ИСТОЧНИК: Прикладные задачи математики в механике, экономике, экологии: Материалы международной студенческой научной конференции, 21-25 апреля 2003г. - Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2003. - С. 185-188

     УДК 510:517:531

ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И "ЧЕРНАЯ ДЫРА"

Лукьяненко С.А., Скрыль И.П., Землянская Е.В.; Каплюхин А.А., доц.,к.т.н.

(Донецкий национальный технический университет, г. Донецк, Украина)

     До первой четверти XX века Вселенная представлялась человечеству похожей на хорошо отлаженный часовой механизм. Не случайно, Эйнштейн, получив уравнения общей теории относительности, попытался рассмотреть модель стационарной Вселенной, но обнаружил, что эта модель не соответствует уравнениям. Тогда автор решил подправить свои уравнения, введя в них так называемый "космологический член", после чего желаемая модель была получена. Правда, наличие «космологического члена» неявно предполагает наличие в природе гравитационных сия отталкивания, которые никем и никогда не наблюдались.
     Несколько позднее наш соотечественник Александр Фридман показал, что из первоначальных уравнений Эйнштейна следует модель нестационарной Вселенной. Вскоре это теоретическое открытие было подтверждено наблюдениями Хаббла, который установил, что наблюдаемая нами часть Вселенной расширяется с постоянной скоростью u, равной

где Н- постоянная Хаббла, r - расстояние до наблюдаемого объекта. Это открытие считается величайшим триумфом общей теории относительности, пришедшей на смену закону всемирного тяготения Ньютона.

, (2)

     Ну, а если бы Эйнштейн не создал обшей теории относительности, как бы тогда развивалась космология? Хаббл свое открытие (1), наверное, сделал бы, то есть (2) и (1) мы бы имели. Рассмотрим шар радиуса R с массой М и по (2) найдем ускорение частицы единичной массы на поверхности шара

, (3)

из (1) имеем dR/dt = Н, кроме того

,

где р - плотность вещества в шаре. Подставим эти выражения в (3)

     Умножим полученное равенство на dR/dt и проинтегрируем

, (4)

     Для определения постоянной интегрирования воспользуемся результатами современных астрономических наблюдений: пусть в момент t₀ радиус шара, плотность и постоянная Хаббла, соответственно, равны R₀, р₀ H₀ (будем считать, что H меняется во времени). Тогда масса равна

,

а скорость расширения составит (dR/dt)₀ = H₀R₀, в результате чего найдем

, (5)

благодаря чему окончательно имеем

.

     Обозначим величину

, (6)

и назовем ее критической плотностью.

     Уравнение (5) можно проинтегрировать еще раз, но качественные выводы об эволюции Вселенной можно сделать и с помощью (5). Современные наблюдения показывают, что dR/dt>O, то есть в прошлом R было меньше, чем сейчас, a a/R - больше, следовательно, в прошлом dR/dt было еще больше. А это значит, что был момент , когда

Этот момент t_h - есть момент грандиозного взрыва и рождения Вселенной. Таково прошлое. А будущее?
     Оно зависит от величины р_кр. Если р_кр < р₀, то по мере увеличения R будет достигнуто такое значение, когда правая часть (5) обратится в нуль. Это значит, что R достиг максимума, а затем будет уменьшаться, то есть расширение сменится сжатием. Здесь следует иметь ввиду, что при переходе кривой R(t) через максимум перед dR/dt меняется знак (квадратный корень имеет два знака).
     При р_кр > р₀ расширение продолжается неограниченно (, ). Оценим величину t_H, когда R = 0. Если бы скорость расширения была постоянной и равной современному значению, то

откуда

     Принимая H₀ = 50 км/с Мпс, получаем Т = 6*10¹⁷c=2*10¹⁰лет.

     С помощью теории относительности получается точно такой же результат. Это простое решение сложнейшей задачи получил в 1934 г. английский астрофизик Эдуард Милн. Попробуем найти наиболее интересную величину в этой задаче, а именно - критическую плотность р_кр. Для этого рассмотрим пробную массу m, удаляющуюся от нас со скоростью u расширения Вселенной, описываемой законом Хаббла (1). Если р > р_кр, то кинетическая энергия массы Е_к=mu²/2 больше её потенциальной энергии

,

где М - масса, заключенная внутри сферы радиуса r.

(9)

     При этом пробная масса будет удаляться от нас, её кинетическая энергия будет возрастать, а потенциальная убывать. Скорость её движения превосходит «вторую космическую скорость» для массы М и радиуса r. Расширение Вселенной неограниченно. При р > р_кр, наоборот, расширение Вселенной, достигнув максимума, сменится сжатием. При р = р_кр скорость в точности равна «второй космической скорости», которую можно найти, приравняв Е_к и Е_n, откуда

(10)

     Подставляя в (10), (1) и (9) при р = р_кр, найдем

,

что совпадает с (б) и Н = Н₀ Небольшой «доматематический анализ» позволил резко упростить задачу. Приравнивая Е_к и Е_n и полагая u = с, найдем выражения для гравитационного радиуса

вслед за Лапласом, предсказавшим возможность существования «черных дыр» за 120 лет до создания общей теории относительности! Так как внутренность «черной дыры» не имеет причинно-следственной связи с нашим миром, то эту область нужно изъять из нашего пространства и соответствующим образом подправить формулу (2)

,

где r_q1 и r_q2 - гравитационные радиусы m₁ и m₁, соответственно. Последняя формула дает хорошие результаты даже в случае чрезвычайно сильных гравитационных полей.