МОДЕЛЬ РАВНОВЕСИЯ С ФУНКЦИЕЙ СПРОСА

ТИПА КОББА-ДУГЛАСА

 

Источник: http://ipian.kazan.ru/science/sbornik6.html

 

 

 

Введение

 

В работе рассматривается модель экономического равновесия в условиях совершенной конкуренции, в которой рассматривается рынок  типов товаров, а интересы потребителей определяются функциями полезности типа Кобба-Дугласа. Мы покажем, что соответствующая задача равновесия может быть сформулирована в виде смешанного вариационного неравенства: найти точку  такую, что

 ,                           (1)

где  – выпуклая, но необязательно дифференцируемая функция,  – некоторое отображение,  – непустое выпуклое подмножество ,  неотрицательный ортант в .

Задача вида (1) ранее изучалась многими авторами в связи с ее многочисленными приложениями в математической физике (см., например, [1], [2]). Она совпадает с обычным вариационным неравенством, если . Большинство работ посвящено случаю, когда  – строго (сильно) монотонное отображение. Это свойство позволяет получить результаты существования и единственности решения для задачи (1) и предложить различные методы решения при достаточно общем виде множества .

Данная работа посвящена экономическим приложениям задачи (1). Обычно при этом допустимое множество  имеет вид конуса или порядкового отрезка. Показано, что в формулировке вида (1) задачи экономического равновесия отображение  имеет тип P, т.е. оно обладает свойствами порядковой, а не обычной монотонности. Подобные задачи экономического равновесия в условиях совершенной и несовершенной конкуренции исследовались в [3]. Полученные свойства позволяют установить ряд новых результатов существования и единственности  решений и применить для их нахождения подход, основанный на -интервальных функциях, который был предложен для таких задач в [4]. Этот подход состоит в преобразовании задачи (1) в задачу нахождения стационарной точки дифференцируемой функции. В результате решение исходной задачи можно найти с помощью обычных методов дифференцируемой оптимизации, таких как градиентный метод и метод сопряженных градиентов.

 

Вспомогательные результаты

 

Рассмотрим вначале общее смешанное вариационное неравенство (1) при следующих предположениях:

(A1) Отображение  непрерывно на множестве ;

(A2) Функция  имеет вид: , где  – выпуклая непрерывная функция для каждого ;

(A3) Множество  имеет вид параллелепипеда, т.е.  где  для каждого .

Эти предположения будут считаться выполненными в данном разделе. Из (А3) следует, что  – непустое, выпуклое и замкнутое множество. Если  и  для , то , следовательно, задача (1) эквивалентна задаче дополнительности с многозначным основным отображением  Здесь и далее  обозначает субдифференциал функции .

Для получения результатов существования и единственности решения нам потребуются следующие определения.

Определение 1 (см., например, [5], [6]). Квадратная матрица  порядка  называется:

a) -матрицей, если все её главные миноры положительные;

b) -матрицей, если все её главные миноры неотрицательные;

c) -матрицей, если все её внедиагональные элементы неположительны;

d) -матрицей, если все её внедиагональные элементы неположительны, и обратная матрица  существует и имеет неотрицательные элементы;

e) -матрицей, если она одновременно является - и -матрицей.

Следующее утверждение является критерием для матрицы  быть - или -матрицей.

Предложение 1 (см., например, [6]). Предположим, что  есть -матрица. Если существует вектор  такой, что  (соответственно, ), то  есть -матрица (соответственно, -матрица).

Эти свойства нетрудно обобщить на случай нелинейных отображений.

Определение 2. Пусть выпуклое подмножество . Отображение  называется

a) -отображением  [7], если для всех , ;

b) строгим -отображением [4], если существует число  такое, что  есть -отображение (здесь  есть единичная матрица порядка n);

c) -отображением [7], если для всех точек , , существует индекс  такой, что  и .

Если  аффинно, т.е., , то  есть -отображение (-отображение) тогда и только тогда, когда  есть -матрица (-матрица). В общем нелинейном случае, если  есть -матрица для любого элемента , то  есть -отображение, но обратное утверждение в общем случае неверно. В то же время,  есть -отображение тогда и только тогда, когда  есть -матрица. Кроме того, если  есть строгое -отображение, то  есть -матрица (см. [4], [7], [8]).

