Волновое преобразование

Волновое преобразование одномерного сигнала представляет из себя применение к нему фильтра, разлагающего его на 2 составляющих: высокочастотную и низкочастотную. Обратное волновое преобразование - получение из высокочастотной и низкочастотной составляющей исходного сигнала.

Если одномерный оцифрованный сигнал задан в виде массива A, то простейшее волновое преобразование можно представить как L[i] = (A[2i]+A[2i+1])/2;
H[i] = (A[2i]-A[2i+1])/2;
Где L[i] - низкочастотная составляющая, а H[i] -высокочастотная. Обратное преобразование:
A[2i] = L[i]+H[i];
A[2i+1] = L[i]-H[i].

Для преобразования можно использовать фильтр большего порядка. Например, в формате JPEG 2000 используется следующее прямое преобразование (округлено до 5 знаков после запятой):
L[i] = A[i]*1.11509 + 0.59127*(A[i-1]+A[i+1]) - 0.05754*(A[i-2]+A[i+2]) - 0.09127*(A[i-3]+A[i+3]);
H[i] = A[i]*0.60294 - 0.26686*(A[i-1]+A[i+1]) - 0.007822*(A[i-2]+A[i+2]) + 0.01686*(A[i-3]+A[i+3]) + 0.02674.

В разрабатываемом формате в связи с применением сложного контекстного моделирования, который будет описан ниже, было применено простейшее преобразование.

Для сигналов, встречающихся на практике, в высокочастотной составляющей будет много отсчетов, близких к 0, т.е. распределение вероятностей значений сигнала будет сильно отличаться от равномерного. Следовательно, высокочастотная составляющая обладает малой энтропией и может быть эффективно сжата.

Низкочастотная составляющая будет напоминать "уменьшенную копию" исходного сигнала. К ней можно будет снова применить волновое преобразование. На практике целесообразно применять преобразование 4-8 раз. В файл, хранящий сжатый сигнал записывается несжатая (или сжатая простым алгоритмом) низкочастотная составляющая сигнала, затем сжатые энтропийным кодированием высокочастотные составляющие, полученные на последнем шаге, затем на предпоследнем, и т.д. вплоть до высокочастотных составляющих, полученных на 1-м шаге. Такой подход позволяет получить приближенное представление о сигнале после загрузки лишь небольшой части файла, что очень полезно при передаче изображений по сети.

Рассмотрим волновое преобразование двумерного сигнала, заданного матрицей. Сначала одномерное преобразование применяется ко всем строкам, в результате чего получается 2 матрицы. Затем одномерное преобразование применяется к столбцам полученных матриц, в результате чего получается 4 матрицы. Одна из них соответствует низкочастотной составляющей сигнала и может быть подвергнута дальнейшим преобразованиям, 3 других соответствуют высокочастотным составляющим. Преобразование строк и столбцов можно поменять местами или объединить в одно преобразование. Ниже приведена иллюстрация преобразования двумерного массива из 4-х элементов.

Для цветного изображения осуществляется независимое преобразование каждой цветовой компоненты.