Применение теории нечетких множеств к задачам управления финансами

Журнал "Аудит и финансовый анализ"

1. АНАЛИЗ РИСКА ИНВЕСТИЦИЙ [18]

Способ оценки риска инвестиций прямо связан со способом описания информационной неопределенности в части исходных данных проекта. Если исходные параметры имеют вероятностное описание (например, см. [2, 3]), то показатели эффективности инвестиций также имеют вид случайных величин со своим импликативным вероятностным распределением (понятие импликативной вероятности см. в [1]). Однако чем в меньшей степени статистически обусловлены те или иные параметры, чем слабее информационность контекста свидетельств о состоянии описываемой рыночной среды и чем ниже уровень интуитивной активности экспертов, тем менее может быть обосновано применение любых типов вероятностей в инвестиционном анализе.

Вот наглядный пример. Любой игрок в преферанс (даже такой захудалый, как я) знает, что в ходе торговли за прикуп игрок с высокой степенью повторяемости должен заявлять на одну-две взятки больше, чем у него есть на руках, в расчете на добрый прикуп. Иначе, по результатам множества игр он окажется в проигрыше или, в лучшем случае, “при своих”, потому что его соперники склонны к разумной агресии, т.е. к оправданному риску. Понимая инвестиции как разновидность деловой игры, мы скажем по аналогии: инвестору вменяется в обязанность рисковать, но рисковать рационально, присваивая каждому из потенциальных сценариев инвестиционного процесса свою степень ожидаемости. В противном случае он рискует потерпеть убыток от непринятия решения - убыток чрезмерной перестраховки. В карточной игре приличная карта, приличный прикуп приходят не так часто. В том же преферансе игрок, объявивший шесть взяток и сыгравший по факту восемь, вызывает всеобщее недовольство вероятным “перезакладом”. Становится обидно за партнера, за его неумение играть, когда по-настоящему приличная карта приходит так редко.

I - стартовый объем инвестиций,

N - число плановых интервалов (периодов) инвестиционного процесса, соответствующих сроку жизни проекта,

D V_i - оборотное сальдо поступлений и платежей в i-ом периоде,

r_i - ставка дисконтирования, выбранная для i-го периода с учетом оценок ожидаемой стоимости используемого в проекте капитала (например, ожидаемая ставка по долгосрочным кредитам),

C - ликвидационная стоимость чистых активов, сложившаяся в ходе инвестиционного процесса (в том числе остаточная стоимость основных средств на балансе предприятия).

Инвестиционный проект признается эффективным, когда NPV, оцененная по (17), больше определенного проектного уровня G (в самом распространенном случае G = 0).

Замечания.

3. (N+1)-й интервал не относится к сроку жизни проекта, а выделен в модели для фиксации момента завершения денежных взаиморасчетов всех сторон в инвестиционном процессе (инвесторов, кредиторов и дебиторов) по кредитам, депозитам, дивидендам и т.д., когда итоговый финансовый результат проекта сделается однозначным.

Эти числа моделируют высказывание следующего вида: “параметр А приблизительно равен и однозначно находится в диапазоне [a_min, a_max]”.

В общем случае под нечетким числом понимается нечеткое подмножество универсального множества действительных чисел, имеющее нормальную и выпуклую функцию принадлежности [6]. Такое описание позволяет разработчику инвестиционного проекта взять в качестве исходной информации интервал параметра [a_min, a_max] и наиболее ожидаемое значение , и тогда соответствующее треугольное число построено. Далее будем называть параметрызначимыми точками треугольного нечеткого числа . Вообще говоря, выделение трех значимых точек исходных данных весьма распространено в инвестиционном анализе (см., например, [20, 23]). Часто этим точкам сопоставляются субъективные вероятности реализации соответствующих (“пессимистического”, “нормального” и “оптимистического”) сценариев исходных данных. Но мы не считаем себя вправе оперировать вероятностями, значений которых не можем ни определить, ни назначить (во введении к настоящей работе мы коснулись этого предмета, в частности, говоря о принципе максимума энтропии). Поэтому в инвестиционном анализе мы замещаем понятие случайности понятиями ожидаемости и возможности.

