Н.Ф. Мусаева, Д.И. Масталиева, Р.М. Кадымов

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОНФЛЮЭНТНОГО АНАЛИЗА С ПОМОЩЬЮ РОБАСТНЫХ ОЦЕНОК ЗАШУМЛЕННЫХ СИГНАЛОВ

 

Институт кибернетики НАНА, Баку, Азербайджан

musana@rambler.ru, musaeva@cyber.ab.az ,dilara.mestelieva@gmail.com, rauf_qadimov@mail.ru

Первоисточник http://www.science.az/cyber/pci2006/1/!1r12-musayeva.doc

Известно, что при построении математических моделей общий вид иссле­дуемой зави­симости меж­ду выходной  и входными ,  перемен­ны­ми считает­ся заданным, неизвес­т­ными являются значения вектора коэффи­циен­тов . Так, например, при линейной форме зависи­мости следует найти значения коэффициентов  уравнения:

=++.                                                    (1)

При традиционном подходе к решению этой задачи предпо­ла­га­ет­ся, что выполняются классические ограничения [1, с. 22-26]. Это означает, что выходной пара­метр  и наложен­ная на нее помеха  есть случайные функции с нор­мальным законом распределения, помеха  имеет нулевое математическое ожидание =0, некоррелированные значения =0 и одинаковые дис­персии ; входные пара­мет­ры , , ... ,  содержат пренеб­режимо малые помехи; на значения коэффициентов моде­ли , =1,2,..., не на­ло­жены никакие ограничения; ранг матрицы входных переменных .

Однако по своей природе зависимости между выходным и входными переменными модели могут быть разделены на четыре группы [2, с. 210-220]: 1) детерминированные (тип А), когда исследуется функциональная зависимость между неслучайными выходной и входными переменными; 2) регрессионные (тип В), когда исследуется зависимость случайной выходной переменной от неслучайных входных переменных, причем входные переменные измеряются без ошибок и не содержат помех, а значения выходной переменной зависят от ряда случайных неконтро­ли­руемых помех; 3) корреляционные (тип С), когда исследуется зависимость между случайными выходной и входными переменными, причем входные переменные не содержат случайных помех; 4) конфлюэнтные (типы Д1 и Д2), когда исследуется функциональная зависи­мость между слу­чайными или неслучайными переменными в ситуации, когда те и другие содержат некоторые случайные помехи.

В схемах Д1 и Д2 речь идет о восстановлении искомых зависимостей по искаженным наблюдениям анализируемых переменных, причем, в отличие от регрессионной схемы искаженными оказываются при наблюдении не только значе­ния выходной переменной, но и значения входных переменных. В зависимости от того, между какими именно переменными - неслучайными или случайными – ис­сле­дуются связи, имеют соответственно тип связи по схеме Д1 или Д2. Оба эти ти­па связей называются зависимостями по схеме конфлюэнтного анализа.

Существует множество конфлюэнтных методов, и они весьма разнообразны [2, с. 210-220]. Однако для построения состоятельных оценок, кроме результатов измере­ний входных  и выходного  параметров, необ­хо­дима дополнительная ин­фор­ма­ция о дисперсиях ,  помех , , которыми искажены соответ­с­твенно , , либо отношение этих дисперсий /. Только в том слу­чае, когда известна одна из дисперсий помех или их отношение, можно построить модификации оценок метода наименьших квадратов (МНК), и они окажутся состоятельными. Но, к сожалению, вычислить дисперсии помех, не поддающихся измерению, невозможно. Поэтому хорошо разработанные конфлюэнтные методы типа Д2 оказываются практически непригодными для построения адекватных математических моделей исследуемых технологических процессов.

