УДК 621.039.5
Ковалев А.П., Муха В.П., Джура С.Г., Якимишина В.В., Зрадовская О.Я.
Донецкий национальный технический университет.

On the basis of casual Мarkov processes with the discrete number of the states and the mathematical model of melting of active area of reactor is continuous time offered. The example of calculations is resulted.

       Введение. Известно, что 28 марта 1979 г. в 4 часа утра по местному времени на американской АЭС в Гаррисберге «Три-Майл-Айленд» на реакторе PWR (легководный реактор с водой под давлением) мощностью 885 МВт энергоблока №2 произошла авария [1].
        В результате аварии была расплавлена верхняя часть активной зоны реактора, после чего восстановление его стало нецелесообразно. Общий ущерб от аварии составил 1,86 млрд. долл. [2].
        Под риском в данном случае при эксплуатации АЭС будем понимать вероятность поступления с течением времени t=1 год такого случайного события, при котором происходит расплавление его активной зоны реактора.
        Согласно рекомендациям МАГАТЭ приемлемый риск широкомасштабного загрязнения радионуклидами окружающей среды в результате аварии на АЭС или на другой ядерной установке не должен превышать вероятность 1·10^-6 в течение года. Во Франции риск, связанный с эксплуатацией реактора АЭС, признается приемлемым только после того, как будет доказано, что вероятность аварии на нем в течение года не превосходит значения 1·10^-7 [3].
       Состояние вопроса. Анализ причин, приведших к аварии на АЭС «Три-Майл-Айленд», позволил представить расплавления активной зоны реактора как совпадения в пространстве и времени следующих пяти случайных событий: аварийное отключение питательных насосов; отказ во включении аварийной системы охлаждения активной зоны; отказ разгрузочного клапана компенсатора объема в открытом положении; отказ насосов высокого давления; отказ насосов первого контура.
        Цель работы. Используя понятия Марковских случайных процессов, оценить вероятность расплавления активной зоны реактора в течение года F₁(x), определить среднее время до аварии τ₁ и дисперсию τ₁² при условии, что в начальный момент времени все системы обеспечения безопасности АЭС находились в работоспособном состоянии, обслуживающий персонал не делает ошибок при эксплуатации.
       Материал и результаты исследования. При составлении математической модели, описывающей процесс возникновения аварии на АЭС, принимаем ряд допущений и положений:
- отказавшее состояние аварийной системы охлаждения, запорной арматуры и различных средств защиты, которые находятся в «ждущем режиме», обнаруживаются только в результате профилактических проверок, либо при возникновении аварий;
- проверки систем защит, находящихся в ждущем режиме, абсолютно надежны;
после каждого отказа рассматриваемых систем их отказавшее состояние обнаруживается, и работоспособное состояние полностью восстанавливается, (система работает как новая);
- человек при эксплуатации принимает неправильные решения (отказывает) в результате повреждений регистрирующих на пульте управления приборов, по показанию которых оператор принимает решение.
        Обозначим через k=5 число систем, участвующих в формировании аварии на АЭС.
        Процесс изменения каждой из k рассматриваемых систем с течением времени t обозначим через ξ_k(t), . Предположим, что ξ_k(t) принимает два значения: 0 или 1, если k находится в работоспособном состоянии и отказавшем соответственно. Что касается статистической природы этих функций, то предположим, что вероятность переходов из работоспособного состояния в отказавшее за промежуток времени Δt равна λ_kΔt + 0(Δt), где 0(Δt) означает, что вероятность появления более одного отказа в интервале (t + Δt) является величиной высшего порядка малости по сравнению с Δt вероятность переходов из отказавшего состояния в работоспособное за время Δt равна μ_kΔt + (Δt) и не зависит от предшествующего течения процесса ξ_k(t).
        Величины λ_k и μ_k являются параметрами рассматриваемого процесса. Принятые допущения означают, что ξ_k(t) можно рассматривать как процесс Маркова с двумя состояниями: 0 (работоспособное) и 1 (неработоспособное) [4].
        Рассмотрим совокупность процессов ξ_k(t) как общий процесс Маркова ξ(t) с 32 дискретными состояниями е₁(0,0,0,0), е₂(1,0,0,0,),…, е₃₂(1,1,1,1) и непрерывным временем. Авария на АЭС с расплавлением активной зоны произойдет в момент встречи процесса ξ(t) в состоянии 1, т.е. когда ; , , , .
        Выразим вероятность нахождения системы в каждом из 32 возможных состояний через параметры известных процессов , ,,,.
        Поведение во времени такой системы полностью определяется матрицей интенсивностей переходов P, которая для данной задачи имеет вид:

     (1)

где

       (2)

        Матрицы ∆ и ∆¹ отличаются между собой только элементами главной диагонали. Главная диагональ матрицы ∆¹  начинается элементом α₁₆, а заканчивается элементом α₃₀. Диагональные элементы матриц ∆ и ∆¹ определяются как единица минус сумма элементов соответствующей строки. Например:

;
;
................................;
;
.

