Оптимизация математической модели ХТП

Т.Н. ГАРТМАН, Д.В. КЛУШИН

§1. Постановка задачи оптимизации

Оптимизация – это процедура нахождения наилучших условий проведения химического процесса.

Задача оптимизации рассматривается как математическая задача поиска экстремального значения функции многих переменных.

Формулировка задачи оптимизации для многих переменных:

Необходимо найти такие значения оптимизирующих переменных   (ресурсов оптимизации) из допустимой области их определения  , которые обеспечивают экстремальную (наибольшую или наименьшую) величину критерия оптимальности.

В результате задачу оптимизации можно представитьвследующим виде:

Связь выходных переменных    с другими переменными задаётся отображением с физико-химическим оператором:

где входные переменные , определяющие состояние моделируемого объекта, разбиваются на две группы переменных:   - оптимизирующие переменные, которые можно контролировать и регулировать и  - контролируемые, но не регулируемые переменные (не могут использоваться как ресурсы оптимизации).

В результате задача оптимизации представляется в следующем виде:

На оптимизирующие переменные    и выходные переменные    могут накладываться ограничения (возможность изменения переменных только в определённых пределах).

На практике выходные переменные  при решении задачи оптимизации определяются либо из экспериментальных данных – экспериментально-статистический метод оптимизации, либо с помощью математических моделей процессов – численный метод оптимизации.

Математические модели в этом случае формализуются с помощью отображения с функциональным оператором:

Замена вектора выходных переменных    на вектор оценок выходных переменных  , полученных при расчёте по математической, модели позволяет рассматривать задачу оптимизации как математическую задачу поиска экстремума функции многих переменных на компьютере.

Задача: определение максимума функции  R = R( u )

Результат решения: .

Пример:

Для последовательной реакции   A → P → S , изменение концентраций компонентов которой представлено ниже на рисунке, можно сформулировать следующую задачу оптимизации: найти оптимальное время реакции ( t_opt ), при котором концентрация промежуточного продуктаР будет максимальной.

Для решения задачи оптимизации необходимо:

• сформировать критерий оптимальности( R );
• выбрать оптимизирующие переменные(   );
• реализовать конкретный метод определения экстремального значения критерия оптимальности (численный или экспериментально-статистический ).

Критерий оптимальности является количественной характеристикой качества функционирования процесса.

Различают физико-химические (концентрация целевого продукта, примеси, выход продукта) и экономические (себестоимость, прибыль, рентабельность) критерии оптимальности.

Значение критерия оптимальности зависит от выходной переменной, рассчитываемой с помощью математической модели (численный метод оптимизации). Предполагается, что при оптимизации применяются математические модели, для которых предварительно решена задача идентификации. Соответственно коэффициенты модели      не показаны в равенстве:

Если адекватную математическую модель процесса построить не удаётся, то значение выходной переменной   в уравнении:

определяется из опытов (экспериментально-статистический метод оптимизации). В этом случае реализуется оптимальная стратегия проведения эксперимента (активный эксперимент).

Требования к критерию оптимальности:

• критерий оптимальности должен быть количественным
• критерий оптимальности должен быть единственным
• критерий оптимальности должен монотонно изменяться в зависимости от оптимизирующих переменных.

Таким образом, при выборе критерия оптимальности необходимо стремиться к тому, чтобы его функция была унимодальной с одним экстремумом и не содержала точек разрыва.

§2. Характеристика оптимизирующих переменных

Эти переменные выбираются из числа входных переменных процесса.

Если в число оптимизирующих переменных включены конструктивные характеристики процесса (размеры, типы конструкций и т.п.), то решается задача оптимального проектирования.

Если в число оптимизирующих переменных не включены конструктивные характеристики процесса (размеры, типы конструкций и т.п.), то решается задача оптимального управления. В этом случае оптимизирующие переменные называются управляющимипеременными и поиск их оптимальных значений осуществляется с целью определения наилучших режимных параметров действующих процессов.

§3. Численные методы оптимизации

Для решения задачи оптимизации численным методом на компьютере необходимо располагать:

• адекватной математической моделью оптимизируемого процесса, реализованной на компьютере;
• подпрограммой расчёта критерия оптимальности;
• программой конкретного метода оптимизации (градиентные методы, симплексный метод и методы случайного поиска);

Обобщённая блок-схема оптимизации численным методом:

3.1. Экспериментально-статистический метод оптимизации.

Эти методы применяются, когда построить математическую модель невозможно. Известны лишь факторы  (оптимизирующие переменные) и выходная переменная  y  (критерий оптимальности), значение которой определяется опытным путём.

Формулировка задачи оптимизации :

Так как выходная переменная определяется из опытных данных, для поиска её экстремальных значений необходимо реализовать оптимальную стратегию экспериментирования.

Функция критерия оптимальности y=y(x₁, x₂,..., x_m) в этом случае может быть представлена в виде поверхности отклика, одинаковые значения которой для двух факторов ( x₁, x₂ )  изображаются линиями постоянного уровня ( y = const ). Эти линии являются проекциями сечений поверхности отклика на плоскость факторов. Искомая экстремальная точка поверхности отклика соответствует точке «0».

В этом случае используется «шаговый» метод движения по поверхности отклика с целью определения её экстремального значения.

