Содержание

Введение
Преобразование аккордов
Инверсия аккордов
Творчество Петра Ильича Чайковского
Творчество Р. Шумана
Творчество группы "Битлз"
Сравнение творчества П. И. Чайковского, Р. Шумана и группы "Битлз"
Список использованной литературы

Переход к главной странице

Пилюгина Т.М.

Многие, которым никогда не представлялось случая более узнать математику, считают ее наукой сухой. В сущности же - это наука, требующая много фантазии, и Карл Вейерштрасс говорит совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе.

В 2000году я вместе со своей учительницей математики Пилюгиной Т.М. написала научную работу «Связь музыки и геометрии». Применяя простые геометрические понятия и теоремы, мы попытались пролить свет на этот интересующий меня вопрос. И я считаю, что нам это удалось. На областном конкурсе МАН моя работа заняла III место.

В своем индивидуальном задании я хотела бы представить на ваш суд свою работу. Надеюсь, вам будет интересно.

На рис.1 нарисована часть клавиатуры. Обычно пианино имеет темперированный строй. Это означает, что 2 соседние клавиши, независимо от цвета, находятся на одном и том же расстоянии друг от друга. Этот минимальный интервал между нотами называется полутон.

Рисунок 1

Таким образом, две ближайшие клавиши, такие как B и C находятся на расстоянии одного полутона, в то время как C и D находятся на расстоянии целого тона.

Для пианино, которое имеет темперированный строй, C^# и D^b – это одно и то же. Это же условие выполняется и для других клавиш.

Рассмотрим две любые ноты, которые находятся на расстоянии октавы друг от друга. Например, все G (соль) считаются одинаковыми.

Рисунок 2

В действительности, когда мы играем две соль на пианино, мы воспринимает две разные высоты – «низкую» соль и «высокую» соль. Однако они звучат достаточно одинаково, чтобы относить их к одной «категории высоты», которую мы будем называть G.

Для моих музыкальных исследований я взяла только 12 высот (C, C^#/D^b, D, D^#/E^b, E, F, F^#/G^b, G, G^#/A^b, A, A^#/B^b, B), которые мы пронумеруем от 0 до 11. Изобразим эти 12 высот, как точки на окружности на одинаковом расстоянии друг от друга (рис.2). Этот рисунок похож на часы, только высота С обозначена на нем «0» вместо «12».

Содержание

Изобразим аккорд Р на наших музыкальных часах, соединив соседние точки отрезком. Треугольник аккорда Р (С, Е, G) изображен на рис.3.

Рисунок 3

Рисунок 4

Представьте, что мы вращаем многоугольник на аккорд кратным числом 360⁰/12=30⁰ осью перпендикулярно музыкальным часам, проходя через центр.

Вращая треугольник по часовой стрелке на 30⁰=Т мы видим, что ТР=(С^#,E^#,G^#)= ( С^#,F, G^#). Музыкально выражаясь, применяемое вращение Т перемещает аккорд вверх на один полутон.

Если нам необходимо переместить аккорд на несколько полутонов по часовой стрелке, а потом против часовой стрелке, мы можем применять для этого обычные правила показателей степеней. Например, Т⁵(Т^-2)=Т^5-2=Т³ означает, что вращение против часовой стрелке на 2*30⁰=60⁰ и по часовой стрелке на 5*30⁰=150⁰ дает тот же результат, что и вращение по часовой стрелке на 3*30⁰=90⁰.

Аккорд, содержащий n различных высот имеет С_n²=n!/(n-2)!2!=(n-1)n/2 пар высот. Каждая пара может изображаться как сторона или диагональ многоугольника, интервал между ними может быть равен от 1 до 6, разделяя их на музыкальных часах. А сейчас напишем аккордный интервальный вектор, который покажет, сколько пар высот в аккорде разделяются 1 полутоном, сколько 2 полутонами и т.д. Например, тетраккорд (аккорд с 4 высотами) Р1=(B,C,D,F^#) имеет четырехугольник с двумя диагоналями (рис.4). Он имеет 4 стороны и 2 диагонали и С₄²=4(4-1)/2=6 пар высот, которые все разделены разными интервалами. Таким образом, интервальный вектор для этого аккорда равен <1,1,1,1,1,1>. Интервальный вектор для аккорда С мажор (рис.3) равен <0,0,1,1,1,0>, т.к. данный аккорд имеет 1 пару высот, разделенную тремя, одну – четырьмя и одну – пятью полутонами и не имеет пар высот, разделенных 1,2, и 6 полутонами.