Установим зависимость между -отображением и строгим -отображением.

Лемма 1 (см. [3], лемма 3.6). Если  есть -отображение и , то  строгое P-отображение.

Напомним определения свойств монотонности для отображений. Для множества S обозначим через  совокупность всех подмножеств множества S.

Определение 3 (см., например, [2], [9], [10]). Пусть  выпуклое подмножество в . Отображение  называется

a) сильно монотонным с константой , если для любых  и , , выполняется ;

b) строго монотонным, если для любых ,  и ,  выполняется ;

c) монотонным, если для любых  и ,  выполняется .

Заметим, что если однозначное отображение  монотонно (соответственно, строго монотонно, сильно монотонно), то оно является -отображением (соответственно, -отображением, строгим -отображением), но обратные утверждения в общем случае неверны.

Далее напомним определения свойств выпуклости функций.

Определение 4 (см., например, [11]) Функция  называется

a) сильно выпуклой с константой , если для любых  и , выполняется

;

b) строго выпуклой, если для любых ,  и , выполняется

;

c) выпуклой, если для любых  и  выполняется

.

Приведем известные соотношения между свойствами выпуклости функций и свойствами монотонности их субдифференциалов.

Лемма 2 (см., например, [11]). Функция  является

a) выпуклой тогда и только тогда, когда отображение  монотонно;

b) строго выпуклой тогда и только тогда, когда отображение  строго монотонно;

c) сильно выпуклой с константой  тогда и только тогда, когда отображение  сильно монотонно с константой .

Нам потребуются некоторые общие результаты существования и единственности решений задачи (1). Рассмотрим случай, когда множество K ограничено.

Предложение 2 ([3], предложение 4.2). Если множество K ограничено, то задача (1) имеет решение.

Теперь приведём результаты существования и единственности решений из [3] для случая, когда  есть -отображение.

Предложение 3. a) ([3], теорема 4.4) Пусть  есть -отображение. Если функции  строго выпуклые для  то задача (1) не может иметь более одного решения.

b) ([3], теорема 4.6.) Пусть  есть -отображение. Если функции  сильно выпуклые для  то задача (1) имеет единственное решение.

Из предложений 2 и 3a получаем следующее утверждение.

Следствие 1. Если дополнительно к условиям предложения 3а множество K ограничено, то задача (1) имеет единственное решение.

Для индексного множества  мы будем обозначать  и . Значит,  Обозначим через  единичную матрицу порядка .

Предложение 4 ([3], теорема 4.7). Пусть  дифференцируемое -отображение. Предположим, что для каждого ,  есть -матрица, и существует  такое, что  есть -матрица для фиксированного . Предположим также, что ,  – сильно выпуклые функции. Тогда задача (1) имеет единственное решение.

Заметим, что утверждение предложения 4 остается справедливым, если заменить индексное множество  на произвольное подмножество из .

Для ограниченного случая предыдущий результат уточняется следующим образом.

Предложение 5 ([3], теорема 4.8). Пусть дифференцируемое -отображение. Предположим, что для каждого ,  есть -матрица и  есть -матрица для фиксированного . Предположим также, что ,  – сильно выпуклые функции и что  – ограниченное множество. Тогда задача (1) имеет единственное решение.

Эти свойства позволяют получать результаты существования и единственности решений в модели экономического равновесия.

 

Модель экономического равновесия

 

Рассмотрим модель экономического равновесия в условиях совершенной конкуренции, в которой рассматривается рынок  типов товаров. Предположим, что каждый производитель производит единственный товар, но при этом отображение предложения в общем случае многозначно. Это возможно, например, когда существует несколько технологий процессов производства. Без ограничения общности тогда можно считать, что каждый -й производитель производит единственный -й товар, . Тогда при данном векторе цен , отображение предложения представимо в виде , где ,  Если каждое отображение  монотонно, то , где  – выпуклая функция (см., например, [12]). Спрос -го потребителя на товары при данном векторе цен  определим следующим образом:

,

где  – вектор, задающий запасы товаров -ого потребителя, – функция спроса -го потребителя, которая имеет вид: , где , , , т.е. она является функцией типа Кобба-Дугласа.