- инвестор не может точно оценить, каким объемом инвестиционных ресурсов он будет располагать на момент принятия решения;

- инвестор не может точно оценить стоимость капитала, используемого в проекте (например, соотношение собственных и заемных средств, а также процент по долгосрочным кредитам);

- инвестор прогнозирует диапазон изменения денежных результатов реализации проекта с учетом возможных колебаний цен на реализуемую продукцию, стоимости потребляемых ресурсов, условий налогообложения, влияния других факторов;

- инвестор нечетко представляет себе потенциальные условия будущей продажи действующего бизнеса или его ликвидации;

- инвестор нечетко представляет себе критерий, по которому проект может быть признан эффективным, или не до конца отдает себе отчет в том, что можно будет понимать под “эффективностью” на момент завершения инвестиционного процесса.

Замечания.

1. В том случае, если какой-либо из параметров известен вполне точно или однозначно задан, то нечеткое число вырождается в действительное число А с выполнением условия. При этом существо метода остается неизменным.

2. В отношении вида . Инвестор, выбирая ожидаемую оценку , руководствуется, возможно, не только тактическими, но и стратегическими соображениями. Так, он может позволить проекту быть даже несколько убыточным, если этот проект диверсифицирует деятельность инвестора и повышает надежность его бизнеса. Как вариант: инвестор реализует демпинговый проект, компенсацией за временную убыточность станет захват рынка и сверхприбыль, но инвестор хочет отсечь сверхнормативные убытки на той стадии, когда рынок уже будет переделен в его пользу. Или наоборот: инвестор идет на повышенный риск во имя прироста средневзвешенной доходности своего бизнеса.

Зададимся фиксированным уровнем принадлежности a (см. рис. 3) и определим соответствующие ему интервалы достоверности по двум нечетким числам и : [a₁, a₂] и [b₁, b₂] соответственно. Тогда основные операции с нечеткими числами сводятся к операциям с их интервалами достоверности. А операции с интервалами, в свою очередь, выражаются через операции с действительными числами - границами интервалов:

• операция “сложения”:

• операция “вычитания”:

• операция “умножения”:

• операция “деления”:

• операция “возведения в степень”:

По каждому нечеткому числу в структуре исходных данных получаем интервалы достоверности [I₁, I₂], [r_i1, r_i2], [D V_i1, D V_i2], [C₁, C₂]. И тогда, для заданного уровня a , путем подстановки соответствующих границ интервалов в (1) по правилам (18) - (22), получаем:

Задавшись приемлемым уровнем дискретизации по a на интервале принадлежности [0, 1], мы можем реконструировать результирующее нечеткое число путем аппроксимации его функции принадлежности m _NPV ломаной кривой по интервальным точкам.

Часто оказывается возможным привести к треугольному виду, ограничиваясь расчетами по значимым точкам нечетких чисел исходных данных. Это позволяет рассчитывать все ключевые параметры в оценке степени риска не приближенно, а на основе аналитических соотношений. Это будет показано на расчетном примере в конце настоящей работы.

Перейдем к оценке собственно риска инвестиций. На рис. 4 представлены функции принадлежности и критериального значения .

Рис. 4. Функции принадлежности NPV и G

Точкой пересечения этих двух функций принадлежности является точка с ординатой a ₁. Выберем произвольный уровень принадлежности a и определим соответствующие интервалы [NPV₁, NPV₂] и [G₁, G₂]. При a > a ₁ NPV₁ > G₂, интервалы не пересекаются, и уверенность в том, что проект эффективен, стопроцентная, поэтому степень риска неэффективности инвестиций равна нулю. Уровень a ₁ уместно назвать верхней границей зоны риска. При 0 £ a £ a ₁ интервалы пересекаются. На рис. 5 показана заштрихованная зона неэффективных инвестиций, ограниченная прямыми G = G₁, G = G₂, NPV = NPV₁, NPV = NPV₂ и биссектрисой координатного угла G = NPV.

Взаимные соотношения параметров G_1,2 и NPV₁,2 дают следующий расчет для площади заштрихованной плоской фигуры:

Поскольку все реализации (NPV, G) при заданном уровне принадлежности a равновозможны, то степень риска неэффективности проекта j (a ) есть геометрическая вероятность события попадания точки (NPV, G) в зону неэффективных инвестиций:

где Sa оценивается по (24).

