Автореферат по выпускной работе магистра

"Численный анализ математических моделей прогноза погоды"

Составила: Иващенко А.Б.

Содержание
• Введение
• Цель и задачи работы
• Научная новизна
• Практическая ценность
• Информационный обзор существующих исследований и разработок по теме
• Перечень нерешенных проблем и вопросов
• Текущие и планируемые результаты по теме
• Заключение и выводы
• Список литературы

• Введение

Бурное развитие вычислительной техники в последние десятилетия позволило широко применять математические методы в теоретических исследованиях Мирового океана, атмосферы и климата.

К настоящему времени предложен ряд математических моделей задач прогноза погоды и общей циркуляции атмосферы и численных алгоритмов для их решения. Вместе с тем необходимо отметить, что уравнения гидротермодинамики атмосферных процессов настолько сложны, что до сих пор имеется необходимость разработки более качественных алгоритмов, способных с высокой точностью описать широкий спектр задач динамической метеорологии и прогноза погоды. Построение качественных алгоритмов решения таких задач тесно связано с проблемой аппроксимации уравнений и устойчивости полученных разностных схем, которые вообще являются основными проблемами при конструкции новых численных алгоритмов.

• Цели и задачи работы

Целями выполняемой работы является:

• Изучение и анализ математических моделей прогноза погоды;
• Численный анализ моделей и решение отдельных задач прогноза погоды с использованием методов расщепления; выбор оптимальных моделей;
• Разработка соответствующего программного обеспечения.

Задачи магистерской работы:

• Поиск в Интернете и литературных источниках информации о математических моделях, описывающих динамику атмосферы, и численных методах решения моделей прогноза погоды.
• Изучение численных методов, используемых при решении систем дифференциальных уравнений в частных производных (разностные схемы, методы расщепления, метод прогонки и т.д.)
• Определение методов, наиболее эффективных для моделирования и решения поставленной задачи на ЭВМ.
• Анализ доступного программного обеспечения, позволяющего находить решения систем дифференциальных уравнений в частных производных.
• Поиск и сбор входных данных для модели прогноза погоды.
• Разработка программного обеспечения, позволяющего делать прогноз погоды.

• Научная новизна

Проблема прогноза погоды явилась предметом глубокого изучения особенно в послевоенные годы. Начиная с работы И. А. Кибеля (1940 г.), в которой впервые была сформулирована гидродинамическая теория краткосрочного прогноза погоды, такие исследования получили большое развитие как в бывшем СССР, так и за рубежом. Работы И. А. Кибеля, Е. Н. Блиновой, А. М. Обухова, М И. Юдина, Н. И. Булева и Г. И. Марчука, К. Хинкельмана и других привели к ряду новых оригинальных постановок задач, а развитие электронной вычислительной техники создало солидную базу для дальнейшего усовершенствования гидродинамической теории прогноза погоды и теории климата, которые получили существенное развитие в работах Е. Минца, Ф. Томсона, Е. Лоренца, Ф. Шумана, А Касахары и других. На смену традиционным алгоритмам численного решения задач динамики атмосферы пришли новые более эффективные и универсальные такие, как «бокс-метод» Курихары и Брайна, метод расщепления, разработанный Г.И. Марчуком. Эти новые подходы дают возможность включить задачу гидродинамического прогноза в качестве примера решения сложных задач математической физики методами современной вычислительной математики.

• Практическая ценность

Материалы и результаты магистерской работы могут оказаться полезными, прежде всего, для работников метеорологических центров, занимающихся краткосрочным прогнозированием погоды.

Данные о погоде и её прогнозе имеют большое значение во многих отраслях экономики, а частности в гражданской авиации, строительстве, сельском хозяйстве и даже в морском деле – везде, где планирование или проведение каких-либо мероприятий и проектов зависит непосредственно от погодных условий. Поэтому результаты работы могут оказаться полезными для многих отраслей народного хозяйства.

Результаты работы можно использовать для составления прогнозов погоды и для сравнения и проверки результатов прогнозов, рассчитанных другими методами.

• Информационный обзор существующих исследований и разработок по теме

Модели прогноза погоды и изменения климата

Различные модели циркуляции атмосферы, изменения климата и прогноза погоды описаны в работах Г.И. Марчука, В.П.Дымникова и др [1]-[2]. Приведем одну из упрощенных моделей краткосрочного прогноза погоды, которая представляет собой систему пяти уравнений в частных производных и имеет вид [1]:



где – компоненты вектора скорости вдоль осей координат соответственно, – давление, – плотность, – абсолютная температура, – адиабатический градиент температуры, – ускорение силы тяжести и – параметр Кориолиса.

