А.П. Ковалев, докт. техн. наук, проф.,
В.И. Чурсинов, канд. техн. наук, доц.,
С.Г. Джура, канд. техн. наук, доц.,
Е.А. Мясникова, магистрант

        Известно, что 28 марта 1979 г. В 4 часа утра по местному времени на американской АЭС в Гаррисберге «Три-Майл-Айленд» на реакторе PWR (легководный реактор с водой под давлением) мощностью 885 МВт энергоблока №2 произошла авария [1].
        В результате аварии была расплавлена верхняя часть активной зоны реактора, после чего восстановление его стало нецелесообразно. Общий ущерб от аварии составил 1,86 млрд. долл. [2].
        Под риском в данном случае при эксплуатации АЭС будем понимать вероятность поступления с течением времени t=1 год такого случайного события, при котором происходит расплавление его активной зоны.
        Согласно рекомендациям МАГАТЭ приемлемый риск широкомасштабного загрязнения радионуклидами окружающей среды в результате аварии на АЭС или на другой ядерной установке не должен превышать вероятность 1·10^-6 в течение года. Во Франции риск, связанный с эксплуатацией реактора АЭС, признается приемлемым только после того, как будет доказано, что вероятность аварии на нем в течение года не превосходит значения 1·10^-7. [3].
        Анализ причин, приведших к аварии на АЭС «Три-Майл-Айленд», позволил представить расплавления активной зоны реактора как совпадения в пространстве и времени следующих пяти случайных событий: аварийное отключение питательных насосов; отказ во включении аварийной системы охлаждения активной зоны; отказ разгрузочного клапана компенсатора объема в открытом положении; отказ насосов высокого давления; отказ насосов первого контура.
        Цель данной работы состоит в том, чтобы, используя понятия Марковских случайных процессов, оценить вероятность расплавления активной зоны реактора в течение года F₁(x), определить среднее время до аварии τ₁ и дисперсию τ₁² при условии, что в начальный момент времени все системы обеспечения безопасности АЭС находились в работоспособном состоянии, обслуживающий персонал не делает ошибок при эксплуатации.
        При составлении математической модели, описывающей процесс возникновения аварии на АЭС, принимаем ряд допущений и положений: отказавшее состояние аварийной системы охлаждения, запорной арматуры и различных средств защиты, которые находятся в «ждущем режиме», обнаруживаются только в результате профилактических проверок, либо при возникновении аварий; проверки систем защит, находящихся в ждущем режиме, абсолютно надежны; после каждого отказа рассматриваемых систем их отказавшее состояние обнаруживается, и работоспособное состояние полностью восстанавливается, (система работает как новая); человек при эксплуатации принимает неправильные решения (отказывает) в результате повреждений регистрирующих на пульте управления приборов, по показанию которых оператор принимает решение.
        Обозначим через k=5 число систем, участвующих в формировании аварии на АЭС.
        Процесс изменения каждой из k рассматриваемых систем с течением времени t обозначим через ξ_k(t), . Предположим, что ξ_k(t) принимает два значения: 0 или 1, если k находится в работоспособном состоянии и отказавшем соответственно. Что касается статистической природы этих функций, то предположим, что вероятность переходов из работоспособного состояния в отказавшее за промежуток времени Δt равна λ_kΔt + 0(Δt), где 0(Δt) означает, что вероятность появления более одного отказа в интервале (t + Δt) является величиной высшего порядка малости по сравнению с Δt вероятность переходов из отказавшего состояния в работоспособное за время Δt равна μ_kΔt + (Δt) и не зависит от предшествующего течения процесса ξ_k(t).
        Величины λ_k и μ_k являются параметрами рассматриваемого процесса. Принятые допущения означают, что ξ_k(t) можно рассматривать как процесс Маркова с двумя состояниями: 0 (безотказное) и 1 (отказавшее) [4].
        Рассмотрим совокупность процессов ξ_k(t) как общий процесс Маркова ξ(t) с 32 дискретными состояниями е₁(0,0,0,0), е₂(1,0,0,0,),…, е₃₂(1,1,1,1) и непрерывным временем. Авария на АЭС с расплавлением активной зоны произойдет в момент встречи процесса ξ(t) в состоянии 1, т.е. когда ; , , , .
        Выразим вероятность нахождения системы в каждом из 32 возможных состояний через параметры известных процессов , ,,,.
        Поведение во времени такой системы полностью определяется матрицей интенсивностей переходов P, которая для данной задачи имеет вид:

где

       (2)

        Матрицы ∆ и ∆¹ отличаются между собой только элементами главной диагонали. Главная диагональ матрицы ∆¹  начинается элементом α₁₆, а заканчивается элементом α₃₀. Диагональные элементы матриц ∆ и ∆¹ определяются как единица минус сумма элементов соответствующей строки. Например:

;
;
................................;
;
.