       В матрице (2) ; ; , где:
        , - средний интервал времени между отказами питательных насосов и средняя длительность нахождения питательных насосов в отказавшем (нерабочем) состоянии;
        , - средний интервал времени между отказами во включении аварийной системы охлаждения и средняя длительность нахождения аварийной системы охлаждения в отказавшем состоянии;
        , - средний интервал времени между отказами (заклинивание в открытом положении) разгрузочного канала компенсатора объема и средняя длительность нахождения его в отказавшем состоянии;
        , - средний интервал времени между ошибочными отключениями (или выходов из строя) насосов высокого давления и средняя длительность нахождения насосов высокого давления в отключенном (отказавшем) состоянии;
        , - средний интервал времени между ошибочными отключениями (или выходом из строя) насосов первого контура и средняя длительность нахождения их в отключенном (отказавшем) состоянии;
        Вероятность нахождения рассматриваемой системы в каждом из 32 возможных состояниях можно найти из решения системы линейных дифференциальных уравнений, записанных в матричном виде:

                  (3)

        где - вектор-строка; , где I – единичная матрица; P – матрица интенсивностей переходов (1).
        Система линейных дифференциальных уравнений (3) должна решаться при начальных условиях:

       ,
численным методом с помощью ЭВМ [5]. Вероятность нахождения всех пяти процессов в состоянии и будет равна вероятности расплавления активной зоны реактора, т.е.:

,                                                           (4)

        Значение среднего времени до расплавления активной зоны реактора τ₁, если в начальный момент времени все k рассматриваемые системы находились в работоспособном состоянии, (оборудование работало в нормальном режиме, люди не делали в процессе эксплуатации реактора ошибок) находим из следующей системы уравнений, записанной в матричном виде:

,                                                           (5)

       где - фундаментальная матрица.
        Q – матрица, полученная из матрицы интенсивностей переходов (1) исключением из нее поглощающего состояния (последней строки и последнего столбца);
        - вектор-столбец, у которого все элементы равны единице;
        - вектор-столбец.
        Дисперсия времени до первой аварии, сопровождающейся расплавлением активной зоны реактора, можно определить, пользуясь общей системой уравнений [6]:

,                                       (6)

где и - векторы-столбцы.

       Для систем, находящихся в «ждущем режиме» (средства защиты, управление запорной арматурой и т.д.), для которых заданы интервалы времени между профилактиками , например, потоков можно находить следующим образом [7]:

,                                  (7)

При выполнении условия (свойство экспоненциального распределения), вероятность расплавления активной зоны реактора можно определить из выражения:

                                                                               (8)

       В том случае если:

, i = 1,5 и                                              (9)

тогда используя (1), (2), (5), находим τ₁

                                                  (10)

где .

       Пример. Определить вероятность расплавления активной зоны реактора в течение года F₁(8760) при совпадении в пространстве и времени следующих случайных событий: произошло аварийное отключение питательных насосов; отказала во включении аварийная система охлаждения активной зоны реактора; отказал разгрузочный клапан на компенсаторе объема в открытом состоянии; отказали (отключились) насосы высоко давления; отказали (отключились) циркуляционные насосы первого контура.

       Сравнить полученный результат F₁(8760) c нормируемой величиной F₀(8760) .

       Дано: ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

       Решение. Ввиду того, что в нашем случае соблюдается условие (9), т.е. λ_i<<μ_i, следует воспользоваться формулами (4), (8) и (10). Тогда получим:

P₃₂(8760) = F(8760) = 4,85^.10^-7.

       Сравнение полученного результата с нормой F₀(8760) показало, что в данном случае риск в расплавлении активной зоны реактора в течение года выше нормируемого в 4,85 раза.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бабаев н.С., Кузьмин И.И., Легасов В.А., Сидоренко В.А. Проблемы безопасности на атомных электростанциях.     – Природа, 1980, №6, с.30-43.
2. Новиков И.И., Кружилин Г.Н. Уроки аварии реактора PWR на АЭС Три-Майл-Айленд в США в 1979 г. –     Электрические станции, 1999, №6, с.29-35.
3. Ваганов П.А. Ядерный риск: Учеб. пособие – СПб.: изд-во С-Петербург, ун-та, 1997 – 112 с.
4. Тиханов В.И., Миронов в.А. Марковские процессы.- М.: Советское радио, 1977 – 320 с.
5. А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. Краткий курс математического анализа – М.: Наука, 1966 – 735 с.
6. Кемени Дж., Скел Дж. Конечные цепи Маркова – М.: Наука, 1970 – 110 с.
7. Ковалев А.П. О проблемах оценки безопасности электротехнических объектов. Электричество, 1991, №7, с.50 -     55.

Первоисточник: Наукові праці Донецького національного технічного університету. Серія: «Електротехніка і                                 енергетика», випуск 112: Донецьк: ДонНТУ, 2006. - 154 с.