В данной работе предлагается решение задачи конфлюэнтного анализа типа Д2 с помощью алгоритмов вычисления дисперсии помехи, величины робас­тности оце­нок авто и взаимно корреляционных функций, робастных оценок коэффи­циентов корре­ля­ции и уравновешивания величин относительных погреш­ностей элементов робастных корреляционных мат­риц, разработанных в предыду­щих работах [3, с. 50-63; 4, с. 15-26; 5, с. 64-74]. Для этого предлагается следую­щий алгоритм (вычисления проводятся для дискрети­зиро­ван­ных сиг­на­лов):

1) вы­чис­ляются оценки авто и взаимно корреляционных функций центри­рован­ных и нецентри­рован­ных зашум­лен­ных входных и выходного сигналов:

,                                             (6)

,                                            (7)

,                                                  (8)

,                                              (9)

,                                                                 (10)

-,                                                          (11)

=-, =-, , – математические ожидания ,;

2) вы­чис­ляются робастные оценки авто и взаимно корреляционных функций:

,                  (12)

,                                                                                   (13)

,                           (14)

,                                                                       (15)

где

,

,

=,

,

, ,

=, ,, , =,

 и ,  и ,  и  – количество положительных и отрицательных произве­де­ний , ,  при временном сдвиге ;

3) вычисляются робастные коэффициенты корреляции:

=/,                          (16)

=/.                                          (17)

Для вычис­ле­ния робастных коэффициентов модели необходимо сначала составить робаст­ные корре­ляционные матрицы, то есть выполнить следующую работу:

1) составить робастную корреляционную матрицу из робастных оценок коэффи­циен­тов корреляции входных сигналов, а также вектор-столбец из робастных оце­нок коэффициентов корреляции между входными и выходным сигналами:

 =;                                                           (18)

=;                                                              (19)

2) вычислить число обусловленности робастной корреляционной матрицы :

 =;                                                (20)

3) заменить соответственно 1-й, 2-й, …, n-й столбцы робастной корреля­цион­ной матрицы  робастным вектором-столбцом , и составить робастные матрицы:

=;…,=;                 (21)

4) вычислить определители , , , …,  робастных корреля­цион­ных матриц , , , …, ;

5) вычислить робастные коэффициенты математической модели:

=, …, =, ,                (22)

где , .

Для про­верки эффективности технологии решения задач конфлюэнтного анализа с ис­по­ль­­­зова­нием робастных коэффициентов корреляции и робастных корреляционных матриц были проведены вычис­ли­тельные эксперименты, которые показали, что разработан­ные технологии вычисления дисперсии помехи, величины робастности оце­нок авто и взаимно корреляционных функций, робастных оценок коэффи­циентов корре­ля­ции и уравновешивания величин относительных погрешностей элементов корреляционных мат­риц дают возможность решать задачи конфлюэн­тного анализа и обеспечивать адекватность математических моделей исследуемых объектов контроля и управления.

Работа выполнена при поддержке Азербайджанского Национального Науч­ного Фонда (Azerbaijan National Science Foundation (ANSF)) и Американского Фонда Гражданских Исследований и Развития (the U.S. Civilian Research & Development Foundation (CRDF)), грант N3104.

 

Литература

1.       Вучков И., Бояджиева Л., Солаков Е. Прикладной линейный регрессионный анализ, М.: Финансы и статистика, 1987, 240 с.

2.       Грановский В.А., Сирая Т.Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях, Ленинград.: Энергоатомиздат, 1990, 288 с.

3.       Мусаева Н.Ф. Робастный метод оценивания при “загрязнениях” грубыми ошибками // Автоматика и вычислительная техника, №6, 2003, с. 50-63.

4.       Алиев Т.А., Мусаева Н.Ф. Технология экспериментального исследования сто­хас­тических процессов // Автоматика и вычислительная техника,№4, 2005, с.15-26.

5.       Мусаева Н.Ф. Технология вычисления величи­ны робастности как оценки ста­тистической характеристики за­шум­лен­ного сигнала // Автоматика и вычислительная техника, №5, 2005, с. 64-74.