Анализ взаимосвязей, присущих изучаемым процессам и явлениям, является важнейшей задачей исторических, как впрочем и многих других, исследований. В тех случаях, когда речь идет о явлениях и процессах, обладающих сложной структурой и многообразием свойственных им связей, такой анализ представляет собой сложную задачу. Прежде всего необходимо установить наличие взаимосвязей и их характер. Вслед за этим возникает вопрос о тесноте взаимосвязей и степени воздействия различных факторов (причин) на интересующий исследователя результат. Если черты и свойства изучаемых объектов могут быть измерены и выражены количественно, то анализ взаимосвязей может вестись на основе применения математических методов. Использование этих методов позволяет проверить гипотезу о наличии или отсутствии взаимосвязей между теми или иными признаками, выдвигаемую на основе содержательного анализа. Далее, лишь посредством математических методов можно установить тесноту и характер взаимосвязей или выявить силу (степень) воздействия различных факторов на результат.
Наиболее разработанными в математической статистике методами анализа взаимосвязей являются корреляционный и регрессионный анализ. Но прежде чем переходить к их характеристике, остановимся на вопросе о характере и форме тех взаимосвязей, которые присущи объективным явлениям природы и общества.
Функциональные зависимости. Функциональная зависимость двух количественных признаков или переменных состоит в том, что каждому значению одной переменной всегда соответствует одно определенное значение другой переменной. Например, при строительстве железных дорог на километр пути приходится вполне определенное количество уложенных рельсов. Поэтому рассматривая статистические данные по таким количественным признакам: у— длина уложенного железнодорожного пути (в км), х—количество истраченного на строительстве рельсового проката (в тоннах), мы будем иметь дело с функциональной зависимостью определенного вида. Рассмотрим эту зависимость подробнее на условном примере:
Соотношение между признаками, отображенное в таблице, удобно представить в наглядной графической форме, рассматривая числовые данные как координаты точек в прямоугольной системе координат (рис. 8).
Графическим изображением анализируемой зависимости (полученным путем соединения непрерывной линией точек, соответствующих данным таблицы) служит прямая линия. Такая зависимость называется прямой пропорциональной зависимостью. Ее аналитическим выражением является уравнение y=kx, где k — коэффициент пропорциональности (в нашем случае &=100). Прямая пропорциональная зависимость представляет собой частный случай линейной зависимости, которая характеризуется уравнением
y=kx+b
Графическим изображением линейной зависимости также служит прямая линия (рис. 9).
Линейная зависимость является наиболее простой и в определенном смысле универсальной формой связи многих явлений. Ее универсальность состоит в том, что более сложные зависимости часто можно рассматривать «в первом приближении» как линейные. Здесь мы подходим к выяснению роли функциональных зависимостей в анализе стати стических связей. Непосредственно функциональные зависимости в чистом виде редко встречаются в общественных явлениях. Связи обычно носят гораздо более сложный характер. Однако их описание во всей сложности часто затруднительно, да и нецелесообразно. Поэтому их рассматривают как соответствующие тем или иным видам функциональной зависимости. Простейшей формой функциональной связи является линейная зависимость, которая широко используется в регрессионном и особенно в корреляционном анализе. Гипотеза о линейной связи между исследуемыми признаками получила широкое распространение в анализе взаимосвязей. Лишь в том случае, если результаты применения гипотезы о линейной зависимости оказываются неудачными или имеются веские основания против линейной связи, используют более сложные функциональные зависимости.
Отметим наиболее употребительные формы функциональной зависимости, применяемые в статистическом анализе.
В случае если прямая линия не соответствует характеру используемых данных, можно использовать параболу (рис. 10). Аналитическое выражение ее имеет вид:
Наличие в этом уравнении члена a2x2 является простейшей формой учета нелинейности.