       В матрице (2) ; ; , где:
        , - средний интервал времени между отказами питательных насосов и средняя длительность нахождения питательных насосов в отказавшем (нерабочем) состоянии;
        , - средний интервал времени между отказами во включении аварийной системы охлаждения и средняя длительность нахождения аварийной системы охлаждения в отказавшем состоянии;
        , - средний интервал времени между отказами (заклинивание в открытом положении) разгрузочного канала компенсатора объема и средняя длительность нахождения его в отказавшем состоянии;
        , - средний интервал времени между ошибочными отключениями (или выходов из строя) насосов высокого давления и средняя длительность нахождения насосов высокого давления в отключенном (отказавшем) состоянии;
        , - средний интервал времени между ошибочными отключениями (или выходом из строя) насосов первого контура и средняя длительность нахождения их в отключенном (отказавшем) состоянии;
        Вероятность нахождения рассматриваемой системы в каждом из 32 возможных состояниях можно найти из решения системы линейных дифференциальных уравнений, записанных в матричном виде:

                  (3)

        где - вектор-строка; , где I – единичная матрица; P – матрица интенсивностей переходов (1).
        Система линейных дифференциальных уравнений (3) должна решаться при начальных условиях:

       ,
численным методом с помощью ЭВМ [5]. Вероятность нахождения всех пяти процессов в состоянии и будет равна вероятности расплавления активной зоны реактора, т.е.:

,                                                           (4)

        Значение среднего времени до расплавления активной зоны реактора τ₁, если в начальный момент времени все k рассматриваемые системы находились в работоспособном состоянии, (оборудование работало в нормальном режиме, люди не делали в процессе эксплуатации реактора ошибок) находим из следующей системы уравнений, записанной в матричном виде:

,                                                           (5)

       где - фундаментальная матрица.
        Q – матрица, полученная из матрицы интенсивностей переходов (1) исключением из нее поглощающего состояния (последней строки и последнего столбца);
        - вектор-столбец, у которого все элементы равны единице;
        - вектор-столбец.
        Дисперсия времени до первой аварии, сопровождающейся расплавлением активной зоны реактора, можно определить, пользуясь общей системой уравнений [6]:

,                                       (6)

где и - векторы-столбцы.

       Для систем, находящихся в «ждущем режиме» (средства защиты, управление запорной арматурой и т.д.), для которых заданы интервалы времени между профилактиками , например, потоков можно находить следующим образом [7]:

,                                  (7)

в том случае, когда <0,1, тогда

                                                  (8)

       При выполнении условия (свойство экспоненциального распределения), вероятность расплавления активной зоны реактора можно определить из выражения:

                                             (9)

       ПРИМЕР. Определить вероятность расплавления активной зоны реактора в течение года F₁(8760) при совпадении в пространстве и времени следующих случайных событий: произошло аварийное отключение питательных насосов; отказала во включении аварийная система охлаждения активной зоны реактора; отказал разгрузочный клапан на компенсаторе объема в открытом состоянии; отказали (отключились) насосы высоко давления; отказали (отключились) циркуляционные насосы первого контура.

       Дано: ; ; ; ; ; ; ; ; ; .

       Сравнить полученный результат F₁(8760) c нормируемой величиной F₀(8760) .

       Решение.       Используя исходные данные, систему уравнений (3) матрицы (1) и (2), с помощью ЭВМ численным методом находим:

.

       Сравнение полученного результата с нормой F₀(8760) показало, что в данном случае риск в расплавлении активной зоны реактора в течение года выше нормируемого в 5,8 раза.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бабаев Н.С., Кузьмин И.И., Легасов В.А., Сидоренко В.А. Проблемы безопасности на атомных     электростанциях. – Природа, 1980, №6, с.30-43.
2. Новиков И.И., Кружилин Г.Н. Уроки аварии реактора PWR на АЭС Три-Майл-Айленд в США в 1979 г. –     Электрические станции, 1999, №6, с.29-35.
3. Ваганов П.А. Ядерный риск: Учеб. пособие – СПб.: изд-во С-Петербург, ун-та, 1997 – 112 с.
4. Тиханов В.И., Миронов в.А. Марковские процессы.- М.: Советское радио, 1977 – 320 с.
5. А.Ф. Бермант, И.Г. Араманович. Краткий курс математического анализа – М.: Наука, 1966 – 735 с.
6. Кемени Дж., Скел Дж. Конечные цепи Маркова – М.: Наука, 1970 – 110с.
7. Ковалев А.П. О проблемах оценки безопасности электротехнических объектов. Электричество, 1991, №7, с.50 -     55.

Первоисточник: Наукові праці Донецького національного технічного університету. Серія: «Електротехніка і                                 енергетика», випуск 79: Донецьк: ДонНТУ, 2004. - 154 с.