Аккордный интервальный вектор показывает, сколько высот не будет изменяться при перемещении аккорда. Чтобы увидеть это, рассмотрим действие вращения на пару высот.

Рисунок 5

Рисунок 6

Если они разделяются тритоном (прямая, соединяющая 2 данные высоты на музыкальных часах - диаметр), то любое вращение, кроме Т⁶ и Т^-6 (вращение на 180⁰) посылает этот диаметр в другой диаметр таким образом, что обе полученные высоты будут отличаться от первоначальных. При вращении на 180⁰ по или против часовой стрелке одна из высот остается на своем месте.

На рис.5 показано действие Т2 на диаметр. При этом перемещении «си» перешло в «до», а «фа» - в «соль», т.е. ни одна из нот не осталась на своем месте. Для пары высот, которые разделены менее чем на тритон, действие поворота другое (рис.6). Предположим, что интервал между высотами равен К полутонов, где К<6. Любое вращение, кроме Т^к и Т^-к не сохраняет ни одну из двух высот, тогда как вращение Т^к и Т^-к оставляет одну высоту на своем месте.

Если аккордный интервальный вектор для аккорда Р равен <n1,n2,...,n6>, то для К=1,2,3,4,5, число высот, которые не изменяются при повороте на К полутонов вверх или вниз равно nk. Количество высот, которые не изменяются при повороте на тритон (К=6) равно 2n6

Для К<6 вращение Т^к или Т^-к оставляет неизменной одну высоту в каждой паре высот, которые находятся на расстоянии К полутонов друг от друга, но не оставляет постоянными высоты в других парах. Т.к. Р содержит nk пары высот, которые находятся на расстоянии К полутонов, то число постоянных высот при Т^к или Т^-к равно nk. Но для К=6 поворот оставляет постоянными все высоты. Значит, число высот, которые останутся постоянными при Т⁶ или Т^-6 равно 2n6.

Для примера рассмотрим аккорд (G,B,D,F) (рис.7). Интервальный вектор данного аккорда равен <0,1,2,1,1,1>. Значит, при повороте на 1 полутон по или против часовой стрелке все 4 высоты данного аккорда изменяются. Поворот на 2,4,5 полутонов сохраняет одну высоту данного аккорда, а поворот на 3 или 6 полутонов сохраняет 2 высоты. Т.к. ни одна из первых пяти координат интервального вектора не равна 4 и шестая координата не равна 2, то не существует такого поворота, который бы сохранил целый аккорд.

Рисунок 7

Рисунок 8

Рисунок 9

Рассмотрим аккорд из оперы П.И. Чайковского «Евгений Онегин» («Дуэт Татьяны и Ольги») (рис. 8). Его интервальный вектор равен <0,0,4,0,0,2>. Он показывает, что поворот на 3 или 6 полутонов по или против часовой стрелке сохраняет весь аккорд. Данный четырехугольник имеет 4 вращательные симметрии: Т⁰, Т³, Т^-3, Т^+-6. Применим 12 разных вращений к данному аккорду (рис. 9):

P₁T¹=P₂      P₁T²=P₃    P₁T^-1=P₃    P₁T^-2=P₂   P₁T³=P₁    P₁T⁴=P₂     P₁T^-3=P₁   P₁T^-4=P₃   P₁T⁵=P₃       P₁T⁶=P₁
P₁T^-5=P₂    P₁T^-6=P₁

Таким образом, применяя 12 различных вращений, мы можем получить только 3 аккорда: Р1, Р2, Р3. Но 12/4=3. Из этого можно сделать вывод:
Данная теорема доказывает, что число новых аккордов, полученных при применении 12 различных поворотов, равно частному 12 на число поворотов, которые оставляют аккорд неизменным

Музыкальные часы имеют не только 12 поворотов Т^к и Т^-к для 0_<K_<6. Пусть S обозначает осевую симметрию, ось симметрии которой проходит через 0 и 6. Теперь мы можем составить композиции этих преобразований (поворотов и осевых симметрий), т.е. Т^к и Т^-к с S, чтобы получить новые преобразования циферблата музыкальных часов.

Например, преобразование Т^-5S можно получить таким образом:
1) отразить данный треугольник относительно оси 0 и 6, т.е. сделать преобразование S;

2) повернуть треугольник на 1500 против часовой стрелке, т.е. сделать преобразование Т^-5 (рис.10)

Это же преобразование можно сделать короче:
Повернуть ось симметрии на -75⁰ (т.к. (-5)*15⁰=-75⁰) и отразить данный треугольник относительно этой оси (рис.10).

