Что такое простейший генетический алгоритм, схема, теорема Холланда?
В.М. Курейчик, статья

Механизм простого ГА (ПГА) несложен. Он копирует последовательности и переставляет их части. Предварительно ГА случайно генерирует популяцию последовательностей - стрингов (хромосом). Затем ГА применяет множество простых операций к начальной популяции и генерирует новые популяции.
ПГА состоит из 3 операторов: репродукция, кроссинговер, мутация.
Репродукция - процесс, в котором хромосомы копируются согласно их целевой функции (ЦФ). Копирование хромосом с "лучшим" значением ЦФ имеет большую вероятность для их попадания в следующую генерацию. Оператор репродукции (ОР), является искусственной версией натуральной селекции, "выживания сильнейших" по Дарвину.
После выполнения ОР оператор кроссинговера (ОК) может выполниться в несколько шагов На первом шаге выбираются члены нового репродуцированного множества хромосом. Далее каждая пара хромосом (стрингов) пересекается по следующему правилу: целая позиция k вдоль стринга выбирается случайно между l и длиной хромосомы минус единицу т.е. в интервале (1,L-1). Длина L хромосомы это число значащих цифр в его двоичном коде. Число k, выбранное случайно между первым и последним членами, называется точкой ОК или разделяющим знаком.
Механизм ОР и ОК включает случайную генерацию чисел, копирование хромосом и частичный обмен информацией между хромосомами.
Генерация ГА начинается с репродукции. Мы выбираем хромосомы для следующей генерации, вращая колесо рулетки, такое количество раз, которое соответствует мощности начальной популяции. Величину отношения Fi(x)/SumF(x) называют вероятностью выбора копий (хромосом) при ОР и обозначают Pi(OP). Здесь Fi(x) - значение ЦФ i-той хромосомы в популяции, SumF(x) - суммарное значение ЦФ всех хромосом в популяции. Величину Pi(OP) также называют нормализованной величиной.
Ожидаемое число копий i-ой хромосомы после ОР определяют N=Pi(OP)*n. Здесь n - число анализируемых хромосом.
Число копий хромосомы, переходящее в следующее положение, иногда определяют на основе выражения Ai=Fi(x)/СреднееFi(x).
Далее, согласно схеме классического ПГА, выполняется оператор мутации. Считают, что мутация - вторичный механизм в ГА.
Понятие "схема" (схемата), согласно Холланду, есть шаблон, описывающий подмножество стрингов, имеющих подобные значения в некоторых позициях стринга. Для этого вводится новый алфавит {0,1,*}, где * - означает: не имеет значения 1 или 0. Для вычисления числа схем или их границы в популяции требуются точные значения о каждом стринге в популяции.
Для количественной оценки схем введены 2 характеристики: порядок схемы - О(H); определенная длина схемы - L(H).
Порядок схемы - число закрепленных позиций (в двоичном алфавите - число единиц и нулей), представленных в шаблоне.
Предположим, что заданы шаг (временной) t, m примеров частичных схем H, содержащихся в популяции A(t). Все это записывают как m=m(H,t) - возможное различное число различных схем H в различное время t.
В течение репродукции стринги копируются согласно их ЦФ или более точно: стринг A(i) получает выбор с вероятностью, определяемой Pi(OP).
После сбора непересекающихся популяций размера n с перемещением из популяции A(t) мы ожидаем иметь m(H,t+1) представителей схемы H в популяции за время t+1. Это вычисляется уравнением

                  m(H,t+1)=m(H,t)*n*f(H)/sum[f(j)]                         (1)

                       m(H,t+1)=m(H,t)*f(H)/f`                             (2)

              m(H,t+1)=m(H,t)*(f`+c*f`)/f`=(1+c)*m(H,t)                    (3)

                           P(s)=1-L(H)/(L-1)                               (4)

                        P(s)=1-P(ОК)*L(H)/(L-1)                            (5)

               m(H,t+1)=m(H,t)*f(H)/f`*[1-P(ОК)*L(H)/(l-L)]                (6)

         m(H,t+1) > m(H,t)*f(H)/f`*[1-Р(ОК)*l(H)/(l-1)-l(H)*P(ОМ)]         (7)

Для LibGA я пользовал такую схему:

1. Отбор особей для репродукции
2. Образование пар из отобранных особей
3. Рекомбинация - генерация новых особей из родительских пар
4. Мутация новых особей
5. Позиционирование новых особей в популяции

Реализует отбор N случайных особей популяции. Обычно для этого N раз случайно выберается позиция в популяции и каждый раз особь, соответствующая выбранной позиции копируется в буфер. При этом одна и та же особь вне зависимости от её пригодности имеет шанс быть отобранной несколько раз.
Пример:

    ...
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
       selected.push_back(&population[rand()%population.size()]);
    }
    ...

В общем случае реализует отбор N лучших особей популяции. При упорядоченной популяции сводится к отбору N первых (последних) особей популяции.

Реализует отбор N особей, причем вероятность отбора каждой конкретной особи пропорциональна её приспособленности. Лучшая метафора этой стратегии - рулетка. Пусть каждой особи популяции сосответствует свой сектор рулетки. Размер сектора пропорционален приспособленности особи (для определения размера сектора в отрезке 0-1 можно воспользоваться нормализацией приспособленностей особей популяции). Теперь, необходимо лишь N раз "раскрутить рулетку и посмотреть где остановится шарик".

Фактически, это более строгий вариант "рулетки". В последней, связь числа вхождений конкретной особи в множество отобранных для репродукции особей с приспособленностью этой особи реализовалась через вероятность отбора. В пропорциональном отборе вероятностное звено исключается. Здесь, число вхождений особи непосредственно пропорционально приспособленности особи.

Рекомбенация практически всегда ассоциируется с кроссинговером (кроссовером). Она заключается в генерации новых решений на основании отобранных родительских решений. Классическая схема заключается в создании одного или нескольких решений на основании родительской пары (2 родительские особи) посредством различного рода комбинаций их ген. Хотя многие операторы репродукции допускают создание более чем одного потомка, зачастую используется создание только одного, т.к. затраты на рассмотрение более чем одного потомка часто превышают получаемый при этом эффект. Кроме того, многие операторы репродукции при создании более чем одного потомка генерируют "генетически близких" потомков, что приводит к более тщательному изучению некоторого небольшого участка поверхности ответа, а не к изучению новых участков (при больших популяциях это приводит к пустой трате ресурсов).
Наиболее распространены реализации ГА со статической длиной хромосом особей, т.к. при этом операторы рекомбинации много проще в реализации. Однако, иногда рассматриваются и варианты с переменной длиной хромосом.

"Традиционный" генетический алгоритм использует одноточечный кроссинговер, в котором две скрещивающиеся хромосомы разрезаются один раз в соответствующей точке и производится обмен полученными частями. Однако было изобретено много других различных алгоритмов с иными видами кроссинговера, часто включающих больше чем одну точку разреза. DeJong исследовал эффективность многоточечного кроссинговера и пришел к выводу, что двуточечный кроссинговер дает улучшение, но что дальнейшее добавление точек кроссинговера редуцирует деятельность генетического алгоритма. Проблема с добавлением дополнительных точек кроссинговера состоит в том, что стандартные блоки, вероятно, будут прерваны. Однако преимущество большего количества точек кроссинговера состоит в том, что пространство состояний может быть исследовано более полно и подробно.