Актуальность темы:
   Процессы моделирования физических явлений всегда были и будут актуальными. С появлением всё более мощных вычислительных ресурсов человечеству открываются возможности по моделированию сложнейших процессов, связанных как с деятельностью человека, так и с природными явлениями.
   Важнейшую роль компьютерное моделирование играет и в производственных задачах металлургии. Различные процессы, связанные с нагревом, плавлением и остыванием металла очень удобно промоделировать с использованием современных вычислительных средств. Это даёт возможность оценить как сам процесс в комплексе, так и отдельные его характеристики. Например, с помощью моделирования можно с допустимой долей погрешности подобрать теплотехнические параметры ёмкости, в которой остывает слиток металла заданного размера, а также оценить время его остывания. Стоит заметить, что использование программы моделирования предоставляет неоспоримую экономическую выгоду для производства, так как благодаря вычислительной мощности современных компьютеров моделирование происходит гораздо быстрее во времени чем реальные процессы. Кроме того, используя современные программные средства визуализации возможно получить очень наглядное представление результатов моделирования физических процессов в виде различных диаграмм и графиков.
   Учитывая актуальность и востребованность данной темы, был разработан проект по моделированию остывания слитка металла. В масштабах проекта реализована программа, отражающая результаты через среду Microsoft Excel.

Входные параметры моделирования:
   В исходных данных программы моделирования фигурируют теплотехнические, временные и другие параметры, необходимые для создания модели процесса остывания. Таким образом, пользователю предоставляется возможность, изменив время остывания, начальную температуру, размеры слитка или другие параметры оценить их влияние на процесс остывания и затвердевания.
   Используя заданные пользователем параметры, программа выполняет моделирование.

Описание алгоритма решения:
   За основу решения поставленной задачи был взят метод конечных разностей для решения двухмерной задачи теплопроводности. Общий смысл алгоритма таков, что по входным данным размеров слитка, шагу по длине и высоте строится матрица температур. Матрица температур представляет собой матрицу размером NxM, где N = (размер высоты слитка/шаг по высоте)+2, M = (размер ширины слитка/шаг по ширине)+2. Точки, находящиеся на периметре матрицы показывают температуру слитка на соответствующих краях, точки с индексами N+2 и M+2 не представляют физического смысла и служат для подсчета изменения температуры на краях слитка в зависимости от коэффициента теплопроводности и температуры окружающей среды. Значение температуры в точке [1,1] соответствуют значению в левом верхнем углу слитка. При решении задачи алгоритм применяется только для половины слитка, т.к. считается, что слиток остывает симметрично, тем самым мы уменьшаем затраты машинного времени почти на 50%.
   В первоначальный момент времени вся матрица температур заполнена одинаковыми значениями, это соответствует моменту заливания жидкого металла в емкость для остывания. Именно с этого момента начинается отсчет времени. У каждой стороны емкости есть свой коэффициент теплопроводности. Например: коэффициент теплопроводности дна емкости 500 единиц, у боковой стенки 100, на поверхности 10. Также на остывание слитка влияет температура окружающей среды, для примера возьмем ее равной 20 градусов по Цельсию. В методе конечных разностей активно используется метод прогонки, смысл которого заключается в следующем: значение температуры слитка в n-ой точке, в следующий момент времени, зависит от значения температуры в этой точке в текущий момент времени и точки n+1 в следующий момент времени. Вычисляется эта зависимость по следующей формуле:

где альфа и бетта вспомогательные коэффициенты, вычисляемые из теплотехнических характеристик присущих конкретной задаче.
   В методе прогонки сначала вычисляется температура в точках [i,N+2] (по специальной формуле), и потом полученное значение «прогоняется» по всем точкам лежащим ниже [i,N+2], для каждого i-ого проходим N+1 точек (температура в этих точках считается по вышеуказанной формуле). Точки [i,1] и [i,N+1] высчитывается по специальной формуле, т.к. они находятся на границах слитка. Таким образом, считаем изменение температуры всего слитка происходящее от нижней к верхней поверхности. Теперь для подсчета изменения температуры от боковой поверхности проделаем те же действия, но для строк матрицы. Вычисляем температуры в точках [M+2,i], потом полученное значение «прогоняется» по всем точкам лежащим ниже этой точки, i = 1 : N+1. Таким образом, мы считаем изменение температуры всего слитка происходящее от боковой поверхности. В итоге получаем изменение температуры всего слитка в следующий момент времени. Также следует обратить внимание на то, что коэффициенты альфа и бетта пересчитываются на каждом шаге по времени.
   Процесс вычисления температуры слитка завершается, когда истекает время моделирования, количество шагов по времени вычисляется как «общее время моделирования»/«шаг моделирования».

Представление выходных параметров:
   Результатом работы программы являются выводимые в Microsoft Excel результаты моделирования. По желанию пользователя могут быть выведены матрицы температур на каждом шаге по времени, совокупность графиков температур Тсолидус и Тликвидус. Матрицы температур содержат множество точек слитка, которые несут в себе численное значение температуры. Количество строк и столбцов матрицы зависит от размеров и шага по слитку, которые задаются пользователем. Стоит отметить, что матрицы температур выводятся в количестве равном количеству шагов по времени. Таким образом, задав достаточно мелкий шаг по времени, а также мелкий шаг по слитку, пользователь получает большое количество матриц. Это приводит к сильному замедлению процесса моделирования, связанному с обработкой больших массивов данных. Кроме матриц интерес представляют также графики температур Тсолидус и Тликвидус, выводимые на каждом шаге по времени, начиная с момента появления на слитке фронта остывания, равного по температуре Тликвидус. Графики являются наглядным отображением фронта остывания в объёме слитка. Наглядный пример одного из множества графиков отражён на рисунке 1.

Выводы:
   Реализованная программа моделирования позволяет во много раз облегчить математические расчёты параметров остывания слитка. Также она позволяет наглядно отобразить физические процессы, происходящие в слитке. Следует отметить, что данная программа является лишь приближённой моделью. Дальнейшим развитием данного проекта может выступить реализация трёхмерной модели остывания слитка, в которой более подробно будут отражены характеристики остывания металла.

Литература:

1. Математическое моделирование тепловой работы промышленных печей. В.А. Арутюнов, В.В. Бухмиров, С.А. Крупенников. - М. : Металлургия, 1980. - 239 с.
2. Delphi 5. В. Гофман. – СПб.: БХВ-Санкт-Петербург, 2000. - 800 с.