Реферат

Библиотека

Ссылки

Биография

Индивидуальное задание

Рафиков Г.Ш. Цифровые системы управления. Конспект лекций. – Донецк 1999 г.

12. НАБЛЮДАТЕЛИ СОСТОЯНИЯ МИНИМАЛЬНОГО ПОРЯДКА ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

12.1 Уравнения математической модели наблюдателя состояния минимального порядка

         Наблюдатели, рассмотренные до сих пор, разработаны для того чтобы восстанавливать все переменные состояния. Однако в реальных условиях некоторые из переменных состояния могут не оцениваться.
         Наблюдатель, который оценивает меньше, чем n переменных состояния, где n размерность вектора состояния называется наблюдателем состояния пониженного порядка (или просто наблюдателем пониженного порядка). Если порядок наблюдателя пониженного порядка минимально возможный, то такой наблюдатель называется наблюдателем состояния минимального порядка (или наблюдатель с минимальным порядком).

Рисунок 1 - Линейная дискретная система с наблюдателем пониженного порядка

         Предположим, что вектор состояния является n-мерным вектором, а вектор выхода  - m-мерным вектором, который может измеряться. Поскольку m выходных переменных являются линейной комбинацией переменных состояния, то m переменных состояния могут не оцениваться. Должно оцениваться только  переменных состояния. По этой причине наблюдатель приведенного порядка становится наблюдателем -порядка. Такой наблюдатель - порядка является наблюдателем минимального порядка. Рис.1 иллюстрирует блок-схему системы с наблюдателем минимального порядка.

         Важно отметить, однако, что если измерение переменных выхода включает значительные шумы и относительные неточности, то использование наблюдателя состояния полного порядка может приводить к лучшей эффективности системы.
         Наблюдатель минимального порядка может быть получен путем разделения вектора состояния  на две части следующим образом:

,                                                                                                               (12.1)

где  - та часть вектора состояния, которая может непосредственно измеряться, т.е.  - это m-мерный вектор;
       - не измеряемая часть вектора состояния, т.е.  - это -мерный вектор.
Тогда разбитые на блоки уравнения состояния и выхода могут быть представлены в следующем виде

,                                                                             (12.2)

,                                                                                                           (12.3)

где Ф_aa-  матрица;
       Ф_ab -  матрица;
       Ф_ba -  матрица;
       Ф_bb -  матрица.
        -  матрица;
        - матрица.

       Представим каждое из уравнений (12.2) и (12.3) в виде двух уравнений: уравнения измеряемой части и уравнения не измеряемой части.
      Уравнение для измеряемой части состояния будет иметь вид

,                                                                             (12.4)

где компоненты левой части уравнения (12.4) – могут измеряться. Уравнение (12.4) – это уравнение выходного сигнала. При синтезе наблюдателя минимального порядка левую часть уравнения (12.4) рассматриваем как известные величины. Фактически, уравнение (12.4) связывает измеримые величины и неизмеримые величины состояния.
      Из уравнения (12.2) уравнение для не измеряемой части вектора состояния можно представить в следующем виде

.                                                                             (12.5)

       Уравнение (12.5) описывает динамику не измеряемой части вектора состояния. Следует обратить внимание на то, что  и  - известные векторные величины.
      Синтез матрицы обратной связи для наблюдателя с минимальным порядком можно значительно упростить, если использовать метод синтеза, разработанный для наблюдателя состояния полного порядка.
      Сравним уравнение состояния для наблюдателя состояния полного порядка с «уравнением состояния» для наблюдателя минимального порядка

.                                                                                              (12.6)

      Уравнение состояния для наблюдателей минимального порядка

.                                                                             (12.7)

      Уравнение выхода для наблюдателя полного порядка

.                                                                                                      (12.8)

      Уравнение выхода для наблюдателя минимального порядка

.                                                                             (12.9)

       Введем в рассмотрение список необходимых замен для записи уравнения наблюдателя состояния минимального порядка и представим его в виде таблицы.

Таблица 12.1

Синтез наблюдателя состояния минимального порядка может выполняться подстановкой параметров из табл. 12.1 в уравнение наблюдателя полного порядка вида

.                                                                    (12.10)

Произведя подстановку из таблицы 12.1 в уравнение (12.10), получим

,                                           (12.11)

где  - матрица обратной связи размерности .

Что касается уравнения (12.3), то имеем такое равенство

.                                                                                              (12.12)

       Подставляя уравнение (12.12) в (12.11) получим

.                                   (12.13)

      Следует обратить внимание на то, что при оценке вектора  возникает необходимость в измерении вектора . Это очень неудобно, так как необходимо измерения производить на один шаг вперед.

      Однако это неудобство легко устраняется, т. к. в случае наблюдателя состояния полного порядка, вектор  можно оценить, используя измерения  и не требуя измерения  (см. уравнение (12.10)).
      Представим уравнение (12.13) в следующем виде:

      Введем обозначения:

,                                                                             (12.15)

.                                                                             (12.16)

      С учетом введенных обозначений уравнение (12.14) можно представить следующим образом:

.                                           (12.17)

      Уравнения (12.15), (12.16) и (12.17) определяют динамику наблюдателя минимального порядка. Следует обратить внимание на то, что для получения  отпадает необходимость в измерении вектора .

      Далее вычитая уравнение (12.16) из уравнения (12.15), получим вектор ошибки       который равен:

.                                                                                     (12.18)

      При вычитании уравнения (12.11) из уравнения (12.5) получим

.                                                    (12.19)

      Подставляя уравнение (12.4) в уравнение (12.19), получим:

.                                                            (12.20)

      С учетом введенных обозначений (12.18) уравнение (12.20) можно представить в упрощенном и компактном виде

.                                                                                          (12.21)

      Это уравнение вектора ошибки наблюдателя состояния минимального порядка. Следует обратить внимание на то, что вектор ошибки  является -мерным вектором.

      Динамическая ошибка может быть определена методикой, разработанной для наблюдателя состояния полного порядка, если ранг матрицы наблюдаемости равен .

.                                                                                                      (12.22)

      Эти условия полной наблюдаемости применимы и к наблюдателю состояния минимального порядка, полученного из уравнения (12.21) следующим образом:

.                                                                                              (12.23)

1. Рафиков Г.Ш. Цифровые системы управления. Конспект лекций. – Донецк 1999 г.

Реферат

Библиотека

Ссылки

Биография

Индивидуальное задание