Рисунок 11

                     Рисунок 10

С точки зрения математики, 24 вращательных и отражающих симметрий часов составляют группу преобразований, образованную двумя преобразованиями, которую мы будем называть Д12.  

А теперь найдем полные интервальные аккорды, т.е. аккорды , содержащие шесть пар высот, разделенных шестью разными интервалами, т.е. с интервальным вектором <1,1,1,1,1,1>.Любой полный интервальный аккорд должен иметь 4 высоты, т.к. только 4 является решением уравнения n(n-1)/2=6. Ранее мы анализировали только один полный интервальный тетраккорд Р1=(B,C,D,F#). Исследовав четырехугольник аккорда Р2=(C,C#,E,F#) мы видим, что он является полным интервальным аккордом. На рис.11 изображены аккорды Р1 и Р2. Ни одно из преобразований из группы Д12 не отправляет один аккорд к другому. Из этого можно сделать вывод, что эти четырехугольники – несравнимы (неконгуэнтны).

Из любого полного интервального тетраккорда можно получить тетраккорды Р1=(B,C,D,F#) и P2=(C,C3,E,F#), используя одно из преобразований группы Д12.

Пусть аккорд Р будет любым тетраккордом с интервальным вектором <1,1,1,1,1,1>. Таким образом, Р содержит одну пару высот, которые разделены тритоном. Тритон может проявляться как диагональ или сторона четырехугольника.

Сначала предположим, что тритон выступает как диагональ Р. Вращением часового циферблата мы можем установить диагональ так, чтобы она соединяла 0 и 6, рассекая Р на два треугольника. Оставшиеся две части каждого треугольника должны присоединиться к тритону, чтобы закрыть треугольник. Но существует только одно разделение шести на два разных интервала (6=5+1 и 6=4+2) (рис.12). Четыре многоугольника справа не являются полными интервальными, потому что у этих четырехугольников две пары высот, разделенных 5 полутонами, поэтому они имеют интервальный вектор <1,1,0,1,2,1>. Только четыре четырехугольника слева, полученные преобразованиями из группы Д12, конгруэнтны к Р1.

А сейчас представим, что тритон появляется как сторона. Снова произведя вращения от Д12, установим диагональ так, чтобы она соединяла 0 и 6 на музыкальных часах. Оставшиеся три интервала между тремя парами высот должны суммироваться в тритон. Есть только одно разложение шести на три разных интервала (6=1+2+3). Итак, существует только 12 вариантов аккорда Р, 6 из которых изображены на рис.13. Остальные 6 мы можем найти, используя отражение S. Четыре четырехугольника справа имеют интервальный вектор <1,1,2,1,0,1>, следовательно, они не являются полными интервальными. Два четырехугольника слева – конгруэнтны к Р2, полученные из группы Д12.

           Рисунок 13

                  Рисунок 12                                       Рисунок 14

Чтобы более глубоко проанализировать аккорды Р1 и Р2 введем преобразование М7. Действие М7 изображено на рис.14. Заметим, что данное преобразование не сохраняет расстояние между высотами. На рис.14 мы видим, что любая пара высот, разделенная одним полутоном перемещается М7 к паре, разделенной пятью полутонами и наоборот, все остальные интервалы между высотами остаются неизменными.

Таким образом, М7 изменяет только первую и пятую координату интервального вектора любого аккорда. Из этого следует, что применение М7 к полному интервальному тетраккорду дает другой такой же аккорд.
Практическое применение М7 к аккорду Р1 показано на рис.14. Видно, что получился четырехугольник, применив к которому отражение относительно оси, проходящей через 3 и 9, можно получить четырехугольник Р2.

Следовательно, из любого интервального тетраккорда, применив к нему одно из преобразований группы Д12, можно получить тетраккорд Р1=(B,C,D,F#).

В числовом отношении применив М7 к аккорду, мы просто умножаем каждую высоту в аккорде на 7, а затем делим на 12

Этим мы доказали, что при преобразовании М7 изменяется только первая и пятая координата интервального вектора аккорда.