Первые три уравнения являются уравнениями движения, следующее – уравнение неразрывности, и, наконец, последнее – уравнение притока тепла. Моделирование производится в условном параллелепипеде, размеры которого определяются периодом искомых функций по геометрическим переменным и .

Далее задача приводится к упрощенному виду, производится линеаризация, отбрасываются малые члены уравнений. Затем определяется список начальных и граничных условий. Далее система дифференциальных уравнений в частных производных решается специальными методами, например метод расщепления решения.

Понятие о разностных схемах расщепления

Разностные схемы расщепления – один из важных методов при расчете решений многомерных нестационарных задач математической физики. Во многих случаях, когда требуется решить сложную задачу матфизики, оказывается возможным свести ее к последовательному решению нескольких более простых задач, которые можно эффективно решать с помощью ЭВМ. Редукция сложных задач к более простым обычно возможна в тех случаях, когда исходный оператор задачи представим в виде суммы простейших операторов.

Рисунок 1 - Иллюстрация метода расщепления (анимированный рисунок)

1. Конструкция схем расщепления

Рассмотрим дифференциальную задачу вида

(1)

- некоторый дифференциальный оператор по пространственным переменным, например:



Воспользуемся формулой

, где

Отсюда имеем:

(2)

Допустим, что правая часть уравнения (1) имеет вид




Тогда, с учетом того, что расщепим уравнение (1) на следующие два:

(3)


(4)

Заметим, что (5)

Покажем это:

(6)

(7)

То есть равенство (5) верно. На основании равенства (7) мы решаем на каждом интервале последовательно задачи (3) и (4) вместо задачи (1).

Для фактического решения уравнений (3)-(4) аппроксимируют разностными уравнениями, эта схема позволяет нам в два этапа вычислить :

Шаг 1: вычисление через известное ;

Шаг 2: вычисление через найденные на шаге 1: .

2. Построение разностных схем для расщепленных задач

Рассмотрим задачу Коши для двумерного уравнения теплопроводности

(8)

В качестве системы расщепления (3)-(4) можно взять, например,

(9)

Указанное расщепление двумерного уравнения задачи (8) на два одномерных уравнения (9) можно истолковать как приближенную замену процесса распространения тепла по плоскости ОXY за время на два процесса. В первом из них, который описывается первым уравнением (9), вводятся (мысленно) теплонепроницаемые перегородки, препятствующие распространению тепла в направлении оси ОY. Затем по прошествии времени , взамен этих перегородок вводятся перегородки, препятствующие распространению тепла в направлении оси OX (то есть прежние перегородки снимаются). Тогда распространение тепла, снова в течении времени описывается вторым уравнением[3].

Выберем сетку

Для системы (9) разностную схему расщепления можно построить многими способами. Укажем два из них: явную и неявную разностные схемы.

Явная схема имеет следующий вид:

(10)

На рисунке 2 изображено графическое представление явной схемы.



Рисунок 2 – Шаблон явной схемы

Следует отметить что решения, найденные при помощи явной схемы (10), будут устойчивыми при .

Неявная схема выглядит иначе:

(11)

На рисунке 3 изображено графическое представление неявной схемы.



Рисунок 3 – Шаблон неявной схемы

Важным свойством неявной схемы (11) является её абсолютная устойчивость при любом соотношении шагов и .

В обеих схемах расщепления использовались следующие обозначения:



3. Экономичные разностные схемы

Будем говорить, что двухмерная разностная схема экономична, если для вычисления значений по значениям эта схема требует выполнения числа арифметических операций, пропорционального числу неизвестных значений на слое [4].

Построение таких схем вначале рассмотрим на примере простейшей разностной схемы расщепления для задачи о распространении тепла:

(12)

– граница прямоугольной области

Возьмем сетку

Рассмотрим явный шаблон

(13)

Такая явная схема аппроксимирует задачу (12) с погрешностью порядка , С помощью принципа максимума можно установить, что при разностная схема (13) устойчива.

Обозначим через совокупность значений сеточной функции на слое , то есть

Пусть известны значения . Для того чтобы вычислить значение по явной схеме (13), мы должны выполнить число арифметических операций, пропорциональное числу неизвестных . Этих неизвестных будет , так как значения на границе известны.

