Р.Поликар."Вводный экскурс по вейвлет-преобразованию"Вашему вниманию предлагается вводный экскурс по вейвлет-преобразованию. Это относительно мало исследованное понятие, если иметь в виду потенциальные разработки, с ним связанные, но есть довольно много статей и книг, написанных на эту тему. Однако, большинство этих книг и статей написано одними математиками для других; при этом «все еще большинство математиков не понимает, о чем говорят другие математики» (признался как-то мой знакомый, профессор математики). Другими словами, большинство литературы, доступной по вейвлет-преобразованиям, мало поможет людям, если вообще поможет, тем, кто плохо знаком с этой темой (это мое личное мнение). Когда я начал изучение вейвлет-преобразований, я изо всех сил пытался в течение многих часов и дней выяснить то, что происходило в этом таинственном мире вейвлет-преобразований, из-за нехватки текста начального уровня по этой теме. Поэтому я решил написать эту обучающую программу для тех, кто плохо знаком с этой темой. Я считаю себя весьма плохо знакомым с темой, и должен признать, что я все же не выяснил всех теоретических деталей. Однако, насколько технические приложения слабо интересны обычным людям, я думаю, что все теоретические детали не являются обязательными. В этой обучающей программе я попытаюсь привести основные принципы, лежащие в основе теории вейвлет-преобразования. Доказательства теорем и связанных уравнений не будут даваться в этой обучающей программе в предположении, что намеченные читатели не нуждаются в них сейчас. Однако, заинтересованные читатели имеют доступ к связанной справочной информации для дальнейшей всесторонней выдачи информации. В этом документе я предполагаю, что Вы, собственно, не имеете никаких основных знаний. Если Вы все же в определенной степени осведомлены в теме, пожалуйста, проигнорируйте следующую информацию, так как это может быть тривиальным. Если Вы считаете предоставленную информациею непоследовательной (противоречивой) в следующей обучающей программе, пожалуйста, не стесняйтесь входить в контакт со мной. Я оценю любые комментарии к этой странице. Преобразование…Чего? Прежде всего, почему мы нуждаемся в преобразовывании, или, вообще, что такое преобразовывание, так или иначе? Математические преобразования применяются к сигналам для получения дальнейшей информации, не в полной степени доступной от сигнала в т.н. «сыром» виде. В следующей обучающей программе под временным сигналом предполагается именно «сырой сигнал», и сигнал, который был "преобразован" любым из доступных математических преобразований как обработанный сигнал. Имеется определенный набор преобразований, которые могут быть применены к сигналу, среди которых преобразование Фурье является, безусловно, самым популярным. Большинство сигналов практически являются сигналами временной области в их сыром формате. Таким образом, что бы этот сигнал ни означал, он является функцией времени. Другими словами, когда мы составляем график сигнала, одной из осей является время (независимая переменная), а другой (зависимая переменная) - обычно амплитуда. Когда мы составляем график сигналов временной области, мы получаем представление амплитуды времени сигнала. Это представление - не всегда лучшее для наиболее связанных обработкой сигналов приложений. Во многих случаях, самая важная информация скрыта в содержании частоты сигнала. Частотный спектр сигнала - в основном компоненты частоты (спектральные компоненты) этого сигнала. Спектр частоты сигнала показывает, какие частоты присутствуют в сигнале. Интуитивно все мы знаем, что частота – это событие, связанное с изменением величины (или уровня) чего-либо. Если бы это событие (математическая или физическая переменная, технически верно обоснованная), изменялось резко, можно было бы сказать, что событие имеет высокую частоту, но если бы изменения происходили медленно, то есть, течения события можно было бы назвать «плавным», мы бы говорили, что имеет место низкая частота. Если эта событие (переменная) не изменялось вообще, то речь шла бы о нулевой частоте, или отсутствии таковой. Например, частота публикации ежедневной газеты выше, чем ежемесячного журнала (газета издается чаще). Частота измеряется в тактах/сек, более привычное название этой величины – "Герц". Например, частота