭГерасимов ИГ ЭНТРОПИЯ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ЭНТРОПИЯ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

И. Г. Герасимов

НИИ медицинских проблем семьи Донецкого медицинского

университета им. М. Горького, 340048, Донецк

Благодаря интенсивно развиваемой в последние годы теории термодинамики необратимых процессов [7, 8] появляется возможность описания биологических объектов в терминах молекулярной физики. В настоящее время мы находимся в состоянии освоения этого нового подхода и осмысления вытекающих из него положений, когда живой организм в нашем восприятии находит свое место в целостной картине реального мира. Данная работа посвящена одному из аспектов биологических явлений - энтропии биологических систем, неразрывно связанной с биологическим возрастом организма.

Под биологической системой (биосистемой, организмом) будем понимать равновесную динамическую систему, способную к саморегулированию параметров состояния посредством производства, потребления и обмена энергией с внешней средой; под параметрами (параметрами состояния) - измеряемые или расчетные показатели, в том числе энергетические, характеризующие биосистему.

В биологии используется информационная энтропия (H) [11]:

H = - 7S 0P 4i 0log 42 0P 4i 0, (1)

5i=1

где P 4i 0 - вероятность данного значения параметра, n - число элементов системы, причем максимального значения H достигает при равной вероятности всех состояний системы (H 4max 0 = log 42 0n).

В физике определяется термодинамическая энтропия (S) [7, 8]:

S = k*lnW + C, (2)

где W - термодинамическая вероятность состояния, k – постоянная Больцмана, C - постоянная, зависящая от начальных условий.

Как оговаривается в [7], H и S равны с точностью до постоянного множителя исключительно в случае отсутствия корреляций (R), т.е. при независимости состояния системы от начальных условий. Остроумное возражение относительно сугубо математического сопоставления H и S содержится в [10], где показано, что данный подход приводит к абсурдной зависимости от температуры информации, заложенной в геноме. Очевидно, для биосистемы положение о независимости ее состояния от начальных условий в общем случае не выполняется, поэтому требуется выражение для S явно зависящее от R. Такое выражение на основании положений теории термодинамики необратимых процессов предложено применительно к системе, описываемой корреляционной матрицей (КМ) состояния [8]:

S = 7S 0(ДЧ) 52 0 + 7S 0(ВЧ) 52 0, (3)

где ДЧ, ВЧ - соответственно диагональные и внедиагональные члены КМ, причем ДЧ можно поставить в соответствие с вероятностями, а ВЧ - с R.

Адаптируя уравнение (2) применительно к биосистеме ввели не учитывающий вероятности энтропийный коэффициент (ЭК) [3]:

ЭК = 7S 0(r 4ij 0) 52 0, (4)

i,j=1

где r 4ij 0 - коэффициент корреляции (r) между i-м и j-м (i 7- 0j) параметрами состояния, n - размерность КМ, а также учитывающий вероятности энтропийный эквивалент (ЭЭ), рассчитываемый по r (ЭЭ 4r 0) [2] или по доверительным вероятностям (p) коэффициента корреляции (ЭЭ 4p 0):

n n n n

ЭЭ 4r 0 = 7S 0[( 7S 0│r 4i(j) 0│)/( 7S 0│r 4ij 0│)] 52 0 + 7S 0(│r 4ij 0│) 52 0, (5а)

i=j i=1 i 7- 0j i 7- 0j

n n n n

ЭЭ 4p 0 = 7S 0{[ 7S 0(1 - p) 4i(j) 0]/[ 7S 0(1 - p 4ij 0)]} 52 0 + 7S 0(1 - p 4ij 0) 52 0, (5б)

i=j i=1 i 7- 0j i 7- 0j

причем соблюдается необходимое условие 7S 0(ДЧ) = 1. Ввод ЭЭ 4p 0 вместо ЭЭ 4r 0, т. е. (1 - p) вместо r, позволяет сопоставлять ЭЭ, рассчитанные при различном числе измерений (N) параметров КМ, поскольку p нормируется по N. Собственно, термин "энтропийный эквивалент" подчеркивает, что определяемый интегральный параметр не есть S, а лишь неявным образом эквивалентен ей.