Очевидно, что разностная схема (13) экономична, но, как мы уже отмечали, вычисления по этой схеме будут устойчивыми только при выполнении условия , которое является весьма жестким ограничением на шаг

Рассмотрим простейший неявный шаблон

(14)

Схема (14) аппроксимирует задачу с погрешностью порядка и устойчива при любых значениях

Для неизвестных приходится решать сложную систему линейных уравнений. Но даже при условии, что эта система будет решаться по методу Гаусса, одному из наиболее быстродействующих методов, число операций, необходимых для вычисления будет приблизительно пропорционально числу , следовательно, схему (14) отнести к экономичным схемам нельзя. Но следует отметить еще раз, что важным положительным свойством этой схемы является ее абсолютная устойчивость.

Для дифференциальных уравнений в частных производных, когда функции зависят от многих аргументов, чтобы найти решение уравнений с хорошей точностью, необходимо в области, где оно имеется, взять много точек и число точек будет тем больше, чем больше измерений имеет пространство аргументов. Каждой точке будет отвечать свое уравнение и при решении задачи придется иметь дело с системой большого числа уравнений.

Поэтому для многомерных задач имеет особое значение проблема уменьшения числа операций, необходимых для решения системы.

Поставим задачу: построим такую разностную схему, которая аппроксимировала бы задачу (12) и обладала бы свойствами экономичности и абсолютной устойчивости.

Искомую разностную схему можно записать, используя идею расщепления и формулы неявного шаблона:

(15)

(16)

Доказано, что схема (15)-(16) аппроксимирует задачу с погрешностью и абсолютно устойчива.

Разностная задача (15) при каждом фиксированном n решается прогонкой в направлении оси OX. Разностная задача (16) при каждом фиксированном m решается прогонкой в направлении оси OY.

В силу свойств алгоритма прогонки общее число арифметических действий для вычисления оказывается пропорционально числу неизвестных значений , то есть разностная схема (15) - (16) является экономичной.

4. Метод разностной прогонки

Если матрица системы является разреженной, то есть содержит большое число нулевых элементов, то применяют еще одну модификацию метода Гаусса – метод прогонки [5]. Рассмотрим систему линейных уравнений с трехдиагональной матрицей:



Из первого уравнения системы имеем:



Преобразуем полученное выражение к виду , где

Подставим полученное выражение во второе уравнение системы и преобразуем его к виду и т.д. На i-ом шаге уравнение преобразуется к виду , где

На m-ом шаге после подстановки в последнее уравнение выражения находим коэффициенты :



Эта часть метода называется прямым ходом метода прогонки. Затем осуществляется обратный ход метода прогонки:

Коэффициенты дают возможность определить значение .

Затем в обратном порядке значения остальных неизвестных находятся по формулам: , i = m-1, m-2, ..., 1.

для составления прогнозов погоды и для сравнения и проверки результатов прогнозов, рассчитанных другими методами.

• Перечень нерешенных проблем и вопросов

• Ограниченность вычислительных мощностей ЭВМ;
• Проблема выбора наиболее эффективных методов решения модели;
• Вопросы устойчивости модели и неточности численных прогнозов, которые возникают вследствие:
• неполноты физической схемы прогноза, неточный учет в ней тех или иных факторов, влияющих на погоду;
• недостаточного количества или недостаточной точности данных наблюдений в начальный момент прогноза;
• использования приближенных методов решения дифференциальных уравнений.

• Текущие и планируемые результаты по теме

На данном этапе магистерской работы проделана следующая работа:

• изучены литературные источники по вопросам математического моделирования климата и методов решения задач прогноза погоды;
• найдены и изучены модели циркуляции атмосферы;
• изучена идея метода расщепления решений сложных систем дифференциальных уравнений;
• изучены возможности математических пакетов (таких, как MatLab, MathCad) в части моделирования прогноза погоды.

Предполагается проведение следующих работ:

• дальнейший сбор информации о математических моделях климата и численного прогноза погоды;
• выбор модели и методов ее решения, формулировка и постановка задачи, выбор комплекса инструментов в области информационных технологий;
• создание программного продукта, позволяющего производить краткосрочный прогноз погоды;

• Заключение и выводы

Хотя математическим моделированием климата и прогноза погоды ученые занимаются достаточно давно, возникающие в этом вопросе проблемы не утратили свою актуальность и на сегодняшний день. На мой взгляд, задача численного прогноза погоды является достаточно сложной и, как следствие, очень интересной. Поэтому, надеюсь, изучение мною тонкостей и проблем моделирования климата и численного прогноза погоды не ограничится рамками магистерской работы.

• Список литературы

1. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. – М.: Гидрометеоиздат, 1974.
2. Дымников В.П. Компьютерные модели земных процессов // Наука в России N 3, 2004 г. – С. 5-9
3. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы – М.: Наука, 1977 – 439с.
4. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. – Мн.:Наука и техника, 1986 – 311с.
5. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука,1980 – 286с.