Библиотека А. Дуади. Множества "Жюлиа и множество Мандельброта"

Библиотека

Статья "Множества Жюлиа и множество Мандельброта"
АДРИЕН ДУАДИ
Ссылка

Множества Жюлиа квадратичных отображений и множество Мандельброта появляются в ситуации, которая с математической точки зрения исключи- тельно проста, — из последовательностей комплексных чисел, определяемых по индукции с помощью соотношения ¦Zn + i = zl + с, где с — это комплексная постоянная. Я должен сказать, что когда еще в 1980 г. я вместе с Дж. X. Хаббардом занялся исследованием многочленов второй степени относительно одной комплексной переменной (или, более точно, многочлена вида z — Z2 + с), то всякий раз, когда я говорил об этом своим друзьям, они изумлялись и спрашивали: «Ты что же рассчитываешь обнаружить что-нибудь новое?» Однако именно это простое семейство мно- гочленов привело к появлению очень сложных объектов, причем не хаотичных, а, наоборот, строго организованных в соответствии со сложными комбинаторными законами. Поведение упомянутой выше последовательности чисел зависит от параметра с и начальной точки Zo. Если зафиксировать с и изменять zo в поле комплексных чисел, то мы получим множество Жюлиа, а если зафиксировать zo = 0 и изменять параметр с, то получим множество Мандельброта. Если взять го далеко от нуля, то последовательность будет быстро стремиться к бесконечности. Это, конечно, верно также и тогда, когда точка zn для некоторого п находится далеко от нуля. Приведем количественное утверждение: если для некоторого п модуль ! zn I (т. е. расстояние от начала координат до точки zn) больше чем \с\ +2, то модуль I zn + \г I больше, чем отношение объема известной нам Вселенной (по расстоянию до наиболее удаленных квазаров) к объему протойа. Но существуют и такие значения Zo, для которых последовательность (zn) никогда не уходит далеко, а всегда остается ограниченной. При заданном с эти значения образуют наполненное множество Жюлиа Кс для полинома /с: z *¦* Z2 + с. Настоящее же множество Жюлиа состоит только из граничных точек Кс (в этой статье я часто, выражаясь не совсем точно, буду называть Кс множеством Жюлиа). Конечно же, может случиться так, что множество Кс не будет иметь внутренних точек. В этом случае оно совпадает со своей границей (иными словами, множество Жюлиа совпадает с наполненным множеством Жюлиа). Вполне естественно, что вид множества Жюлиа зависит от выбора параметра с, но удивляет то, насколько эта зависимость сильна. И, меняя с, можно получать невероятное разнообразие множеств Жюлиа: одни из них похожи на большие «толстые» тучи, другие напоминают редкие кусты ежевики, третьи выглядят, как искры, летящие в небе во время фейерверка. Одно множество имеет форму кролика, у многих других хвосты, как у мор- ского конька... Есть два основных типа множества Жюлиа: некоторые из них являются цельными (мы говорим связными), а другие представляют собой облака из точек (мы называем их канторовыми множествами). Для математика появляется хорошая возможность ввести новое множество — множество значений с, для которых Кс связно. Я назвал его множеством Мандельброта, так как Бенуа Мандельброт был первым, кто получил его изображение с помощью компьютера и положил начало его описанию. Я уже говорил 142 раньше, что множество Мандельброта можно ввести и как множество значений с, для которых последовательность (zn) остается ограниченной, если стартовать из Zo = 0 (эквивалентность этих двух определений следует из теоремы, доказанной Фату и Жюлиа в 1919 году независимо друг от друга). Если взглянуть на множество Мандельброта, то первое, что бросается в глаза — это область, ограниченная кардиоидой с острием в точке 0.25 и закругленной вершиной в точке -0.75. Затем виден касательный к кардиоиде круг радиусом 0.25 с центром в точке - 1 и наконец бесчисленное множество меньших областей, которые также касательны к кардиоиде, а по форме напоминают круг. Большинство из них крайне малы. К каждому из этих компонентов в свою очередь прикреплено бесконечное число меньших, также похожих на круг, а к каждому из меньших опять же присоединен бесконечный набор еще меньших, также имеющих форму круга, областей и т. д. Но и это еще не все! Если мы, выйдя из большой кардиоиды и двигаясь налево, попадем в круг, затем (вновь налево) в следующую область и продолжим движение налево дальше, то при этом будем все время приближаться к так называемой точке Мирберга—Фейгенбаума, которая имеет координату -1.401... . Отрезок от этой точки до точки -2 также принадлежит М. И на нем есть маленькая, напоминающая кардиои- ду, область с заостренной вершиной в точке -1.75 (ее центр находится в точке -1.754877666...). К этой маленькой кардиоиде прикрепляется точно такое же семейство круглых областей, как и к большой.