А сейчас я хочу сравнить творчество нескольких композиторов, используя все эти теоремы и выводы. Ведь это очень интересно, проанализировав творчество композиторов, найти у них сходства и отличия. Может быть, у одного из них будут полные интервальные аккорды, у другого – симметричные аккорды, а из аккордов третьего, используя одно из преобразований группы Д12 можно будет получить аккорды второго и первого.
Я очень люблю творчество Петра Ильича Чайковского, Р.Шумана и с раннего детства обожала «Битлз». Поэтому в своей работе я буду анализировать «Времена года» и оперу «Евгений Онегин» П.И. Чайковского, произведения Р.Шумана и такие песни «Битлз» как «Yesterday», «Girl», «Here there and everythere».

Содержание

Сначала рассмотрим тетраккорды, которые использует в своих произведениях П.И. Чайковский. Основным аккордом в творчестве этого композитора является аккорд Р (рис.15). Его интервальный вектор <0,1,2,1,1,1>. Все остальные тетраккорды с таким интервальным вектором получены с помощью поворота данного четырехугольника по часовой стрелке на 1 полутон, на 2 полутона, на 4 полутона, на 5 полутонов, против часовой стрелки на 1 полутон или с помощью преобразования S, ось осевой симметрии которого повернута по часовой стрелке на 15⁰.

Есть у П.И. Чайковского и полный интервальный тетраккорд РР (рис.15), который имеет интервальный вектор <1,1,1,1,1,1>, и из которого, согласно теореме 2, можно получить тетраккорд Р1, повернув данный четырехугольник по часовой стрелке на 4 полутона.

В произведениях П.И. Чайковского я также нашла тетраккорд Рв с интервальным вектором <0,0,4,0,0,2> (рис.15), который, согласно теореме 1, имеет 4 вращательные симметрии Т⁰, Т³, Т^-3, Т^+-6, т.к. третья координата его интервального вектора равна 4, а шестая – 2. Из этого следует, что из данного аккорда, применяя 12 различных вращений из группы Д12, мы можем получить только 3 аккорда (рис.9), т.к. 12/4=3 (согласно выводу из теоремы 1).

В своих произведениях П.И. Чайковский использует тетраккорд Р3 с интервальным вектором <0,1,2,1,2,0> (рис.15), из которого можно получить аккорд Р₃Т^-3, изображенный на рис.15 с помощью поворота аккорда Р3 против часовой стрелки на 3 полутона.

Присутствуют у этого композитора и тетраккорды с другими интервальными векторами: <0,2,0,3,0,1>, <1,0,1,2,2.0>, <1,0,1,3,1,0>.

А теперь посмотрим, какие аккорды из трех нот использует в своих произведениях П.И. Чайковский. Основным аккордом из трех нот в его творчестве является аккорд Р1 (рис.15). Его интервальный вектор равен <0,0,1,1,1,0>.

Рисунок 15

Все остальные аккорды из трех нот с таким интервальным вектором получены с помощью преобразования S, ось осевой симметрии которого повернута по часовой стрелке на 75⁰, т.е. S^2,5 или против часовой стрелки на -75⁰, т.е. S^-2,5.

В своих произведениях он использует аккорды с интервальными векторами:<0,1,1,0,1,0>, <1,0,0,1,1,0>,<0,0,2,0,0,1>.

Проанализировав творчество П.И. Чайковского я выяснила, что он использует в своих произведениях как тетраккорды, так и аккорды из трех нот. Нашла я у него полный интервальный тетраккорд и тетраккорд, который имеет вращательную симметрию. Аккорды с одинаковыми интервальными векторами получены с помощью поворота или осевой симметрии.

Содержание

Сначала выясним, какие аккорды из трех нот использует в своем творчестве Р.Шуман. Основным трех нотным аккордом в его произведениях является аккорд Р (рис.16). Его интервальный вектор равен <0,0,1,1,1,0>.

Все остальные аккорды из трех нот с таким интервальным вектором получены с помощью поворота данного треугольника по часовой стрелке на 4 полутона, против часовой стрелки на 3 полутона, на 5 полутонов, с помощью преобразования S, ось осевой симметрии которого повернута по часовой стрелке на 60⁰, т.е. S² или с помощью одновременного поворота на 2 полутона по часовой стрелке и преобразования S, ось осевой симметрии которого повернута против часовой стрелки на 15⁰, т.е. Т²S^-0,5.

А теперь посмотрим, какие тетраккорды он использует в своих произведениях. Основным тетраккордом в творчестве Р. Шумана является аккорд Рт1 (рис.16). Его интервальный вектор равен <0,1,2,1,1,1>. Все остальные тетраккорды с таким интервальным вектором получены с помощью поворота данного четырехугольника против часовой стрелки на 3 полутона, по часовой стрелке на 1 полутон или против часовой стрелке на 2 полутона.

