Источник: Материалы научного семинара “Инженерный бизнес и менеджмент” МГТУ им. Н.Э. Баумана 24 апреля 2007г. Cсылка на ресурс

Применение взвешенного метода наименьших квадратов в социально-экономических моделях.

Автор: Злобин Д.И.

Метод наименьших квадратов (МНК) – широко известный в науке метод сглаживания наблюдаемых данных. Он заключается в том, что по n парам чисел (tk, xk), k= 1, 2, …, n, где tk – значения независимой переменной (например, времени), xk – значения зависимой переменной (например, численности населения определенного государства, реального ВВП, индекса потребительских цен, уровня безработицы и т.д.), оценивают теоретическую зависимость между переменными. Рассмотрим простейший случай линейной зависимости
.
Во взвешенном методе наименьших квадратов критерий близости теоретической функции к опытным данным имеет вид:
,
где положительные числа wk – некоторые веса невязок. Оценки неизвестных параметров a и b линейной зависимости находят из условия
.
Зачем нужны веса невязок? Естественно принять, что события, которые произошли совсем недавно, должны оказывать на прогноз гораздо большее влияние, чем “дела давно минувших дней”. Например, присвоим k-ой невязке вес k/n (в предположении, что tkвозрастает с ростомk). Тогда последняя невязка будет иметь вес, в n раз больший, чем первая, и, как следствие, тренд будет проходить ближе к точкам, которые зафиксированы недавно.
Как и в классическом случае единичных весов, оценки параметров нетрудно найти, приравняв 0 частные производные f(a,b) по a и b. Введем обозначения:
.
Нетрудно показать, что минимум f(a,b) достигается при
.
Применение взвешенного метода наименьших квадратов продемонстрируем на примере прогнозирования численности населения России. Используя данные (табл.1 и рис.1) по численности населения с 1917 по 2005 год (в современных границах РФ), дадим прогноз на 2006 год.
Численность населения с начала века до его девяностых годов быстро возрастала, а с 1996 года резко пошла на убыль. Взвешенный МНК как раз и позволяет отразить эту тенденцию, поскольку в большей степени учитывает данные из недавнего прошлого, чем из “глубокой древности”.

Таблица 1. Динамика численности населения России

Рис.1. Изменение численности населения России в ХХ в.

В следующей табл.2 отразим фактическую численность населения и результаты двух прогнозов на 2006 год, сделанных с помощью простого и взвешенного МНК (в обоих случаях использовалась линейная регрессия). Из табл.2 видно, что взвешенный МНК дает более точный прогноз, т.к. ошибка прогноза составляет 0,4% против 5,6% у простого МНК.

Таблица 2. Сравнение методов восстановления зависимости

В приведенном примере с численностью населения можно добиться более точного прогноза с помощью классического МНК (с единичными весами), если просто отбросить данные за двадцатый век. Видно, что начиная с нового века численность населения убывает почти линейно, а возрастающие тенденции двадцатого века только ухудшают точность прогноза. Однако не всегда изменение динамики так очевидно.

Литература:

1. Харман Г. Современный факторный анализ. – М.: Статистика, 1972. – 486 с.
2. Орлов А.И. Теория принятия решений. – М.: Экзамен, 2006. - 576 с.
http://orlovs.pp.ru/stat.php#k5