Эконометрические методы

Автор: Цыплаков А.А.

Функциональная форма регрессионной модели Необходимость изменить функциональную форму модели возникает, если неверна одна из следующих гипотез, выполнение которых требуется для того, чтобы обычный метод наименьших квадратов (ОМНК) в применении к регрессионной модели Y i = X i X + X i (i = 1,..., N ) давал хорошие результаты:
1. Ошибки имеют нулевое математическое ожидание, или, что то же самое, мат. ожидание зависимой переменной является линейной комбинацией регрессоров: E (Xi) = 0, E (Y i) = X iX .
2. Ошибки гомоскедастичны, т. е. имеют одинаковую дисперсию для всех наблюдений:
V (Xi2) = E (Xi2) = X 2. Тестирование правильности спецификации регрессионной модели Если ошибка имеет ненулевое мат. ожидание, то оценки ОМНК окажутся смещенными. Другими словами, в ошибке осталась детерминированная (неслучайная) составляющая, которая может быть функцией входящих в модель регрессоров, что и означает, что функциональная форма выбрана неверно.Заметить эту ошибку спецификации
можно на глаз с помощью графиков остатков по “подозрительным” перемеyным: регрессорам и их функциям (в т.ч. произведениям разных регрессоров),
расчетным значениям и их функциям. Остатки дают представления об ошибках, поэтому они должны в правильно
заданной регрессии иметь везде нулевое среднее. Если остатки (e), например, для каких-то значений некоторой переменной Z в среднем больше нуля, а для каких-то – меньше, то это служит признаком неправильно специфицирован ной модели. Это, конечно, не все обычно принимаемые гипотезы, а только те, которые интерес- ны с точки зрения рассматриваемой темы.
Похожим образом обнаруживается и гетероскедастичность (отсутствие гомоскедастичности). Она проявляется в том, что разброс остатков меняется в зависимости от некоторой переменной Дисперсия ошибок может меняться в зависимости от регрессоров и их функций, расчетных значений и их функций. Формальный тест можно провести с помощью вспомогательной регрессии — регресии квадратов остатков по “подозрительным” переменным и константе. Соответствующая статистика — обычная F-статистика для гипотезы о равенстве нулю коэффициентов при всех переменных кроме константы, выдавае- мая любым статистическим пакетом. Ошибки в спецификации функциональной формы обнаруживаются так же тестами на автокорреляцию остатков, такими как статистика Дарбина- Уотсона, если наблюдения упорядочены по каком-либо признаку, например,по порядку возрастания одного из регрессоров. Понятно, что это тест нефор- мальный.
Линейные и нелинейные модели
Линейная форма модели в целом является более предпочтительной. Линейные модели оцениваются более простым методом наименьших квадратов.
При выполнении некоторого набора гипотез оценки ОМНК для линейной модели обладают рядом хороших свойств, не выполняющихся для оценок нелинейной модели, это же относится к распределениям оценок и различных статистик.
В линейной регрессионной модели мат. ожидание зависимой переменной — это линейная комбинация регрессоров с неизвестными коэффициентами, которые и являются оцениваемыми параметрами модели. Такая модель явля- ется линейной по виду. В матричной форме ее можно записать как Y = X + Z. Не обязательно, чтобы влияющие на Y факторы входили в модель линейно. Регрессорами могут быть любые точно заданные (не содержащие неизвест- ных параметров) функции исходных факторов – это не меняет свойств ОМНК. Важно, чтобы модель была линейной по параметрам. Бывает, что модель записана в виде, который нелинеен по параметрам, но преобразованием уравнения регрессии и переобозначением параметров можно привести ее к линейному виду. Такую модель называют внутренне линейной. Поясним введенные понятия на примерах.
Модель Y = X + X X1X2 + X не- линейна по X1 и X2, но линейна по параметрам, и можно сделать замену X = X1X2, так что модель примет линейный вид:
Y = X + X X + X .
Модель Y = exp (X + Xx + X) нелинейна по виду, но сводится к линейной логарифмированием обеих частей: lnY =X + X x + X .
В этой новой модели зависимой переменной будет уже lnY. Модель Y = (a – 1) (b + X ) + e нелинейна по параметрам a и b, но сводится к линейной заменой параметров X = (a – 1) b и X = a – 1. Тогда Y=X+XX+X.
Для применения метода наименьших квадратов важно, чтобы ошибка была аддитивной, то есть, чтобы зависимая переменная являлась суммой своего математического ожидания и ошибки. Об этом следует помнить, про- изводя преобразования модели. Например, модель Y = X X X + X нельзя пре- образовать в линейную по параметрам с аддитивной ошибкой. Аналогичную X модель с мультипликативной ошибкой Y = X X X можно преобразовать к виду
lnY = lnX + X lnX + lnX или Y= X+ X X +X где Y = lnY, X = lnX, X = lnX, lnX. Однако следует отметить, что вследствие преобразования распределение ошибки изменилось. Если X оказывается нормально распределенной, это значит, что X имела логнормальное распределение.
Экономическая теория оперирует моделями разных типов. Некоторые из них дают регрессионные уравнения линейного вида, некоторые – нелинейно- го. Рассмотрим это на примере однородных производственных функций. Са- мая популярная производственная функция – функция Кобба-Дугласа – легко приводится к линейному виду логарифмированием:
Y = X KX L1
lnY – lnL = lnX + (lnK – lnL), где Y – выпуск продукции, K — капитал, L — труд. Функция с постоянной эластичностью замены (ПЭЗ) дает внутренне не- линейное уравнение регрессии: 1
Y =(K + (1–X) L ) /Z. Достаточно гладкую функцию вблизи некоторой точки можно разложить в ряд Тейлора, получив тем самым линейную форму модели. Так, при X> 0 функция с постоянной эластичностью замены совпадает с функцией Кобба- Дугласа. Если же приблизить функцию ПЭЗ в точке X = 0 разложением в ряд

Источник:Пособие экономического факультета Новосибирского университета - http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txtXp_id=11s375