Сравнивая уравнения (4) и (5а), можно заметить, что ЭК входит в ЭЭ. Следовательно, ЭЭ имеет структурную составляющую (СС) - второе слагаемое правой части уравнений (5), поскольку именно структура (вещество) определяет наличие/отсутствие R. Первый член правой части уравнений (5) представляет собой определяемую вероятностями информационную составляющую (ИС) ЭЭ. Легко пока-

зать, что в состоянии системы, соответствующем H 4max 0 уравнения (2), ИС, т. е. 7S 0(ДЧ) 52 0 - минимальна.

Для проверки адекватности уравнений (5) реальным биосистемам в качестве параметров использовали показатели сердечно-сосудистой системы популяции здоровых мужчин и женщин от 1 до 70 лет [2, 3] и оценивали характер изменения S в динамике биологического возраста. Как оказалось, S с возрастом существенно уменьшается, достигая минимума в 3-е десятилетие, а начиная с 4-го - увеличивается, возвращаясь практически к исходным величинам, причем после 6-го десятилетия ЭК и ЭЭ уменьшаются. Последнее явление, по-видимому, связано с исчезновением в этот период из популяции лиц с высокой S, т. е. со смертью индивидуумов, у которых она достигла критического значения. Такой характер возрастной зависимости параметров хорошо известен из анализа травматизма на производстве, когда максимум случаев приходится не на самую старшую группу по причине ухода с работы лиц со слабым здоровьем до достижения пенсионного возраста.

Таким образом, ЭЭ позволяет оценить характер изменения S в биологических системах. Тем не менее, при применении описанного подхода к оценке S биосистемы остается много нерешенных вопросов, первоочередные из которых, на наш взгляд, два. Во-первых, поскольку ЭЭ СС (ВЧ, общее число которых n 52 0 - n) и ИС (ДЧ числом n), а n < (n 52 0 - n) при n > 1, постольку вклад ДЧ (ИС) оказывается несопоставимо меньше, чем ВЧ (СС) уже при описании системы КМ, состоящей из пяти параметров [2], и уменьшается с ростом n. Рассуждения о том, что для полного всестороннего описания биосистемы следует использовать минимально скоррелированные параметры, вероятно, не лишены оснований, однако хотелось бы большей определенности в том, сколько и каких параметров необходимо и достаточно для такого описания. В этом и заключается второй вопрос неразрывно, связанный с первым.

Для ответа на поставленные вопросы необходимо учесть, что неотъемлемым свойством биосистем является производство - расходование энергии (Э). Потоки энергии интегрируют потоки вещества и информации в системе и определяют ее жизнеспособность. Используя произведенную (Э 42 0) и расходуемую энергию (Э 43 0) в качестве параметров системы, получим простейшую КМ состояния (n = 2):

│Э 422 0 Э 423 0│ (6)

│Э 432 0 Э 433 0│,

где Э 4ij 0 соответствует r 4ij 0 или p 4ij 0 уравнений (5); обозначение Э 41 зарезервировано для поступающей в биосистему энергии, которая понадобится в дальнейшем обсуждении. Структурные члены (ВЧ) КМ (6) могут принимать любые значения от 0 до 1: Э 4ij 0 = (0; 1) при i 7- 0j. При этом по уравнениям (5) информационные члены (ДЧ) КМ равны между собой, и для любого состояния 7S 0(ДЧ) 52 0 = 2*(1/n) 52 0 - величина постоянная, а H = H 4max 0. Следовательно, в случае двухпараметрической системы H не зависит от состояния биосистемы, свидетельствуя о нефункциональности последней. Сделанный вывод, очевидно, справедлив при использовании любых других (неэнергетических) параметров в качестве характеристики состояния и указывает на неадкватность предложенной модели, по крайней мере, функционирующей биосистеме.

