О ПРОГНОЗИРОВАНИИ СПРОСА НА ТОВАРЫ

 

Источник: http://ipian.kazan.ru/science/sbornik6.html

 

 

 

Введение

 

Одной из важнейших функций управления предприятиями является прогнозирование спроса на товары. Эффективное прогнозирование спроса на основе имеющихся реальных статистических данных является во многом определяющим фактором в жесткой конкурентной борьбе. Прогнозирование спроса является ядром систем управления запасами и определяет в значительной мере их эффективность.

Подавляющее большинство работ в области прогнозирования спроса сводится к перечислению разнообразных факторов, влияющих на спрос, и к качественному анализу влияния этих факторов. Однако для создания эффективных систем прогнозирования спроса необходимы методы обработки статистических данных, обеспечивающие качественные прогнозы спроса. А для этого, прежде всего, необходимо разработать математическую модель динамики спроса. С одной стороны эта модель должна учитывать все основные факторы, влияющие на спрос. С другой стороны, количество этих факторов следует выбирать по возможности не очень большим, так как с увеличением количества оцениваемых факторов увеличивается количество оцениваемых по статистическим данным коэффициентов модели, что приводит к снижению эффективности их оценок. Кроме того, математическая модель динамики спроса должна базироваться на статистических данных, реально имеющихся на предприятии. Моделированию динамики спроса для его прогнозирования посвящена работа [1], в которой приводится перечень факторов, влияющих, по мнению авторов, на спрос, и определяются методы измерения некоторых из этих факторов. Настоящая статья является развитием работы [1] для прогнозирования спроса на товары при розничной торговле. Для этой сферы деятельности предлагается отчасти иной набор факторов, учитываемых при моделировании спроса, формируются методы измерения для всех рассматриваемых факторов. В отличие от работы [1] подробно описываются и обосновываются методы прогнозирования спроса, а также алгоритмы предварительной подготовки статистических данных и идентификации модели.

 

 

Математическая модель динамики спроса

 

Пусть Y(i) – спрос на некоторый товар в момент времени i. Под моментом времени понимается некоторый интервал, принимаемый за единицу измерения времени. За единицу измерения времени предлагается выбрать неделю. Выбор в качестве единицы измерения времени интервала большей длины приведет к уменьшению количества статистических данных. Выбор в качестве единицы измерения времени суток потребует учета в модели колебаний спроса в зависимости от дня недели. А для этого потребуется ввести в модель m-1 дополнительных членов, где m – количество рабочих дней стандартной недели на данном предприятии (m может быть равно 5, 6 или 7), и оценивать по статистическим данным коэффициенты при этих членах. В силу старения информации даже при значительном количестве статистических данных на оценки коэффициентов модели должно оказывать существенное влияние не очень большое количество последних данных. Поэтому увеличение числа оцениваемых коэффициентов на m-1 приведет к уменьшению среднего количества статистических данных на оценку одного коэффициента, и, следовательно, к уменьшению точности оценок коэффициентов. А это может повлечь ухудшение качества прогнозов. Прогнозировать спрос может потребоваться на интервалы времени с точностью до суток. При этом следует учитывать колебания спроса в зависимости от дня стандартной недели. Под стандартной понимается рабочая неделя, в которой отсутствуют праздничные дни. Для учета колебаний спроса в зависимости от дня стандартной недели предлагается оценивать по статистическим данным веса каждого рабочего дня стандартной недели.