ДонНТУ Портал Магистров
	Богомяков Виталий Игоревич Факультет: КИТА Специальность: Компьютерные системы диагностики в медицине и технике Название темы выпускной работы: "Специализированная компьютерная система диагностики психомоторных реакций человека" Руководитель от кафедры: Ярошенко Н.А.
	Библиотека Статья "Множества Жюлиа и множество Мандельброта" АДРИЕН ДУАДИ Ссылка Множества Жюлиа квадратичных отображений и множество Мандельброта появляются в ситуации, которая с математической точки зрения исключи- тельно проста, — из последовательностей комплексных чисел, определяемых по индукции с помощью соотношения ¦Zn + i = zl + с, где с — это комплексная постоянная. Я должен сказать, что когда еще в 1980 г. я вместе с Дж. X. Хаббардом занялся исследованием многочленов второй степени относительно одной комплексной переменной (или, более точно, многочлена вида z — Z2 + с), то всякий раз, когда я говорил об этом своим друзьям, они изумлялись и спрашивали: «Ты что же рассчитываешь обнаружить что-нибудь новое?» Однако именно это простое семейство мно- гочленов привело к появлению очень сложных объектов, причем не хаотичных, а, наоборот, строго организованных в соответствии со сложными комбинаторными законами. Поведение упомянутой выше последовательности чисел зависит от параметра с и начальной точки Zo. Если зафиксировать с и изменять zo в поле комплексных чисел, то мы получим множество Жюлиа, а если зафиксировать zo = 0 и изменять параметр с, то получим множество Мандельброта. Если взять го далеко от нуля, то последовательность будет быстро стремиться к бесконечности. Это, конечно, верно также и тогда, когда точка zn для некоторого п находится далеко от нуля. Приведем количественное утверждение: если для некоторого п модуль ! zn I (т. е. расстояние от начала координат до точки zn) больше чем \с\ +2, то модуль I zn + \г I больше, чем отношение объема известной нам Вселенной (по расстоянию до наиболее удаленных квазаров) к объему протойа. Но существуют и такие значения Zo, для которых последовательность (zn) никогда не уходит далеко, а всегда остается ограниченной. При заданном с эти значения образуют наполненное множество Жюлиа Кс для полинома /с: z ¦ Z2 + с. Настоящее же множество Жюлиа состоит только из граничных точек Кс (в этой статье я часто, выражаясь не совсем точно, буду называть Кс множеством Жюлиа). Конечно же, может случиться так, что множество Кс не будет иметь внутренних точек. В этом случае оно совпадает со своей границей (иными словами, множество Жюлиа совпадает с наполненным множеством Жюлиа). Вполне естественно, что вид множества Жюлиа зависит от выбора параметра с, но удивляет то, насколько эта зависимость сильна. И, меняя с, можно получать невероятное разнообразие множеств Жюлиа: одни из них похожи на большие «толстые» тучи, другие напоминают редкие кусты ежевики, третьи выглядят, как искры, летящие в небе во время фейерверка. Одно множество имеет форму кролика, у многих других хвосты, как у мор- ского конька... Есть два основных типа множества Жюлиа: некоторые из них являются цельными (мы говорим связными), а другие представляют собой облака из точек (мы называем их канторовыми множествами). Для математика появляется хорошая возможность ввести новое множество — множество значений с, для которых Кс связно. Я назвал его множеством Мандельброта, так как Бенуа Мандельброт был первым, кто получил его изображение с помощью компьютера и положил начало его описанию. Я уже говорил 142 раньше, что множество Мандельброта можно ввести и как множество значений с, для которых последовательность (zn) остается ограниченной, если стартовать из Zo = 0 (эквивалентность этих двух определений следует из теоремы, доказанной Фату и Жюлиа в 1919 году независимо друг от друга). Если взглянуть на множество Мандельброта, то первое, что бросается в глаза — это область, ограниченная кардиоидой с острием в точке 0.25 и закругленной вершиной в точке -0.75. Затем виден касательный к кардиоиде круг радиусом 0.25 с центром в точке - 1 и наконец бесчисленное множество меньших областей, которые также касательны к кардиоиде, а по форме напоминают круг. Большинство из них крайне малы. К каждому из этих компонентов в свою очередь прикреплено бесконечное число меньших, также похожих на круг, а к каждому из меньших опять же присоединен бесконечный набор еще меньших, также имеющих форму круга, областей и т. д. Но и это еще не все! Если мы, выйдя из большой кардиоиды и двигаясь налево, попадем в круг, затем (вновь налево) в следующую область и продолжим движение налево дальше, то при этом будем все время приближаться к так называемой точке Мирберга—Фейгенбаума, которая имеет координату -1.401... . Отрезок от этой точки до точки -2 также принадлежит М. И на нем есть маленькая, напоминающая кардиои- ду, область с заостренной вершиной в точке -1.75 (ее центр находится в точке -1.754877666...). К этой маленькой кардиоиде прикрепляется точно такое же семейство круглых областей, как и к большой.