В том случае, когда мы имеем дело с затуханием роста или падения, удобно использовать гиперболические либо логарифмические зависимости (рис. 11 и 12). Математические выражения для гиперболической и логарифмической зависимостей выглядят так:
y=k/x; y=a lgx
Процессы демографического и экономического роста описываются экспоненциальными зависимостями вида:
y=keλx.
Графическое изображение этой зависимости (k>0, λ>0) иллюстрируется рис. 13.
Подбор подходящей функциональной зависимости на основе графического и логического анализа является важным этапом исследования взаимосвязей, особенно в тех случаях, когда линейная связь оказалась неприемлемой.
Статистические (корреляционные) зависимости. Функциональная зависимость
между признаками предполагает их изолированность, она действует, так сказать,
«при про чих равных условиях». В общественной жизни такие ситуации бывают
крайне редко. Как правило, воздействие одной переменной (причины) на другую не
изолировано от остальных факторов, а происходит, таким образом, что на
изучаемую связь прямо или косвенно влияют многие другие факторы. Здесь налицо
зависимость особого вида. Для описания и изучения такого рода зависимостей в
науке используется понятие статистический, или корреляционной,
связи.
В отличие от функциональной зависимости, когда каждому значению одного признака всегда соответствует определенное значение другого, при статистической зависимости одному и тому же значению одного признака могут соответствовать различные значения другого. Это происходит в силу того, что при статистической зависимости связь устанавливается между признаками (двумя, тремя и т. д.), которые изменяются не только в силу взаимодействия между собой, но и под воздействием множества различных неучтенных факторов. В результате множественного воздействия взаимно переплетающихся факторов связь между признаками существует и проявляется не в каждом отдельном случае, как при функциональной связи, а только в тенденции, «в среднем». Поэтому здесь установить наличие взаимосвязи и определить ее количественную меру можно не на основе единичных наблюдений, а лишь применительно к определенной совокупности объектов, т. е. в среднем по отношению к тем или иным массовым объектам или явлениям. Характеризующие эти объекты количественные показатели в источниковедении и в статистике называются массовыми данными.
Задачи анализа статистических связей. Анализ статистической, или корреляционной, связи предполагает выявление формы связи, а также оценку тесноты связи. Первая задача решается методами регрессионного анализа, вторая — методами корреляционного анализа. Регрессионный анализ сводится к описанию статистической связи с помощью подходящей функциональной зависимости. Корреляционный анализ позволяет оценивать тесноту связи посредством специальных показателей, причем выбор их зависит от вида функциональной зависимости, пригодной для адекватного описания рассматриваемой статистической взаимосвязи. Как указывалось, наиболее распространенной в изучении связей является гипотеза о линейной зависимости. Соответствующие ей методы корреляционного и регрессионного анализа наиболее полно разработаны в математической статистике. Прежде чем перейти к изложению этих методов, остановимся на двух общих вопросах, относящихся к корреляционному и регрессионному анализу.
Один из важных вопросов, возникающих в изучении связей,— установление «направления» зависимости. Пусть для простоты рассматривается связь между двумя признаками y и х. Какой из этих признаков следует считать подверженным влиянию, или результативным (зависимой переменной), какой — оказывающим влияние, или факторным (независимой переменной)?
Первостепенное значение в решении этого вопроса имеет содержательный анализ. Положим, мы рассматриваем связь между производительностью труда рабочих и стажем их работы. По-видимому, результативным признаком следует признать производительность труда, а факторным — стаж рабочего. Не всегда «направление» связи проявляется столь очевидно. Тогда при решении вопроса о выборе результативного признака на первый план выступает постановка содержательной проблемы, для исследования которой используется изучение взаимосвязей. Например, устанавливая «направление» связи между такими признаками, как доходность предприятий и их энерговооруженность, мы должны исходить из того, что же мы хотим установить в действительности: влияние внедрения новой техники и технологии на доходность предприятий или же потенциальные возможности предприятий в овладении передовой техникой и технологией. В первом случае результативным признаком естественно считать доходность, во втором — энерговооруженность.