При этом выделяются два этапа планирования эксперимента:

• движение в факторном пространстве к «почти стационарной области»;
• уточнение положения экстремума в «почти стационарной области».

3.2. Движение к экстремуму методом крутого восхождения.

Движение к экстремуму осуществляется по направлению градиента (антиградиента) функции отклика  у.

Вектор градиента определяет направление наискорейшего возрастания  функции идля

y=y(x₁, x₂,..., x_m) равен:

 где

  -  единичные векторы в направлении осей координат;

 -  проекции вектора градиента на оси координат

Для m = 2 движение методом крутого восхождения можно представить:

 - центры планов эксперимента первого порядка (ПФЭ)

 - центр плана эксперимента второго порядка (ОЦКП)

Последовательные координаты поиска экстремума в факторном пространстве определяются по формуле:

, где

h  -  задаваемый фактор шага по направлению вектора-градиента;

s  -  номер точки экспериментирования;

Величина y здесь определяется из уравнения регрессии, которое является линейным относительно факторов и коэффициентов:

Это уравнение используется для локального описания поверхности отклика в областях, далёких от её экстремального значения.

Ограниченная область факторного пространства, где справедливо это уравнение регрессии, задаётся центром области  – центром плана эксперимента:

и интервалом (точнее, полуинтервалом) варьирования факторов:

Для локальной области факторного пространства уравнение регрессии записывается с кодированными факторами:

 где

В результате минимальному значению фактора соответствует  z_j = -1, максимальному -  z_j = 1, а центру плана эксперимента – точка с координатами z_j = 0,   j = 1, …m

Коэффициенты уравнения регрессии с кодированными факторами   отличаются от коэффициентов уравнения регрессии с натуральными значениями факторов  x_j  и определяются из полного факторного эксперимента (ПФЭ), проведённого в рассматриваемой ограниченной области.

Одним из таких свойств является свойство ротатабельности, которое характеризует равную предсказательную способность уравнения регрессии с кодированными факторами на одинаковом расстоянии от центра плана.

Для характеристики предсказательной способности уравнения регрессии используется оценка дисперсии выходной переменной   , которая из-за статистической независимости коэффициентов   и их одинаковой дисперсии в случае ПФЭ определяется по формуле:

 где

S_a²  -  одинаковая для всех коэффициентов оценка дисперсии ,

 где

n  -  число опытов ПФЭ

S_e²  -  дисперсия воспроизводимости выходной переменной у , определяемая по параллельным опытам

ρ²  -  квадрат расстояния из центра плана до рассматриваемой точки факторного пространства:

Величина, обратная  , принимается за меру точности уравнения регрессии.

Точность уравнениядля    убывает пропорциональноквадрату радиуса сферы  ρ²  и одинакова для всех эквидистантных точек.

Поэтому в факторном пространстве нельзя выделить ни одно предпочтительное направление, и вектор градиента (    )не хуже, в смысле предсказания величины выходной переменной  у, чем любое другое направление.

Однако вектор-градиент (  ) характеризует направление наискорейшего возрастания функции у  и в этом смысле движение по нему является наиболее предпочтительным.

Для определения координат вектора-градиента (   ) используется адекватное уравнение регрессии, полученное по результатам ПФЭ:

Задаётся фактор шага  h, и из центра плана ПФЭ (- начальное приближение) выполняется шаг по градиенту в сторону экстремального значения функции отклика, определяются координаты нового центра плана в факторном пространстве  - .

Здесь снова проводится ПФЭ, обрабатываются его результаты, вычисляется новое направление вектора-градиента:

покоторому выполняется шаг

в сторону экстремума. Процедура последовательного экспериментирования продолжается до тех пор, пока не будетдостигнута область, близкая к экстремальному значению функции отклика.

Близость почти стационарной области может быть установлена с помощью  t – критерия Стьюдента путём оценки значимости различия между экспериментальными  и расчётными    величинами в центре плана.

Условие близости экстремума функции отклика имеет вид:

 где

f_e = k – 1  -  число степеней свободы

k  -  число параллельных опытов

β  -  заданная доверительная вероятность (обычно 0,95)

3.3. Уточнение положения экстремума в почти стационарной области.

Для определения (уточнения) оптимальных величин факторов, обеспечивающих экстремальное значение выходной переменной  у, решается система уравнений, которая вытекает из необходимого условия экстремума функции многих переменных:

В данном случае также удобнее пользоваться кодированными факторами  zj.

Для описания области, близкой к экстремуму, можно использовать уравнение второго порядка с двойными взаимодействиями факторов:  

Введение величины S обеспечивает ортогональность матрицы эксперимента, который проводится с целью определения коэффициентов (   ) этой модели.  

Для вычисления коэффициентов уравнениядля   реализуется ОЦКП эксперимента в почти стационарной области.

Результатрешения задачи уточнения положения экстремума нельзя считать удачным, если не выполняется условие:

т.к. уравнение регрессии справедливо только в диапазоне кодированных факторов

(), где был поставлен эксперимент.

При невыполнении этого условия рекомендуется снова реализовать ОЦКП эксперимента с новым центром плана, в частности в точке  .

Эту процедуру последовательного экспериментирования в окрестности экстремума рекомендуется продолжать до тех пор, пока условие приведённого выше неравенства не выполнится.