Источник: Э.Шпольский "Успехи физических наук 2". Август 1984
     

      История исследований турбулентных течений научными методами насчитывает приблизительно сто лет, и на протяжении этого периода времени некоторые из наиболее великих умов в области физики, механики и техники пробовали иногда свои силы в решении имеющихся здесь проблем. Было достигнуто продвижение вперед по многим направлениям исследований, и в итоге мы видим действительно заметный прогресс в наших знаниях о предмете. Тем не менее «проблема турбулентности» в целом, что бы она ни означала, все еще сохраняется.

     Трудности в определении существа проблемы изучения турбулентности напоминают мне о карикатуре, на которой несколько озадаченного и огорченно выглядящего ученого представляют посетителю: «После двадцати лет исследований в данной области д-р Куимси нашел ответ, но теперь он забыл сам вопрос!». Любому человеку, активно работающему в области турбулентности, знакомо это чувство. На какой же вопрос или вопросы следует дать ответ? Здесь я позволю себе перечислить лишь некоторые из таких вопросов: 1) Каково предельное значение угла раствора простого конического диффузора, при котором не происходит срыв потока? По данным экспериментов оказывается, что данная величина близка к 8°, однако это еще не было подтверждено расчетами из «первых принципов». 2) Какая физика лежит в основе наблюдаемого логарифмического распределения по скоростям для простого турбулентного пограничного слоя? 3) Какова итоговая скорость протекания известной химической реакции в турбулентной смеси двух реагирующих между собой газов? 4) Чему равно максимальное значение коэффициента подъемной силы обтекаемого тела с заданным профилем?

     Приведенная выше выборка проблем представляет непосредственный интерес для техники сегодняшнего дня, и их решение (в известных пределах) может быть найдено в результате комбинации эмпирических данных и результатов феноменологического модельного подхода, т. е. методом, который вполне удовлетворителен для многих приложений, но покоится все же на непрочном фундаменте. Не удивительно, что предсказание поведения систем с другой геометрической конфигурацией может привести (и часто приводит) к неожиданным следствиям.

     Список отмеченных выше вопросов можно расширить почти без ограничений. И в самом деле, без большого преувеличения можно сказать, что все-трудности в изучении поведения потока жидкости или газа, начиная от переноса тепла в реакторе и кончая аэродинамикой, связаны с проблемой турбулентного его течения. Помимо этих очень близких к практике технологических задач, существуют и фундаментальные вопросы, для ответа на которые требуется углубленное понимание причин возникновения турбулентности. В качестве примера можно указать на следующие вопросы:

     1. Становится ли сопротивление потоку тела конечных размеров (например, цилиндра или сферы) независимым от числа Реинольдса в пределе, когда Re —> оо? Вера в положительный ответ на этот вопрос обычно не имеет рационального объяснения, а существующие доказательства его справедливости весьма ограничены.

     2. Существует ли нижняя граница излученной акустической энергий для заданной струи с известными значениями потока импульса и массы,, распространяющейся в покоящейся жидкости?

     3. Существует ли турбулентный пограничный слой при очень больших значениях числа Маха. В данном случае наличие связи между вихревым и акустическим полями может привести к настолько* обильному излучению энергии, что турбулентность будет подавлена.

     Из всего сказанного выше с очевидностью вытекает, что никакого преувеличения числа подлежащих решению проблем нами не допущено. Д-р Куим-си на упомянутой мною карикатуре забыл суть вопроса не потому, что в начале пути стоял не один вопрос, а потому, что в процессе решения он натолкнулся на массу взаимно связанных фактов и проблем и в конце концов его мозг пришел в такое же турбулентное состояние, как и тот поток, который он пытался описать.

     Представленное ниже обсуждение проблем, стоящих перед наукой о турбулентности, вовсе не является полностью документированным обзором,, а скорее представляет собой краткое изложение взглядов на предмет, сложившихся у автора. В результате этого я отказался от систематического цитирования использованной литературы и отсылаю читателя, заинтересованного в более полной проработке материалов, к двум источникам в списке литературы, помещенном в конце статьи.

     Движение простой (ньютоновской) жидкости *) характеризуется двумя безразмерными параметрами: числом Реинольдса Re = ULh и числом Маха М s= U/a. Здесь величина U определяет характерную скорость жидкости* L — характерный размер обтекающего потока, v — кинематическая вязкость, а — скорость звука. Две первые величины характеризуют движение-среды, тогда как две последние относятся к самой жидкости.