электроэнергии, которую мы используем в нашей повседневной жизни в США, - 60 Гц (50 Гц в любом другом месте мира). Это означает, что, если Вы захотите составить график электрического тока, то это будет прохождение синусоидальной волны через одну и ту же точку 50 раз в секунду. Теперь взглянем на следующие рисунки. На первом изображена синусоидальная волна частотой 3 Гц, на втором - 10 Гц, и на третьем - 50 Гц. Сравните их. Так как же мы измеряем частоту, или как мы находим содержимое частоты сигнала? Ответ – в преобразовании Фурье (ПФ). Если ПФ осуществить для временной области сигнала, то получим его амплитудно-частотную характеристику. Другими словами, мы будем иметь график, одной осью которого является частота, а другой амплитуда сигнала. Этот график говорит нам о том, какая часть от каждой частоты содержится в нашем сигнале. Ось частоты начинается с нуля и идет в бесконечность. Для каждой частоты имеем соответствующее значение амплитуды. Например, если мы возьмем ПФ электрического тока, который мы используем в наших фирмах, то будем иметь пик волны в 50 Гц и ничего в других областях, так как этот сигнал имеет компонент частоты только в 50 Гц. Никакой другой сигнал, тем не менее, не имеет ПФ, являющегося настолько простым. В практических целях сигналы содержат более одной компоненты частоты Зачем нам информация о частоте? Часто информация, которую нельзя идентифицировать во временной области сигнала, может быть определена в области частотной. Приведу пример на биологических сигналах. Предположим, что мы смотрим на сигнал кардиограммы (Электрокардиография, графическая регистрация электрической активности сердца). Типичная форма «здорового» сигнала кардиограммы известна кардиологам. Любое существенное отклонение от этой формы, как обычно полагают, является признаком патологического состояния. Это патологическое состояние, однако, может не всегда быть весьма очевидным в первоначальном сигнале временной области. Кардиологи обычно используют временные сигналы кардиограммы, записанные на специальных полосовых лентах, для дальнейшего анализа сигналов кардиограммы. Недавно был создан новый компьютеризированный рекордер/анализатор кардиограмм, использующий информацию о частоте для решения о существовании патологических состояний. Подобные состояния диагностируются более легко, если анализируется частотная составляющая сигнала. Это, конечно, только один простой пример полезности частотной составляющей. Сегодня преобразование Fourier используется во многих различных областях, включая все отрасли разработки. Хотя ПФ - вероятно самое популярное из используемых преобразований сигнала (особенно в электротехнике), оно не единственно. Есть множество других видов преобразований, часто используемых инженерами и математиками. Преобразование Гилберта, дискретное ПФ (об этом позже), распределения Вигнера, преобразование Радона и, конечно, нами уже рассмотренное преобразование, составляющее лишь малую часть огромного списка преобразований, которые являются доступными в распоряжение инженера и математика. Каждая методика преобразования имеет собственную область приложения, с преимуществами и недостатками, и вейвлет-преобразование не является исключением. Для лучшего понимание необходимости вейвлет-преобразования (ВП) рассмотрим ПФ более подробно. ПФ (так же как и ВП) - обратимое преобразование, т.е. оно позволяет варьировать между изначальным и преобразованным состояниями сигнала. Но при этом только одно из состояний доступно в отдельно взятый момент времени. Таким образом, частотная информация не доступна во временной области сигнала, точно так же временная информация не доступна в ПФ-сигнале. Естественный вопрос, который можно при этом задать - действительно ли необходимо иметь представление и о временной, и о частотной составляющих одновременно? Ответ будет зависеть от специфического приложения, а также от природы конкретного сигнала. Допустим, что ПФ дает информацию о частотной составляющей сигнала; это говорит нам о том, какая часть от конкретной частоты присутствует в сигнале, но это не говорит нам о том, в каком промежутке времени эти компоненты частоты существуют. Эта информация не требуется, когда сигнал имеет т.н. стационарную, постоянную природу. Первоисточник статьи: © Robi Polikar "Wavelet Tutorial" |