Однако, биологическая система является открытой, и для ее полного термодинамического описания необходим еще один энергетический параметр, который представляет собой энергию, поступающую в биосистему (Э 41 0). Различие между Э 41 0 и Э 42 0 состоит в том, что первая включает всю поступающую в организм из внешней среды энергию, которая может быть использована биосистемой, а вторая - только ту ее часть, которая используется в организме в данных условиях. Реализованная из Э 41 0 энергия может расходоваться (Э 43 0)

или запасаться: (Э 42 0 - Э 43 0) 7. 00. В таком случае КМ имеет вид:

│Э 411 0 Э 412 0 Э 413 0│

│Э 421 0 Э 422 0 Э 423 0│ (7)

│Э 431 0 Э 432 0 Э 433 0│,

где Э 4ij 0, как и в (6), соответствует r 4ij 0 или p 4ij 0 уравнений (5).

Тогда Э 4ij 0 КМ (7), согласно (5), могут принимать любые значения от 0 до 1 независимо от i и j, т. е. Э 4ij 0 = (0; 1) при любых i, j. Следовательно, H системы становится зависимой от состояния последней, что и требовалось получить.

Теперь на основании КМ (7) оценим вклад ИС. Как уже указывалось, минимум 7S 0(ДЧ) 52 0 соответствует равновероятному распределении параметров (H = H 4max 0). Для рассматриваемой трехпараметрической КМ такая ситуация соответствует случаю Э 4ij 0 = 1/3 при i = j.

Нетрудно убедиться, что при этих условиях ИС = 7S 0(ДЧ) 52 0 = 0,33. Максимальная величина СС наблюдается при условии Э 4ij 0 = 1, если i 7- 0j, т. е. любой ВЧ = 1. Легко видеть, что при последнем условии 7S 0(ВЧ) 52 0 = 6, а максимальный ЭЭ = 6,33. Отсюда минимальный вклад ИС равен 5,2 %.

Учитывая, что рассчитанное значение ИС является именно минимальным и в общем случае достаточно большим, полученная величина позволяет "примириться" с таким вкладом ИС в формирование S биосистемы. Однако каких-либо априорных критериев по поводу оцениваемой величины нет, и можно лишь констатировать, что вклад ИС в ЭЭ, оцениваемый по пяти параметрам, составляет не менее 0,99 %, т. е. на порядок меньше, чем в случае трехпараметрической модели.

Следует заметить, что максимально возможное значение ЭЭ, которое имело бы место, когда 1) все ВЧ = 1 (условие максимума 7S 0(ВЧ) 52 0) и 2) все ДЧ = 0, кроме одного, равного единице (условие максимума 7S 0(ДЧ) 52 0), что соответствует Н = 0, оказывается недостижимым, поскольку условия 1 и 2 взаимоисключающие. В используемых терминах это означает, что приближение к высоким R приводит систему к гибели раньше, чем минимизируется H. Ситуация же, когда трехпараметрическая КМ (7) вырождается в двухпараметрическую (6), реализуется, например, в состояниях споруляции или анабиоза, т. е. при Э 41 0 = 0, а сама система становится физически нефункционирующей. Следовательно, при данном граничном условии энергообмена предлагаемая модель оказывается адекватной реальным биосистемам. В другом крайнем случае, когда организм не расходует энергию (Э 42 0 = 0), трехпараметрическая КМ (7) вырождается в двухпараметрическую, аналогичную (6) со своими значениями коэффициентов i и j:

│Э 411 0 Э 413 0│ (9)

│Э 431 0 Э 433 0│.

Тогда, поскольку не происходит расходование энергии, ее поступление и производство будут сильно коррелировать, и Э 4ij 0 = 1 (i 7- 0j), в то время как H = H 4max 0, т. е. биосистема достигнет состояния с максимальной S, что приведет ее к неминуемой гибели.

Описанная ситуация может реализоваться в определенных случаях, свидетельствуя в пользу адекватности предлагаемой модели реальным биосистемам. Наконец, еще одно граничное условие, приводящее к вырождению трехпараметрической КМ (7) в двухпараметрическую, достигается в состоянии, когда система не производит энергии (Э 42 = 0). Последнее условие означает, что система оказывается нежизнеспособной, а следовательно, данное состояние в биосистемах физически нереализуемо (хотя систему, скажем, в состоянии споруляции можно приближенно описать и такой моделью).

Таким образом, необходимым и, по-видимому, достаточным для оценки S биосистемы является знание трех энергетических параметров: поступающей, произведенной и потребленной энергии.

Предельно упрощая, изменение S биосистемы в процессе развития можно описать кривой, аналогичной [2, 6], представляющей собой параболу с вершиной близкой по координате времени к середине жизненного цикла (рисунок). Значение минимума S в этот момент времени не поддается априорной оценке. При этом величины H и S явно невзаимосвязаны, однако ясно, что H стремится к своему физически реализуемому минимуму. Этот, последний, также как и физически реализуемый минимум S, очевидно, отличается от математического минимума, который для биосистем недостижим, поскольку предполагает полное отсутствие R, т. е. дезорганизацию системы.

Собственно, рост S свидетельствует о возникновении в системе буфуркации - неустойчивой точки, в которой система имеет минимум два выбора, причем одно или несколько из новых состояний могут оказаться устойчивыми. Есть мнение, что бифуркации являются непредсказуемыми [9], однако в случае биосистем можно предсказать по меньшей мере одну бифуркацию. Наблюдаемое уменьшение S в онтогенезе [2, 3] (см. рис.), очевидно, является следствием бифуркации, приведшей к рождению организма: в момент бифуркации S была бесконечно большой. В противоположность этому, рост S с биологическим возрастом указывает на движение к точке бифуркации, которое завершится смертью организма. Именно эта, последняя бифуркация, точнее ее реальность, на основании эмпирического опыта предсказывается со стопроцентной вероятностью, тогда как время возникновения такой бифуркации менее определено.

Наличие двух глобальных бифуркаций в моменты рождения и смерти вовсе не препятствует их возникновению в другие периоды жизненного цикла. Не исключено, что в эмбриогенезе организм проходит через ряд бифуркаций, которые в настоящее время по известным причинам не удается проследить. Однако переход на новый уровень функционирования, если он не связан с образованием новых структур (например, генетических мутаций), может не требовать возникновения бифуркаций [1], поскольку реализация такого перехода термодинамически наиболее выгодна без энтропийного взрыва дестабилизирующего систему. Напротив, инфицирование организма почти наверняка приведет к бифуркации, хотя бы по причине структурного конфликта между хозяином и паразитом, который, несомненно, вызовет переструктурирование системы, ее усложнение, а значит, и рост S (бифуркацию) независимо от того, чем такой конфликт завершится. В этом случае бифуркация становится прогнозируемой и, более того, может быть искусственно спланирована.

Таким образом, наличие бифуркаций можно считать непременным условием возникновения и функционирования биосистем. Минимальное их число за период существования организма, вероятно, не превышает двух, приходящихся на рождение и смерть. Наличие большего числа бифуркаций вряд ли оправдано с термодинамической точки зрения, т. к. каждая из них требует энтропийного взрыва посредством затрат энергии. Последнее без веских причин вряд ли свойственно любой системе, в том числе биологической.

Как показано на рисунке, биосистема в своем развитии проходит через состояние с минимумом S. Это состояние, очевидно, является оптимальным, поскольку отклонение в сторону от него ведет к бифуркациям, дестабилизирующим систему. Собственно говоря, весь период существования биосистемы является балансированием возле определенного оптимального значения S, потенциально реализуемого в данных условиях при данных возможностях организма.