     Понятие о турбулентном потоке можно ввести, вспомнив, в какой ситуации наблюдается потенциальная беспомощность второго закона термодинамики: поток с достаточно высоким значением числа Реинольдса нельзя замедлить до состояния покоя стационарным образом. Торможение всегда приводит к образованию вихрей, и возникающие между ними взаимодействия-настолько чувствительны к исходным условиям, что результирующая картина потока меняется со временем, причем, как правило, хаотическим образом. Данное явление во многом напоминает ход эксперимента с доской Гальто-на *), т. е. скатывание упавшего сверху шарика по наклонной доске через регулярно вбитые гвоздики, или игру на китайском биллиарде. Неизбежные малые сдвиги в начальном направлении падения шарика приводят к статистическому распределению для конечного положения шарика: средние по ансамблю следуют нормальному распределению.

     Характерной особенностью турбулентных потоков, оказывающей решающее воздействие на их поведение, является взаимодействие вихрей. Как одна из проблем для статистической механики, проблема турбулентности сводится к описанию ансамбля взаимодействующих гироскопов, т. е. с точки зрения статистики проблема турбулентности представляет собой более сложную задачу, чем, скажем, трехмерная модель Изинга. То обстоятельство, что мы знаем, какими уравнениями движения описывается турбулентный поток —• уравнениями Навье — Стокса,— является, безусловно, полезным, но его значение даже уступает тому, что дает приложение уравнений Гамильтона к динамике жидкости.

     Уже из первых экспериментов Осборна Рейнольдса по турбулентности стало очевидно, что скорость потока флуктуирует около среднего значения явно хаотическим образом. Следующий логически обоснованный шаг состоял в описании поля скоростей в потоке с помощью понятия о средней скорости движения U и скорости и', характеризующей пульсирующую составляющую. Подставляя соотношение u = U +и' в уравнение Навье—Стокса и производя осреднение, получим в итоге так называемые уравнения Рейнольдса для U, которые совпадают по форме с уравнениями Навье—Стокса, но в силу нелинейного характера уравнений они содержат дополнительные члены, квадратичные по пульсирующим составляющим скорости. Эти члены представляют собой производные от так называемого тензора напряжений Рейнольдса с компонентами.

     Поскольку принципиальные особенности турбулентного течения проявляются и в потоке несжимаемой жидкости, а также по причине отсутствия к настоящему времени результатов исследований для сжимаемой жидкости, будем считать в дальнейшем величину плотности р постоянной. Подход Рейнольдса к осреднению величин скоростей порождает две следующие проблемы. Во-первых, поскольку компоненты тензора xth остаются неизвестными, он приводит к системе уравнений с числом неизвестных, превышающим число уравнений. Попытки получить уравнения путем последовательного домножения уравнений и осреднения приводят к возникновению иерархии уравнений, в которой, например, члены вида u'iUj зависят от членов вида ulu'ju'h, и т. п.

     Очевидно, что одна лишь процедура осреднения не может прояснить физическую сущность проблемы, и надежда на использование рейнольдсов-ского осреднения связана с возможностью замыкания результирующей бесконечной системы уравнений. Для этого можно воспользоваться физическими или по крайней мере статистическими доводами. Так называемая проблема «замыкания», которая и по сей день остается весьма интенсивно развиваемой ветвью теории турбулентности, имеет формальное сходство с проблемой ББГКИ-иерархии **) в кинетической теории жидкостей, порождающей ряд тех же трудностей, что и в задаче о турбулентном течении жидкости. При этом лишь для простейшего случая одноатомного газа, которому отвечают наиболее простые взаимодействия между частицами, цепочка уравнений может быть замкнута вполне удовлетворительным образом.

     Вторая проблема, возникающая в связи с осреднением скоростей по Рейнольдсу, обусловлена трактовкой «значения средних величин», т. е. определением и характером использования результатов осреднения. Время от времени этот вопрос привлекал внимание чистых математиков, и результаты проведенного рассмотрения были восприняты с известной долей юмора более «приземленными» исследователями турбулентности. Совсем недавно, однако, стало ясно, что процедура осреднения величин скоростей по Рейнольдсу вовсе не в той степени полезна, как об этом думали раньше.

     По крайней мере в ряде случаев удалось установить, что безразмерный коэффициент обращается в нуль для одних отрезков времени и в единицу для других, чередующихся с первыми. В итоге его среднее значение, т. е. коэффициент корреляции, оказывается приблизительно равным 0,4. Физический смысл среднего значения переменной, флуктуирующей указанным образом, остается по крайней мере под вопросом.

...