Фактически данные о спросе на товары имеются за сутки. При этом возможны пропуски статистических данных из-за праздничных дней и отсутствия рассматриваемого товара в некоторые рабочие дни. Поэтому перед моделированием динамики спроса необходимо провести предварительную подготовку данных. Ее целью является оценивание весов рабочих дней стандартной недели и определение спроса за каждую неделю. Пусть d_j(i) – вес j-го рабочего дня стандартной недели при  за первые i недель. Тогда эти веса предлагается оценивать по рекуррентной формуле

(1)

где y_j(i) – спрос на рассматриваемый товар в j-й рабочий день i–й недели; M(i) – множество рабочих дней i–й недели, в которые можно было реализовать этот товар, а α – параметр настройки из интервала [0;0,1]. Параметр α вводится для учета старения информации и принимает тем большее значение, чем в большей степени стареет информация. Значение α определяется при идентификации модели. Для объяснения этой формулы заметим, что, если старение информации не учитывать, т.е. α=0, и статистические данные имеются за все дни, т.е.  для всех , то данная формула будет представлять собой рекуррентную форму вычисления среднего арифметического спроса за j-е дни недели. А если в i-ю неделю величина  отсутствует, то ее предлагается восстанавливать по формуле

.

В соответствии с этим подходом спрос за i-ю неделю предлагается определять по формуле

Для любого будущего момента времени значение спроса неизвестно. Поэтому последовательность величин  при различных i представляет собой временной ряд [2, 3], или в иной терминологии – случайный процесс с дискретным временем. Нашей задачей в этом разделе является построение математической модели этого временного ряда. Структура этой модели в какой-то степени зависит от специфики товара и от цели моделирования. В данной статье рассматривается спрос на продукты питания и алкоголь, а модель строится для прогнозирования спроса на эти товары в процессе управления их оптовой торговлей. Предлагаемая модель или ее отдельные компоненты могут быть использованы для моделирования спроса на товары и иной природы. В результате содержательного анализа экономической природы спроса на рассматриваемые товары и реальных статистических данных по этому спросу было признано целесообразным при моделировании спроса на эти товары учитывать следующие факторы: закономерное изменение спроса во времени; старение информации; сезонные колебания спроса в течение года; предпраздничное увеличение спроса; зависимость спроса от цены товара. Рассмотрим способы измерения каждого из перечисленных факторов.

Закономерное изменение спроса во времени, и старение информации будем моделировать совместно. Для большинства товаров спрос имеет тенденцию на некоторых участках времени возрастать или убывать. Причем на некотором участке он может возрастать, а затем убывать, или наоборот. Для моделирования этого явления предлагается ввести в модель член , который определяется выражениями

                                         (2)

и

 при  и 1,                            (3)

где и  - последовательности некоррелированных случайных величин, некоррелированных друг с другом, имеющих нулевые математические ожидания и конечные не зависящие от времени дисперсии, т.е.

при  и 1,                                   (4)

при

при

             (5)

и

                                            (6)

Выражения (2) - (6) обобщают с учетом старения информации обычную линейную функцию времени. С помощью случайных последовательностей  и  моделируются спонтанные изменения коэффициентов и  временной части тренда , и этим самым учитывается старение информации. Скорость старения информации определяется параметрами и . Чем она больше, тем больше должны быть значения параметров и . Если старение информации отсутствует, то ==0, выражение (3) принимает вид  при k=0,1, а из выражения (2) следует, что . Для некоторых товаров спрос может не иметь объективной тенденции ни возрастать, ни убывать ни на каких участках временной оси. Для этих товаров временную часть тренда предлагается определять выражением

                                                 (7)

где удовлетворяет соотношениям (3) – (6). Выражение (7) обобщает обычную константу , в которую оно превращается, если отсутствует старение информации и =0. Предлагаемый способ учета закономерного изменения спроса во времени и старения информации был впервые изложен в работе [1]. Для моделирования всех, не учитываемых в явном виде факторов, предлагается ввести в модель случайную составляющую , удовлетворяющую соотношениям

                                                  (8)

                                   (9)

и

при  k=0,1.                                (10)

Таким образом, стохастическая составляющая модели спроса будет определяться выражением

                                           (11)

где  - определяется выражениями (2) – (6) или выражениями (7) и (3) – (5). Согласно терминологии работы [3], случайный процесс , определяемый выражениями (2) – (6) и (8) – (11), называется процессом с наклонным стохастическим трендом. Этим наклонным стохастическим трендом является величина . А если  определяется выражениями (3) – (5) и (7) – (11), то он называется процессом с горизонтальным стохастическим трендом, роль которого играет величина .