В важном частном случае (см. рис. 6), когда ограничение определено четко уровнем G, то предельный переход в (9) при G_{2 ®} G₁ = G дает:

Для того чтобы собрать все необходимые исходные данные для оценки риска, нам потребуется два значения обратной функции m _NPV^-1(a ₁). Первое значение есть G (по определению верхней границы зоны риска a ₁), второе значение обозначим G'. Аналогичным образом обозначим NPV_min и NPV_max - два значения обратной функции m _NPV^-1(0).

Также введем обозначение - наиболее ожидаемое значение . Тогда выражение для степени инвестиционного риска V&M, с учетом (26) и длинной цепи преобразований, имеет вид:

1. При G = NPV_min (предельно низкий риск) R = 0, a ₁ = 0, G' = NPV_max, и предельный переход в (28) дает V&M = 0.

2. При G = G' = (средний риск) a ₁ = 1, R = (NPV_max - )/(NPV_max - NPV_min)=1-P, предельный переход в (28) дает V&M = (NPV_max-)/(NPV_max - NPV_min).

3. При G = NPV_max (предельно высокий риск) P = 0, a ₁ = 0, G' = 0, и предельный переход в (28) дает V&M = 1.

Таким образом, степень риска V&M принимает значения от 0 до 1. Каждый инвестор, исходя из своих инвестиционных предпочтений, может классифицировать значения V&M, выделив для себя отрезок неприемлемых значений риска. Возможна также более подробная градация степеней риска. Например, если ввести лингвистическую переменную “Степень риска” со своим терм-множеством значений {Незначительная, Низкая, Средняя, Относительно высокая, Неприемлемая}, то каждый инвестор может произвести самостоятельное описание соответствующих нечетких подмножеств, задав пять функций принадлежности m * (V&M).

Исходные данные проекта: N = 2, = (1, 1, 1) - точно известный размер инвестиций, = = = (0.1, 0.2, 0.3), === (0, 1, 2), = (0, 0, 0) - остаточная стоимость проекта нулевая, = (0, 0, 0) - критерием эффективности является неотрицательное значение NPV.

Результаты расчетов по формуле (23) для уровней принадлежности a = [0, 1] с шагом 0.25 сведены в табл. 12.

Аппроксимация функции m _NPV (рис. 7) показывает ее близость к треугольному виду:

Пусть принято положительное решение об инвестировании капитала . Тогда a ₁ = m _NPV(0) = 0.655, G' = m _NPV^-1(a ₁) = 1.197 и, согласно (28) - (31), R = =0.288, V&M = 0.127.

Продолжим рассмотрение расчетного примера. Пусть принято решение о начале инвестиционного процесса, и по результатам первого периода зафиксировано оборотное сальдо D V₁ = 1 при фактически измеренной ставке дисконтирования r₁ = 0.2. Тогда перерасчет интервальной оценки NPV по (23) дает:

Приведение к треугольному виду дает:

откуда a ₁ = m _NPV(0) = 0.241, G' = m _NPV^-1(a ₁) = 1.257, и, согласно (28) - (30), R = 0.101, V&M = 0.013.

Из расчетов видно, что чем значительнее неопределенность в исходных данных, тем выше риск. Поэтому в ряде случаев инвестор просто обязан отказаться от принятия решения и предпринять дополнительные меры по борьбе с неопределеннностью. Чтобы знать, когда оправдан отказ от принятия решения, инвестору необходим измеритель неопределенности сложившейся информационной ситуации (неустойчивости проекта [2, 3]). Логично производить такие измерения по показателю a ₁. Для случая полной определенности a ₁=0. Применительно к m _NPV(x) вида (31) расчеты дают a ₁₁ = 0.655, а для m _NPV(x) вида (33) a ₁₂ = 0.241 < a ₁₁ . Инвестор опять же может интерпретировать значения a ₁ лингвистически, как и в случае лингвистической оценки степени риска, и таким образом обозначить для себя границу a ₁, за которой неопределенность перестает быть приемлемой.

В качестве дополнительного критерия эффективности инвестиций инвестор может потребовать, чтобы уровень внутренней ставки доходности (IRR - Internal Rate of Return) проекта превышал некий нечеткий порог . Тогда, если по критерию { ý } степень риска инвестиций составляет V&M₁, а по критерию { ý } она же составляет V&M₂, то результирующая степень риска может быть оценена как V&M = max (V&M₁, V&M₂).

Строгий с математической точки зрения подход к использованию показателя IRR в инвестиционном анализе см. в [25].