Иными словами, гладкая кривая, изображенная на рисунке, имеющая один глобальный минимум, аппроксимирует кривую со множеством локальных экстремумов (минимумов). Являясь интегральным параметром, S отражает поток энергии, который обусловлен потоками вещества и информации в системе, а эти потоки оптимизируются при оптимизации S. В то же время, оптимизация потока энергии требует оптимизации потоков вещества и информации, определяемых структурой системы, причем в S, как указывалось, можно выделить СС и ИС.

Для того, чтобы выяснить, как оптимизируются потоки энергии и, соответственно, структуры и информации, обратимся к КМ (7). Оговоримся еще раз, что при оптимизации S и H физические минимумы совершенно не обязательно должны соответствовать глобальным математическим минимумам, которые, скорее всего, реально недостижимы. Очевидно, что минимум R возможен, когда все виды энергии максимально независимы друг от друга, что обеспечивает минимизацию СС. При этом H = H 4max 0. В то же время, условие максимума H достигается при максимальной R между всеми видами энергии, т. е. при Э 4ij 0 = 1 (i 7- 0j), что соответствует наибольшей напряженности системы. Максимизация H в напряженном состоянии показана на нейтрофилах с различной фосфатазной активностью [6] и на клетках эпителия слизистой оболочки полости рта [4], а рост R при напряжении организма - на примере лейкоцитов крови [5]. Следовательно, при оптимизации S возникает определенный конфликт между минимизацией ее СС, минимизирующей ИС, но максимизирующей H, с одной стороны, и минимизацией H, требующей максимизации ИС, с другой. Последнее, в свою очередь, требует непрогнозируемого изменения структуры. На основании проведенного анализа, говоря об оптимизации энтропии (как S, так и H), следует вести речь о ее локальной, но не глобальной, минимизации.

Именно благодаря такому конфликту, биосистема, оптимизируя СС и ИС, не достигает глобального минимума S и оказывается жизнеспособной. Она постоянно балансирует между математическим глобальным оптимумом и физическим оптимальным состоянием. Одновременно оптимизируются S и H, причем последняя - за счет сложного перераспределения R. К аналогичному выводу приводит анализ схемы усложнения биологических иерархий [1], из которой видно, что периоды стабилизации биосистем характеризуются уменьшением R, т. е. СС, а оптимизация S сводится к оптимизации потоков энергии при снижении структурных и информационных затрат. Действительно, в рассмотренном примере инфицирования организма, когда весьма вероятно возникновение бифуркации и рост S, увеличение потоков энергии и вещества очевидно. Минимизация потоков есть обращение в нуль первой производной по времени, т. е. стабилизация показателя, но не равенство нулю его самого.

Таким образом, оптимизация S биосистемы представляет собой минимизацию этого параметра, требующую минимизации потоков энергии, вещества и, по-видимому, информации.

Описание биологических систем в терминах термодинамики, начавшееся в последние полтора-два десятилетия, в настоящее время интенсивно развивается, о чем свидетельствует возрастающее число работ, посвященных данной проблеме (см. список литературы в [1]). Вместе с тем, в данной области, по существу, сделаны лишь

первые шаги. Поэтому предпринятая попытка применения положений термодинамики необратимых процессов к описанию реальных биосистем в онтогенезе не может не иметь слабых мест, а выводы претендовать на окончательные. Однако, как нам кажется, используя коррелятивную трактовку S, удалось получить принципиально новые результаты и сделать обоснованные выводы.

Во-первых, определены необходимые и оценены достаточные критерии построения КМ для параметризации S; во-вторых, показана непротиворечивость предложенной модели реальным биосистемам; в-третьих, охарактеризованы условия оптимума состояния биологических систем и некоторые условия, приводящие к дестабилизации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Букреева Е. Н., Алещенко Г. М. Схема усложнения биологической иерархии в случайной среде // Успехи соврем. биологии.- 1997.- 117.- С. 18 - 32.