Из оставшихся трех факторов наиболее заметное влияние на спрос, как правило, оказывают его сезонные колебания. В результате анализа фактических данных и в соответствии с принципом минимизации количества коэффициентов модели целесообразно использовать в течение года три периода: зиму, лето и межсезонье, включающее весну и осень. Для моделирования сезонных колебаний спроса предлагается использовать непрерывную кусочно-линейную функцию, аргументом которой является порядковый номер недели внутри года. Пики этой ломаной линии должны приходиться на середины зимы, весны, лета и осени. При этом высоты этих пиков в серединах весны и осени считаются одинаковыми. Все высоты пиков являются коэффициентами модели и должны оцениваться по статистическим данным. За середины зимы, весны, лета и осени принимаются, соответственно, 3-я, 15-я, 29-я и 42-я недели года. Тогда функция, моделирующая сезонные колебания спроса, будет иметь вид

                    (12)

где  - значение этой функции в середине зимы,  - значение данной функции в середине лета и  - значение этой функции в середине весны и в середине осени. Введем три базисные функции времени

                                   (13)

                              (14)

и

                                (15)

Из выражений (12) – (15) следует, что

                            (16)

С другой стороны, из (13) – (15) имеем, что

Но тогда выражение (16) можно записать в виде

Свободный член  отдельно в модели учитывать не следует, так как он учтется вместе с членами . Таким образом, для моделирования сезонных колебаний спроса надо ввести в модель две базисные функции времени  и , определяемые выражениями (13) и (14). Коэффициенты при этих базисных функциях будем обозначать  и , где  при .

Для моделирования увеличения спроса в предпраздничные дни предлагается использовать базисную функцию времени , определяемую следующей таблицей

Для остальных значений t функция  Интервалы увеличения спроса в предпраздничные недели определялись экспертным путем. Веса этих недель для каждого такого интервала определялись тоже экспертным путем. Вес увеличения спроса перед Международным женским днем (8-е марта), майскими праздниками (1-е, 2-е и 9-е мая), сабантуем и Днем независимости Республики Татарстан принималось за 1. Последние два праздника для Республики Татарстан. Поэтому для других регионов России необходимо положить  при 24, 25, 33, 34, 35. Для праздника Дня согласия и примирения в результате экспертного анализа вес увеличения спроса принимался за 0,92. А увеличение спроса в предновогодние недели считается равным параметру настройки θ. Значение этого параметра настройки должно определяться при идентификации модели.

При моделировании зависимости спроса от цены следует учитывать запаздывание во времени и тот факт, что для некоторых потребителей спрос зависит не от самой цены, а от ее изменения. Поэтому для моделирования зависимости спроса от цены предлагается использовать базисную функцию , определяемую выражением

                           (17)

где  - цена данного товара в i-ю неделю, τ – параметр настройки, характеризующий запаздывание влияния цены на спрос, γ – параметр настройки из интервала [0;1], а  - изменение цены рассматриваемого товара за i-ю неделю, определяемое формулой

                                       (18)

Параметр настройки γ характеризует долю потребителей, реагирующих на абсолютную величину цены. Параметры настройки τ и γ должны определяться при идентификации модели. Из выражений (17) и (18) следует, что базисная функция  определяется формулой

                            (19)

Таким образом, математическая модель динамики спроса на рассматриваемый товар определяется выражением

,                               (20)

где  - временная часть тренда спроса, учитывающая его закономерное изменение во времени и старение информации,  - количество базисных функций времени в модели,  - j-я базисная функция времени,  - оцениваемые по статистическим данным коэффициенты модели при , а  - модельная ошибка, удовлетворяющая условиям (8) – (10). Количество базисных функций  не превышает 4. При этом базисные функции  и  могут присутствовать или отсутствовать в модели только вместе. Базисные функции ,  и  определяются, соответственно, выражениями (13), (14) и (19), а базисная функция  задается таблицей. Временная часть тренда  определяется выражениями (2) – (6) или (3) – (7).