Сивокобыленко В.Ф., Лебедев В.К., Кукуй К.А.
Донецкий национальный технический университет
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ РЕЖИМОВ ГРУППОВОГО ВЫБЕГА И САМОЗАПУСКА В СИСТЕМАХ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ С АСИНХРОННЫМИ И СИНХРОННЫМИ ДВИГАТЕЛЯМИ

     Рассмотрена математическая модель узла двигательной нагрузки энергосистемы основанная на полных дифференциальных уравнениях её элементов. Получены выражения для определения напряжений в узлах расчетной схемы. Модель позволяет рассчитывать режимы группового выбега, самозапуска при перерывах питания, вызванных симметричными и несимметричными короткими замыканиями в схеме электроснабжения с асинхронными и синхронными двигателями.
     Системы электроснабжения с асинхронными и синхронными двигателями получили широкое распространение в различных отраслях промышленности: металлургических и химических предприятиях, магистральных газо- и нефтепроводах, в системах собственных нужд электростанции и др. Типовая схема таких систем электроснабжения приведена на рис. 1. Для анализа их работы при кратковременных нарушениях электроснабжения требуется учет токов подпитки места короткого замыкания от двигательной нагрузки, определение частоты, фазы и уровня напряжения на шинах питания двигателей, учет перетоков мощностей между отдельными двигателями и узлами нагрузки при их групповом выбеге, выбор уставок устройств релейной защиты и автоматики. При этом требуется определение мгновенных значений параметров режимов (токов, напряжений, мощностей, моментов и др.).

      В работах, посвященных данной теме, в основном рассматриваются узлы нагрузки, содержащие только асинхронные двигатели [1 — 4], или только синхронные [5 — 8], и недостаточно освещен вопрос анализа поведения комплексного узла нагрузки, состоящего из произвольного числа асинхронных и синхронных двигателей, статической нагрузки. Кроме того, в указанных работах и других [9 — 13] рассматриваются и анализируются в основном перерывы питания, вызваны симметричными короткими замыканиями, тогда, как известно, что в питающих сетях 110 — 330 кВ с глухим заземлением нейтрали преобладающими являются однофазные короткие замыкания. Решение указанных вопросов и явилось целью настоящей работы, в которой представлено математическое описание коротких замыканий и режимов группового выбега и самозапуска асинхронных и синхронных двигателей, реализованное в цифровой модели на ПЭВМ. При разработке модели принимались общепринятые допущения для электрических машин и трансформаторов (синусоидальность магнитного потока в зазоре, неучёт насыщения магнитных потоков, симметрия фазных обмоток). Типовая схема системы электроснабжения с асинхронными и синхронными двигателями, аналогичная приведенной в [8], может быть представлена из питающих энергосистем С1 и С2 с соответствующими ЭДС Е1, Е2, линий межсистемных связей Л1, Л2 и линии Л3, подключенной глухой отпайкой к линиям Л1, Л2 для питания через понижающий трансформатор Т двигательной и статической нагрузки на напряжении 6 — 10 кВ. Трансформатор Т содержит две расщепленные обмотки низшего напряжения и имеет схему соединений Υ/ Δ / Δ. В такой схеме будем рассматривать симметричные и несимметричные короткие замыкания и кратковременные перерывы питания на стороне высшего (110 — 330кВ) и низшего (6 — 10кВ) напряжений. Трёхфазная схема замещения рассмотренной типовой схемы электроснабжения предоставлена на рис.2.

      В этой схеме к каждой из секций 6 — 10 кВ подключены асинхронные (i=1,2…n) и синхронные двигатели (j=1,2…m), статическая нагрузка ng1, ng2, шунты sh1, sh2 для моделирования коротких замыканий, а также обмотки низшего напряжения трансформатора НН1 и НН2. Сеть высшего напряжения представлена обмотками трансформатора, соединенными в звезду, ЭДС систем ЕЛ1 и ЕЛ2, линиями Л1, Л2, шунтом sh3 для моделирования любых видов коротких замыканий, а также заземлениями нейтралей питающих систем, трансформатора Т и шунта sh3. Способы определения активных сопротивлений и индуктивностей указанных элементов схемы рассмотрены в работах [2,8,11,12]. Асинхронные и синхронные двигатели представлены схемами замещений с двухконтурным эквивалентным ротором по каждой из осей d, q и, кроме того, в синхронных двигателях учтена обмотка возбуждения по оси d. Дифференциальные уравнения статических элементов (трансформатора, питающих линий, шунтов, нагрузки) записываются в фазных координатах а, b, c, o, уравнения асинхронных двигателей - в неподвижных относительно статора координатах α, β, уравнения синхронных двигателей — во вращающихся вместе с ротором каждой машины индивидуальных осях d, q. При этом на каждом шаге расчета, используя соотношения, приведенные в [12], производится преобразование переменных асинхронных и синхронных двигателей к фазным координатам а, b, c. С целью уменьшения количества вычислительных операций в данной модели за основу приняты для асинхронных и синхронных двигателей дифференциальные уравнения, записанные относительно токов статора и ротора [2,8]. Как видно из схемы замещения системы (рис.2) она содержит кроме базисного нулевого 13 узлов, 34 ветви для статических элементов, а также на каждой секции по n присоединений для асинхронных двигателей и m присоединений для синхронных двигателей. Положительные направления токов и напряжений ветвей указаны на схеме стрелками. Для определения токов и напряжений ветвей за основу принят метод узловых напряжений. Последние находятся из решения системы алгебраических линейных уравнений, которая получена из выражений первого закона Кирхгофа для производных от узловых токов. Для понижения порядка указанной системы уравнений с 13 до 9 выразим токи в ветвях заземлений нейтралей через сумму соответствующих фазных токов и определив через них напряжения узлов 10 — 13, учтём их затем в уравнениях обмотки высшего напряжения трансформатора, линий Л1, Л2, шунта sh3. После определения узловых напряжений переменные состояния находятся из численного решения методом Рунге-Кутта дифференциальных уравнений отдельных элементов схемы. Запишем дифференциальные уравнения отдельных элементов. Для трёхобмоточного трансформатора имеющего расщеплённые обмотки низшего напряжения с учетом рабочего магнитного потока и потоков рассеяния эти уравнения в матричной форме записи в фазных координатах а, b, c, о могут быть представлены как:

      В (1) используются параметры схемы замещения трансформатора: Lm — индуктивность ветви намагничивания; R_в^a, R_в^b, R_в^c, R_н1^a, R_н1^b, R_н1^c, R_н2^a, R_н2^b, R_н2^c — активные сопротивления обмоток соответствующих фаз; L_в^a, L_в^b, L_в^c, L_н1^a, L_н1^b, L_н1^c, L_н2^a, L_н2^b, L_н2^c - полные индуктивности обмоток, состоящие из суммы индуктивностей рассеяния и индуктивности ветви намагничивания; R_Т⁰, R_Т⁰ — активное сопротивление и индуктивность для токов нулевой последовательности в цепи заземления нейтрали обмоток высшего напряжения; p=d ⁄dt- оператор дифференцирования.      Дифференциальные уравнения элементов сети высшего напряжения, шунта sh3 линий межузловых связей с их питающими системами, имеющими заземлённые нейтрали, в фазной системе координат a, b, c, о имеют вид:

     Для решения систем уравнений (1) — (3) относительно производных токов необходимо найти обратные матрицы индуктивностей трансформатора L_т^-1, имеющую элементы b_mj^т (m=1,…,9, j=1,…,9), шунта с элементами b_ij^sh3 (i=1,…,3, j=1,…,3), линий L_л^-1 с элементами b_ij^л (i=1,…,3, j=1,…,3, л=л1, л2 ), и умножить их на соответствующие правые части уравнений (1) — (3). Тогда эти уравнения, приведенные к форме Коши, в фазной системе координат примут следующий вид:
     трансформатор:

     где

     шунт sh3:

     где

     линии Л1, Л2:

     где

     л=л1, л2 .

     В (4) — (6) значение первого индекса в обозначении элементов обратных матриц L_т^-1, L_sh3^-1, L_л^-1 определяются из приведённой ниже таблицы, в которой индекс n соответствует обмоткам В, H1, H2, k - фазам a, b, c, а индекс m определяется суммированием значений i и l.

     Таблица1. — Значения первого индекса в элементах обратных матриц индуктивностей

n	B			H1			H2
k	a	b	c	a	b	c	a	b	c
i	1	2	3	1	2	3	1	2	3
l	0	0	0	3	3	3	6	6	6
m=i+l	1	2	3	4	2	6	7	8	9

     Дифференциальные уравнения нагрузки ng1 и ng2, шунтов sh1 и sh2 на стороне низшего напряжения трансформатора запишем в координатах a, b, c, в форме Коши аналогично [2]:

где:

     b_k^z = 1 ⁄ L_k^z   a_k^z = -b_k^zR_z^ki_z^k;   Z=sh1, sh2, ng1, ng2;   k=a, b, c;   Н=Н1, Н2.
     Для синхронных двигателей из-за магнитной и электрической несимметрии их роторов по осям наиболее целесообразно дифференциальные уравнения решать в осях d, q ротора и осуществлять переход к фазным координатам на каждом шаге расчёта. В [8] были получены полные дифференциальные уравнения СД, имеющего кроме обмотки возбуждения по два эквивалентных демпферных контура в осях d и q. Ниже приведём уравнения только для производных токов статора pisd, pisq которые записаны в форме Коши во вращающейся системе координат d и q:

     В уравнениях (8) и (9) используются параметры схем замещения СД по осям d и q: R_s, R_f, R_rd^', R_rd^", R_rq^', R_rq^" — соответственно активные сопротивления обмоток статора, возбуждения и демпферных контуров ротора; L_md, L_mq, L_sd, L_sq — индуктивности ветвей намагничивания и полные индуктивности контуров статора; d_ij, q_ij, — коэффициенты обратных матриц индуктивностей СД по осям d и q [ 8 ]. Для определения выражений производных токов статора СД в осях a, b, c, аналогично уравнениям статических элементов сети (4) — (7) воспользуемся матрицами прямого П_СД и обратного П_СД^-1 преобразования переменных и получим формулы для производных токов статора СД в осях a, b, c и напряжений статора в осях d, q, которые потребуются нам в дальнейшем: