Для системы «сеть-защита», состоящей из защитного коммутационного аппарата и защищаемой им сети от случайно появляющихся в ней экзогенных источников целесообразно помимо характеристик надежности: среднее время до первого пожара τ₁, дисперсия этого времени σ₁, вероятность пожара Q(t) в течение времени t знать ее экономические показатели [1]. В данной работе рассмотрим вопрос учета экономического эффекта от нахождения системы в каждом из возможных состояний в течение времени t.

Рассматриваемая система может находится в одном из четырех состояний:

, , , в произвольный момент времени t:

- в защищаемой сети отсутствует КЗ; защитный коммутационный аппарат исправен и находится в «ждущем» режиме;

- в защищаемой сети произошло КЗ; защитный коммутационный аппарат исправен и готов отключить ток КЗ;

- в защищаемой сети КЗ отсутствует; защитный коммутационный аппарат находится в отказавшем состоянии;

- в защищаемой сети произошло КЗ; защитный коммутационный аппарат находится в отказавшем состоянии.

Пусть поведение во времени защищаемой сети и защитного коммутационного аппарата описывается с помощью марковских случайных процессов с параметрами , , , . Обозначим через q_i - экономический эффект от пребывания системы в каждом из возможных состояний. Определим полный ожидаемый экономический эффект V_i(t), который система приносит за время t, если в начальный момент времени она находилась в состоянии е_і, і = 1,4.

Будем предполагать, что система приносит доход q_і dt, если она пребывает в состоянии e_i, времяdt. Полный ожидаемый экономический эффект от пребывания системы в состоянии e_i к моменту времени t+dt является суммой экономических эффектов, накопленных системой за время dt, и экономических эффектов, накопленных ею к моменту времени t. Полный ожидаемый экономический эффект можно найти, пользуясь системой уравнений [2]

(1)

q_i - экономический эффект от пребывания системы в каждом из возможных состояний (грн/час), может быть как со знаком (+), так и (-).

Матрица вероятностей переходов Р для рассматриваемой задачи имеет вид:

(2)

где

, - средний интервал времени между появлениями КЗ в рассматриваемой сети и длительность существования КЗ (время срабатывания защиты) соответственно;

, - средний интервал времени между отказами защитного коммутационного аппарата и средняя длительность нахождения его в необнаруженном отказавшем состоянии соответственно;

Если известен интервал времени между профилактическими проверками системы отключения защитного коммутационного аппарата θ₂, то среднее время нахождения защиты в необнаруженном отказавшем состоянии определяется по формуле:

(3)

Дифференцируя (1), используя (2) получаем следующую систему линейных дифференциальных уравнений:

(4)

Будем предполагать, что к моменту времени t=0 система имеет нулевой накопленный доход, т. е. V₁(0)=0, V₂(0)=0, V₃(0)=0 и V₄(0)=0.

Средний экономический эффект в единицу времени для установившегося режима можно определить следующим образом [2]

(5)

где Р_i – вероятность нахождения системы в каждом из возможных состояний при , которые определяются из следующей системы уравнений:

(6)

Пример.

1. Определить экономическую эффективность системы электроснабжения квартиры за период времени t=4380 ч, т. е. определить V₁(4380), V₂(4380), V₃(4380) и V₄(4380), если известно, что интенсивность появления КЗ в защищаемой сети = 8,13×10^-5 ч^-1, среднее время ликвидации возникшего повреждения d₁= 3 ч или = 0,34 ч^-1. Интенсивность отказов в срабатывании защитного коммутационного аппарата = 2,28×10^-5 ч^-1. Интервал времени между проверками системы отключения коммутационного аппарата =4380 ч. Система имеет следующий экономический эффект для начальных состояний e_i, : q₁= 5 грн/ч, q₂= -20 грн/ч, q₃= -10 грн/ч, q₄= -10000 грн/ч.

2. Определить средний доход в единицу времени для данной системы.

Решение 1. Определим по (3)

   ч^-1.