(1)Источник: Материалы международной научной конференции EPE-PEMC 2004 Riga, Latvia (11th International Power Electronics and Motion Control Conference).
Резюме - Представлен метод, на основании которого возможен синтез дискретного наблюдателя статического моменнта. Метод использует минимизацию интегральной квадратичной ошибки для линейных стационарных дискретных систем.
Для большинства вариантов оптимального управления электроприводом, таких как: управление обеспечивающее максимальное быстродействие, оптимальная стабилизация, оптимальное регулирование положения, нужно иметь информацию о статическом моменте на валу двигателя. Эта проблема может быть решена методами прямого измерения, или при помощи наблюдателя состояния. Первый подход требует использования 8 тензометров, расположенных на валу двигателя, которые определяют угол скручивания вала. Таким образом, зная диаметр вала и материал из которого он изготовлен, можно вычислить статический момент. Этот метод намного более точен по сравнению с представленным наблюдателем, но требует высокой точности установки тензометров, а система измерения особенно чувствительна к любым механическим возмущениям. По этой причине метод прямого измерения статического момента в промышленных условиях не используется.
Оценка статического момента с помощью наблюдателя требует определения легко поддающихся измерению координат таких, как: скорость вращения и вращающий момент двигателя. Так как эти величины измеряются в распространённой системе подчинённого регулирования, статический момент можно вычислить с помощью компьютерной системы.
А. Дискретный наблюдатель полного порядка.
Следующая система уравнений описывает динамику системы управления в дискретном времени:
(1)
Учитывая то, что модель процесса не идеальна [x^[k] = x(k)] и из-за трудностей с измерениями всех переменных состояния, мы используем восстановленный вектор переменных состояния для того, чтобы построить вектор ошибок, описанный как [1]:
e(k) = y(k) - Cx^(k) = C(x(k) - x^(k)) (2)
В результате мы получаем уравнение дискретного наблюдателя состояния полного порядка.
x^(k + 1) = Ax^(k) + Bu(k) + LC(x(k) - x^(k)) (3)
где L - матрица коэффициентов при векторе ошибок. Структурная схема этого наблюдателя приведена на рис. 1.
Теперь уравнение дискретного вектора ошибок примет вид:
e(k + 1) = Ae(k) - LCe(k) = (A-LC)e(k) (4)
и его решение
e(k) = (A-LC)ke(0). (5)
Чтобы реализовать алгоритм наблюдателя в компьютерной системе, удобно пользоваться уравнением, полученным из уравнения (3).
x^(k +1) = (A- LC)x^(k) + Bu(k) +Ly(k). (6)
Структурная схема обновлённого наблюдателя приведена на рис. 2.
Б. Математическое описание электропривода постоянного тока
Мы используем хорошо известную модель электрического двигателя постоянного тока независимого возбуждения питаемого управляемым преобразователем. Такая модель описывается следующей системой уравнений: [2], [3], [4]:
I '(t) = RI(t) + φeNω(t) + KpU(t) (7a)
Jω '(t) = Me(t) - Mm(t) (7б)
Me(t) = φeNI(t) (7в)
где:
I, ω - ток якоря, угловая скорость
Mm - статический момент,
Kp - коэффициент передачи преобразователя,
φeN - конструктивная постоянная двигателя,
J - момент инерции,
Tm, T - электромагнитная и электромеханическая постоянные времени соответственно,
R - суммарное активное сопротивление якорной цепи,
L - суммарная индуктивность якорной цепи.
Механическая часть привода может быть описана в пространстве состояний следующим образом:
(8а)
где:
(8б)
(8в)
В дискретной форме система (8) примет следующий вид (Ts период дискретности):
(9a)
(9б)
В. Решение линейно-квадратической задачи для наблюдателя статического момента
Первоначально линейно-квадратическая задача была решена для синтеза оптимального регулятора состояния. Использование этого решения для синтеза оптимальных наблюдателей стало возможным благодаря дуальной связи понятий управляемости и наблюдаемости [5],[6]. Математическое описание системы, дуальной по отношению к (1), имеет вид
(10)
где 
(смотрите Рис. 1).
Непрерывный критерий качества не может быть использован для дискретного наблюдателя. Поэтому будем использовать дискретный функционал в форме [7],[8],[9]:
(11)
После решения дискретного алгебраического уравнения Рикатти [10],[11] мы получаем матрицу коэффициентов K. Вектор К является строкой, а вектор L должен быть столбцом, так что
(12)
Тогда мы получаем систему уравнений для наблюдателя статического момента в следующем виде:
(13)
где ω^ является оценкой угловой скорости (упреждённой на период квантования), M^m оценка статического момента.
Диаграмма дискретного наблюдателя статического момента в системе электропривода постоянного тока приведена на рис. 3. Матрицы, QT = Q >= 0 и RT = R > 0, входящие в выражение для функционала (11)
имеют вид:
(14)
где q1 > 0, q2 > 0, r > 0. Если q2 = 0 тогда пара (Q, A) не наблюдаема и задача линейно-квадратичной оптимизации не может быть решена.
Здесь приведены, только несколько отобранных результатов моделирования. Эти тесты были выполнены, с использованием программного обеспечения MATLAB-SlMULINK. Была взята хорошо известная система подчинённого регулирования электропривода постоянного тока с регулятором скорости П-типа и ПИ-регулятором тока якоря. Рассматривались два варианта значений коэффициентов передачи корректирующих связей (q1 = 1, q2 = 100 and q1 = 1, q2 = 1000). Период дискретности Ts = 0.001.
Графики изменения тока якоря, скорости вращения и восстановленного значения статического момента приведены на рисунках 4 и 5. Время наброса нагрузки выбрали t = 1 [с].
График изменения тех же координат, но при разгоне под действием активного момента нагрузки приведен на рис. 6.
Представленный в этой работе метод, является одним из возможных методов синтеза наблюдателя статического момента. Данный метод базируется на интегральной квадратичной ошибки и теории линейных стационарных дискретных систем.
Данные электродвигателя постоянного тока использованного при моделировании:
PN = 18 [kW], UN = 440 [V], IN = 47 [A],
nN = 1800 [rpm], ωN = 188 [rad/s], ω0 = 200,3 [rad/s],
R = 1,8 [Ω], L = 99 [mH], T = L/R = 55 [ms],
φeN = 2,197 [Vs/rad], λN = 2 [Imax/IN], J = 0,69 [kgm2],
Kp = 75 [V/V], p = 50IN [A/s].