Обозначим через  отображение избыточного спроса, т.е. , и положим  и . Заметим, что модель не изменится, если в ней будут присутствовать потребители со спросом на единственный товар каждый, тогда  будет определяться как отображение избыточного предложения на -й товар без учета общего спроса . Поэтому в дальнейшем присутствие таких потребителей в модели явно оговариваться не будет, т.е. общий спрос формируют  потребителей.

Решая систему условий оптимальности для задачи -го потребителя:

получим, что

Поэтому  для . Итак, отображение спроса в данной модели однозначно.

Как известно, при наличии только ограничений неотрицательности переменных, вектор  называется вектором равновесных цен, если он является решением следующей задачи дополнительности:

см., например, [10], [13]. В данной работе будем предполагать, что допустимые цены содержатся в множестве, ограниченном параллелепипедом:

Другими словами, цена каждого товара, вовлеченного в рынок, имеет нижнюю положительную границу и может иметь верхнюю границу. Тогда задача нахождения равновесных цен может быть сформулирована в виде смешанного вариационного неравенства: Найти точку  такую, что

                  (2)

где  см. [3].

Определение 5 (см., например, [13]). Отображение  

a) обладает свойством валовой заменимости, если , ;

b) положительно однородно степени , если  для любого .

По построению, отображение  (или ) положительно однородно степени 0. Далее, мы видим, что  где

Значит,  есть -матрица. Поэтому отображение спроса  удовлетворяет условию валовой заменимости. Кроме того, имеем

   (3)

Из предложения 1 следует, что  есть -матрица для любого элемента  и, следовательно,  есть -отображение.

Уточним некоторые общие результаты существования и единственности решения для задачи (2).

Предложение 6. Пусть  ограниченное множество. Тогда задача (2) имеет решение. Если же отображения  строго монотонны для  то задача (2) имеет единственное решение.

Доказательство следует из предложения 2 и следствия 1.

Предложение 7. Если отображения , строго монотонны, то задача (2) может иметь не более одного решения. Если же они сильно монотонны, то задача (2) имеет единственное решение.

Доказательство следует из предложения 3a.

Кроме того, используя полученные свойства отображения  и предложения 5, 6, получаем следующее утверждение.

Предложение 8. Предположим, что для любого фиксированного  функции  сильно выпуклые и либо

а)  есть -матрица для всех , где ограниченное множество, либо

b)  такое, что  есть -матрица для всех .

Тогда задача (2) имеет единственное решение.

Конкретизируем эти свойства для рассматриваемой задачи. Начнем с ограниченного случая.

Теорема 1. Предположим, что ограниченное множество и существует индекс  такой, что

Пусть также отображения  сильно монотонны. Тогда задача (2) имеет единственное решение.

Доказательство. Напомним, что  есть -матрица. Из (3) и сделанных предположений следует, что

 Согласно предположению 1, это значит, что  есть -матрица. Применяя предложение 8a, получаем требуемый результат.

Приведем дополнительное достаточное условие для существования единственного решения для задачи (2).

Следствие 2. Пусть ограниченное множество и

                                       (4)

Пусть также отображения  сильно монотонны. Тогда задача (2) имеет единственное решение.

Доказательство следует из теоремы 1 при

Далее, поскольку все отображения  не сильно монотонны, мы можем заменить основное отображение  в (2) на отображение , элементы которого определены следующим образом

где  произвольное достаточно маленькое число. Если выполняется условие (4), то такое "возмущенное" смешанное вариационное неравенство будет иметь единственное решение, которое совпадает с решением исходной задачи.

Установим сходные результаты для неограниченного случая.

Теорема 2. Предположим, что существует  и индекс  такой, что для любого  выполняется

Если, дополнительно,  сильно монотонны, то задача (2) имеет единственное решение.

Доказательство. Мы видим, что  где

Напомним, что  есть -матрица. Из (3) и предположений выше следует, что

 .

Значит,  есть -матрица, и результат следует из предложения 8b.

Приведем более простое условие, которое гарантирует единственное решение для задачи (2).

Следствие 3. Предположим, что существует  такое, что для любого  выполняется

Предположим также, что  сильно монотонно. Тогда задача (2) имеет единственное решение.