2. Герасимов И. Г. Использование энтропийных характеристик для оценки биологического возраста и функционального состояния организма // Пробл. старения и долголетия.- 1996.- 6, N 1-2. - С. 32 - 35.

3. Герасимов И. Г., Зайцев И. А. К вопросу об оценке биологичес кого возраста и функционального состояния организма // Пробл. старения и долголетия.- 1995.- 5, N 34.- С. 271 - 279.

4. Герасимов И. Г., Калуцкая О. А. Динамика некоторых параметров клеток буккального эпителия в течение менструального цикла у женщин // Цитология.- 1996.- 38, N 11.- С. 1152 - 1157.

5. Герасимов И. Г., Приходько Е. Н., Мирович. Д. Ю. // Клиничес кие показатели крови и факторы, отражающие влияние локального отрицательного давления на организм человека // Физиол. чел.- 1996.- 22.- С. 118 - 120.

6. Герасимов И. Г., Калуцкая О. А., Фомичев А. В., Мирович Д. Ю. Активность кислой фосфотазы лизосом нейтрофилов периферичес кой крови в динамике менструального цикла женщин // Цитоло гия.- 1995.- 37, N 7.- С. 574 - 578.

7. Николис Д. Динамика иерархических систем: Эволюционное предс тавление.- М.: Мир, 1989.- 486 с.

8. Пригожин И. От существующего к возникающему: Время и слож ность в физических науках.- М.: Наука, 1985.- 326 с.

9. Пригожин И. Стингерс И. Порядок из хаоса. М.: Прогресс, 1986.- 432 с.

10. Gunter A.-B. In defense of "Nonmolecular" cell byology // Int. Rev. Cytol.- 1990.- 120.- P. 191 - 241.

11. Shannon C. E. A mathematical theory of communication // Bell. System. Tech. J.- 1948.- 27.- P. 379.

РЕЗЮМЕ

ЭНТРОПИЯ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

И. Г. Герасимов

Институт медицинских проблем семьи, Донецк, Украина

Предложено описание термодинамической энтропии биологической системы корреляционной матрицей трех потоков энергии: поступающей, производимой и расходуемой, которые оказывается необходимыми и, по-видимому, достаточными для энтропийной характеристики организма. Показана адекватность такого описания реальным биосистемам. Оценены уровни энтропии при граничных условиях потоков энергии и при некоторых экстремальных условиях существования организма, а также вклад информационной составляющей в структуру термодинамической энтропии. Обсуждается место бифуркаций в процессах возникновения, существования и гибели биосистем.

Сделан вывод о том, что процессу онтогенеза сопутствуют минимум две бифуркации, которые ограничивают период существования организма. Специально рассматриваются условия оптимизации энтропии биосистем, сводящиеся к локальной, но не глобальной, минимизации термодинамической и информационной энтропии.

SUMMARY

ENTROPY OF BIOLOGICAL SYSTEMS

I.G.GERASIMOV

Institute of family medical problems, Donetsk, Ukraine

It was proposed a description of thermodynamical entropy of the biological systems by the correlational matrix of three energy fluxes: the accessed, produced and the consumed one which prove to be necessary and, probably, sufficient for entropic characterisation of organism. Adequacy of such a description to the real biosystems was showed. Level of entropy in borderline conditions of energy fluxes and in some extremal conditions of the organism's existence as well as a contribution of informational constituent into the structure of thermodynamic entropy were evaluated. The place of bifurcation in the processes of coming into being, existence and going out of being of the biosystems is discussed. It was concluded that process of ontogenesis is accompanied by minimum of two bifurcations which confine the period of organism's existence. Special consideration is given to the conditions of biosystems' entropy optimisation reducing themselves to local but not the global, minimisation of thermodynamical and informational entropy.