Рисунок 16

В своих произведениях Р.Шуман использует тетраккорд Рт2 с интервальным вектором <0,2,0,3,0,1>(рис.16), из которого получен тетраккорд с таким же интервальным вектором при помощи поворота данного четырехугольника на 2 полутона против часовой стрелке. Есть у него также тетраккорды и с другими интервальными векторами <0,1,2,1,2,0>, <1,0,2,1,1,1>, <0,2,1,0,3,0>.

Таким образом, проанализировав творчество Р.Шумана, я выяснила, что он не использует в своих произведениях полные интервальные тетраккорды и тетраккорды, которые имеют вращательную симметрию. У него в произведениях есть аккорды из трех нот только одного типа – с интервальным вектором <0,0,1,1,1,0>. Аккорды с одинаковыми интервальными векторами получены при помощи поворота, осевой симметрии или одновременного применения обоих преобразований.

Содержание

Сначала посмотрим, какие аккорды их трех нот присутствуют в песнях группы «Битлз». Основным трех нотным аккордом в их творчестве является аккорд Р1 (рис.17). Его интервальный вектор равен <0,0,1,1,1,0>. Все остальные аккорды из трех нот с таким интервальным вектором получены с помощью поворота данного треугольника по часовой стрелке на 2 полутона, преобразования S, преобразования S, ось осевой симметрии которого повернута против часовой стрелки на 30⁰, т.е. S¹, одновременного применения поворота на 3 полутона против часовой стрелки и преобразования S, т.е. Т^-3S, двойного применения преобразования S (сначала ось симметрии которого проходит через 0 и 6, а затем повернута на 90⁰, т.е. S³ и S; сначала ось симметрии которого проходит через 0 и 6, а затем повернута по часовой стрелке на 60⁰, т.е. S² и S).

Присутствуют в песнях группы «Битлз» и трех нотные аккорды с другими интервальными векторами. Например, аккорд Р2 (рис.17) имеет интервальный вектор <0,0,2,0,0,1>. Из данного аккорда можно получить другой аккорд , встречающийся в других их произведениях с помощью поворота данного треугольника против часовой стрелки на 5 полутонов.

Есть в их творчестве и аккорды из трех нот с интервальным вектором <0,1,0,0,2,0> и <0,1,1,0,1,0> (P3 на рис.17), из которого можно получить другой аккорд, используя поворот данного треугольника на 6 полутонов по или против часовой стрелки.

А теперь рассмотрим тетраккорды, которые использует в своих песнях группа «Битлз». Основным тетраккордом в их творчестве является аккорд Р (рис.17). Его интервальный вектор равен <0,1,2,1,2,0>. Все остальные тетраккорды с таким интервальным вектором получены при помощи поворота данного четырехугольника по часовой стрелке на 4 полутона, на 6 полутонов по или против часовой стрелке. Есть в их творчестве и тетраккорды с другими интервальными векторами: Р4(рис.17) <0,1,2,1,1,1>, из которого можно получить тетраккорд с таким же интервальным вектором с помощью поворота данного четырехугольника против часовой стрелки на 4 полутона; Р5<0,2,1,1,2,0> (рис.17).

Рисунок 17

Таким образом, проанализировав творчество группы «Битлз», я обнаружила, что они не используют ни полные интервальные аккорды, ни аккорды, которые имеют вращательную симметрию. Есть в песнях группы «Битлз» и тетраккорды, и аккорды, состоящие из трех нот. Аккорды с одинаковыми интервальными векторами получены при помощи поворота, преобразования S или двойного преобразования S.

Содержание

Р. Шумана и группы "Битлз"

А теперь я хочу сравнить творчество этих композиторов, найти у них сходства и различия, посмотреть, каким способом можно получить аккорды одного из аккордов другого и третьего.

Творчество Р. Шумана очень похоже на творчество гр. «Битлз». Они оба не используют в своих произведениях полные интервальные аккорды и аккорды с вращательной симметрией. У Р. Шумана и группы «Битлз» присутствуют аккорды с одинаковыми интервальными векторами.