Для доказательства результата необходимо положить  в теореме 2.

Снова, поскольку все отображения  не сильно монотонны, мы можем применить регуляризацию. Заметим, что результаты теорем 1 и 2 остаются истинными, если мы заменим подмножество  на произвольное подмножество из . Также останутся истинными результаты следствий 2 и 3, если заменить  на произвольное число из

Таким образом, вместе с известными результатами существования и единственности решения для задачи экономического равновесия приведенный подход позволил нам получить некоторые новые результаты.

 

Решение задачи равновесия с помощью -интервальных функций

 

Полученные свойства позволяют найти решение задачи экономического равновесия, описанной в предыдущем разделе, с помощью обычных методов дифференцируемой оптимизации на основе аппарата -интервальных функций. Определим функцию

                        (5)

где  для  и . Функция  сильно вогнута, значит существует единственное решение каждой подзадачи в (5), т.е. существует элемент  такой, что , для . Положим . Ясно, что точка  является решением задачи

для любого фиксированного . Как известно (см., например, [9]) функция  является интервальной для задачи (2), т.е. вместо нее можно решать задачу минимизации функции  на :

.

Решение этой задачи может вызвать дополнительные трудности из-за недифференцируемости функции . В работе [4] был предложен иной подход, связанный с использованием -интервальных функций. Следуя [4], определим функцию , где . Свойства функции  называемой также -интервальной, формулируются следующим образом.

Предложение 9 ([4], предложение 8, теоремы 1 и 2).

a)  для всех

b)  тогда и только тогда, когда  – решение задачи (2).

c) Функция  непрерывно дифференцируемая и

d) Пусть  есть -матрица для всех . Если

,                                                 (6)

то  и  решение задачи (2).

Иначе говоря, если якобиан основного отображения  есть -матрица, то смешанное вариационное неравенство (2) эквивалентно задаче нахождения стационарной точки непрерывно дифференцируемой функции, т.е. решению системы нелинейных уравнений (6). Задача решения системы (6) может быть решена стандартными методами дифференцируемой оптимизации без ограничений, например такими, как градиентный метод или метод сопряженных градиентов. Для проверки эффективности предложенного подхода и проведения численных расчетов были выбраны следующие реализации этих методов применительно к решению задачи (6).

Алгоритм 1. Градиентный метод (ГМ) (см., например, [14]).

Выберем начальную точку , числа  На -й итерации,  имеем точку .

Шаг 1. Полагаем

Шаг 2. Вычисляем наименьшее неотрицательное целое  такое, что

Шаг 3. Полагаем  и переходим к следующей итерации.

Алгоритм 2. Метод сопряженных градиентов (МСГ) из [15].

Выберем начальную точку  и числа   Полагаем , . На -ой итерации,  имеем точку .

Шаг 1. Если  алгоритм завершает работу.

Шаг 2. Полагаем

и выбираем

Шаг 3. Определяем число  такое, что точка  и вектор

удовлетворяют условиям:

Полагаем  и переходим к следующей итерации.

При проведении численных экспериментов для алгоритма 1 были взяты значения параметров:  а для алгоритма 2  Параметры функции  были заданы следующим образом:  Функции  определены в соответствии с формулой:

где  для всех  Запасы товаров определяются с помощью генератора случайных чисел в интервале (0, 10). Количество потребителей . Коэффициенты функции Кобба-Дугласа были выбраны следующим образом: , . Была выбрана стартовая точка  Использовался следующий критерий останова:  Было проведено две серии экспериментов с заданной точностью. В первой серии точность решения  во второй серии  Результаты приведены в табл. 1 и 2. В таблицах It обозначает количество итераций, t – время (сек.).

                                                                                                                    Табл. 1.

 

На основании проведенных расчетов можно заключить, что оба алгоритма сходятся достаточно быстро, но с увеличением размерности преимущество метода сопряженных градиентов возрастает. Таким образом, этот метод, примененный к минимизации -интервальной функции, является достаточно эффективным инструментом для решения смешанных вариационных неравенств, следовательно, и задачи экономического равновесия с функцией спроса типа Кобба-Дугласа.

                                                                                                                    Табл. 2.