Например, основной тетраккорд Р1 в творчестве гр. «Битлз» (рис.17) и Р в творчестве Р. Шумана (рис.16) имеют интервальный вектор <0,0,1,1,1,0>, основной тетраккорд Р. Шумана Рт1 (рис.16) и тетраккорд гр. «Битлз» Р4 (рис.17) - <0,1,2,1,1,1>, тетраккорд Р. Шумана и основной тетраккорд гр. «Битлз» Р (рис.17) - <0,1,2,1,2,0>.

Из аккордов Р. Шумана можно получить аккорды гр. «Битлз» следующим образом (рис.18):

c помощью преобразования S;

с помощью поворота аккорда по часовой стрелке на 3 полутона;

с помощью поворота тетраккорда Р. Шумана по часовой стрелке на 1 полутон

                 Рисунок 18

                        Рисунок 19

Творчество П.И. Чайковского более разнообразно, чем гр. «Битлз» и Р. Шумана.

Помимо аккордов из трех нот и обыкновенных тетраккордов, в его произведениях есть полный интервальный тетраккорд и аккорд, имеющий четыре вращательные симметрии.

У П. И. Чайковского и гр. «Битлз» есть аккорды с одинаковыми интервальными векторами. Например, основной аккорд Чайковского Р1 (рис.15) и основной аккорд гр. «Битлз» Р1 (рис.17) имеют интервальный вектор <0,0,1,1,1,0>, основной тетраккорд Чайковского Р(рис.15) и тетраккорд гр. «Битлз» Р4 (рис.17) - <0,1,2,1,1,1>, тетраккорд Чайковского Р3 (рис.15) и основной тетраккорд гр. «Битлз» Р (рис.17) - <0,1,2,1,2,0>.

 Из аккордов П. И. Чайковского можно получить аккорды гр. «Битлз» следующим образом (рис.19):

при помощи преобразования S, ось осевой симметрии которого повернута на 3 полутона по или против часовой стрелки, а затем поворота полученного треугольника по часовой стрелке на 4 полутона;

при помощи преобразования S, ось осевой симметрии которого повернута на 1,5 полутона по часовой стрелке, т.е. S^1,5;

поворотом треугольника на 3 полутона против часовой стрелки; поворотом четырехугольника по часовой стрелке на 5 полутонов;

поворотом четырехугольника на 3 полутона по часовой стрелке.

У П.И. Чайковского с Р. Шуманом тоже есть аккорды с одинаковыми интервальными векторами.

Например, основной тетраккорд П.И. Чайковского Р (рис.15) и основной тетраккорд Р. Шумана Рт1 (рис.16) имеют интервальный вектор <0,1,2,1,1,1>

Общие тетраккорды: <0,2,0,3,0,1>,<0,1,2,1,2,0>

Общие аккорды из трех нот: основной П.И. Чайковского Р1 (рис.15) и Р. Шумана - <0,0,1,1,1,0>.

Из аккордов П. И. Чайковского можно получить аккорды Р. Шумана следующим образом (рис.20):

поворотом по часовой стрелке на 2 полутона;

поворотом против часовой стрелки на 3 полутона.

Рисунок 20

Содержание

1) А.Д. Александров «Геометрия 8-9 кл. для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики». Москва 1991г. с. 289-368

2) Brian J. McCartin “The College Mathematics Journal” vol 29 no 5, November 1998 p.354-362

3) «Песни радио, кино и телевидения», Музыка, Москва 1979г. с.28-34

4) П.И. Чайковский «Времена года», Музыка, Москва 1965г. с.25-38, 52, 68, 90

5) Гродзенская. Музыкальная хрестоматия «Слушание музыки в школе», Музыка, Москва 1965г. с.39-41

6) Р. Шуман «Альбом для юношества», Государственное музыкальное издательство, Москва, 1963г. с.8, 10, 15, 26, 33-40, 58-60

Ссылки по теме

7) http://www.krugosvet.ru/articles/18/1001811/1001811a1.htm

Понятие гармонии, аккордики и сравнение аккордики с Евклидовой геометрией

8) http://www.goldenmuseum.com/2205ShevLecture_rus.html

"Всеосяжні Принципи Гармонії та Золотого Перетину: Математичні зв'язки в Природі, Науці"

Лекция профессора Алексея Стахова на заседании Научного общества имени Шевченко в Канаде 14-го апреля 2005 г.

9) http://www.vlgifk.narod.ru/serbina.htm

Взаимодействие музыки и движения

10) http://www.stihi.ru/poems/2006/01/24-855.html

Стихи про музыку и геометрию

11) http://beatles.kulichki.net/start.html

Русский сайт группы "Битлз"

Содержание