Введение в основы нечеткой логики
Петер Бауер, Стефан Новак, Роман Винклер
Перевод с английского: Коновал В.А.
Введение
Нечеткая логика – новая мощная технология
Нечеткая логика возникла как наиболее удобный способ построения систем управления метрополитенами и сложными технологическими процессами, а также нашла применение в бытовой электронике, диагностических и других экспертных системах. Несмотря на то, что математический аппарат нечеткой логики впервые был разработан в США, активное развитие данного метода началось в Японии, и новая волна вновь достигла США и Европы.
В Японии до сих пор продолжается бум нечеткой логики и экспоненциально увеличивается количество патентов, большая часть которых относится к простым приложениям нечеткого управления.
Термин fuzzy (англ. нечеткий, размытый – произносится ‘фаззи‘) стал ключевым словом на рынке. Статьи по электронике без нечетких компонент постепенно исчезали и пропали совсем, как будто кто-то закрыл кран. Это показывает насколько стала популярной нечеткая логика, появилась даже туалетная бумага с напечатанными на ней словами “Fuzzy Logic”.
В Японии исследования в области нечеткой логики получили широкую финансовую поддержку. В Европе и США усилия были направлены на то, чтобы сократить огромный отрыв от японцев. Так например, агенство космических исследований NASA стало использовать нечеткую логику в маневрах стыковки.
Нечеткая логика является многозначной логикой, что позволяет определить промежуточные значения для таких общепринятых оценок, как да|нет, истинно|ложно, черное|белое и т.п. Выражения подобные таким, как слегка тепло или довольно холодно возможно формулировать математически и обрабатывать на компьютерах. Нечеткая логика появилась в 1965 в работах Лотфи А. Задэ (Lotfi A. Zadeh), профессора технических наук Калифорнийского университета в Беркли.
Что такое нечеткое множество?
Самым главным понятием систем, основанных на нечеткой логике, является понятие нечеткого (под)множества.
Из классической математики известно понятие четких (определенных) множеств.
Пример:
Рассмотрим множество X всех чисел от 0 до 10, котрое назовем универсумом рассуждения. Определим подмножество A множества X всех действительных чисел от 5 до 8.
A = [5,8]
Покажем характеристическую функцию множества A, эта функция ставит в соответсвие число 1 или 0 каждому элементу в X, в зависимости от того принадлежит данный элемент подмножеству A или нет. Результат представлен на следующем рисунке:
Можно интерпретировать элементы, которым поставлена в соответствие 1, как элементы, находящиеся во множестве A, а элементы, которым поставлен в соответствие 0, как элементы, не находящиеся во множестве A.
Эта концепция используется во многих областях приложений. Но можно легко обнаружить ситуации, в которых данной концепции будет недоставать гибкости.
В данном примере опишем множество молодых людей. Более формально можно записать так
B = {множество молодых людей}
Так как, вообще, возраст начинается с 0, то нижний предел этого множества должен быть нолем. Верхний предел определить немного сложнее. На первый раз установим верхний предел, скажем, равным 20 годам. Таким образом, получаем B как четко ограниченный интервал, буквально:
B = [0,20]
Возникает вопрос: почему кто-то в свой двадцатилетний юбилей – молодой, а сразу на следующий день уже не молодой? Очевидно, это структурная проблема, и если передвинуть верхнюю границу в произвольную точку, то можно задаться точно таким же вопросом.
Более естественный путь получения множества B состоит в ослаблении строгого разделения на молодых и не молодых. Сделаем это, вынося не только (четкие) суждения Да, он|она принадлежит множеству молодых людей или Нет, он|она не принадлежит множеству молодых люей, но и более гибки формулировки ДА, он|она принадлежит к достаточно молодым людям или Нет, он|она не очень молод|молода.
На следующей странице рассмотрим как с помощью нечеткого множества определить такое выражение, как он|она еще молоды.
Как было сказано во введении мы используем нечеткие множества, чтобы сделать компьютер более умным. Представим эту мысль более формализованно. В первом примере мы кодировали все элементы универсума рассуждения с помощью 0 или 1. Простой способ обобщить данную концепцию – ввести значения между 0 и 1. Реально можно даже допустить бесконечное число значений между 0 и 1, называемое единичным интервалом I = [0, 1].
Интерпретация чисел при соотнесении всех элементов универсума рассуждений становится теперь более сложной. Конечно, снова число 1 ставится в соответствие (соотносится) тому элементу, который принедлежит множеству B, а 0 означает, что элемент точно не принадлежит множеству B. Все другие значения определяют степень принадлежности ко множеству B.
Для наглядности приведем характеристическую функцию множества молодых людей, как и в первом примере.
То есть 25-летние все еще молоды со степенью 50 процентов.
Теперь вы поняли что такое нечеткое множество. Но что с ним можно делать?
Операции с нечеткими множествами
Сейчас, когда мы уже знаем, что такое нечеткие множества, попытаемся определить базовые операции (действия) над нечеткими множествами. Аналогично действиям с обычными множествами нам потребуется определить пересечение, объединение и отрицание нечетких множеств. В своей самой первой работе по нечетким множествам Л. А. Задэ предложил оператор минимума для пересечения и оператор максимума для объединения двух нечетких множеств. Легко видеть, что эти операторы совпадают с обычными (четкими) объединением и пересечением, только рассматриваются степени принадлежности 0 и 1.
Чтобы пояснить это, приведем несколько примеров. Пусть A нечеткий интервал от 5 до 8 и B нечеткое число около 4, как показано на рисунке.
Следующий пример иллюстрирует нечеткое множество между 5 и 8 И (AND) около 4 (синяя линия).
Нечеткое множество между 5 и 8 ИЛИ (OR) около 4 показано на следующем рисунке (снова синяя линия).
Следующий рисунок иллюстрирует операцию отрицания. Синяя линия – это ОТРИЦАНИЕ нечеткого множества A.
Нечеткое управление
Контроллеры нечеткой логики – наиболее важное приложение теории нечетких множеств. Их функционирование немного отличается от работы обычных контроллеров для описания системы используются знания экспертов вместо дифференциальных уравнений. Эти знания могут быть выражены естесственным образом с помощью лингвистических переменных, которые описываются нечеткими множествами.
Пример: Перевернутый маятник
Проблема состоит в балансировке вертикальной мачты, подвижно закрепленной нижним концом на тележке, которая может двигаться только в двух направлениях – влево или вправо.
Во-первых, мы должны определить (субъективно) что такое высокая скорость, низкая скорость и т.п. для тележки. Это делается описанием функции принадлежности для нечетких множеств.
* отрицательная высокая, neg.high (голубой)
* отрицательная низкая, neg.low (зеленый)
* нулевая, zero (красный)
* положительная низкая, pos.low (синий)
* положительная высокая, pos.high (розовый)
Тоже самое делается для угла между тележкой и мачтой маятника и для угловой скорости изменения этого угла
Пожалуйста заметьте, что для упрощения предполагается, что начальное положение мачты около центра справа, так что угол более чем, скажем, 45 градусов в любом направлении по определению никогда не возникнет.
На следующей странице определим некоторые правила, которые желательно применить в данной ситуации.
Сейчас определим несколько правил, которые определяют что делать в данной ситуации.
Положим, например, что мачта находится справа (угол равен нулю) и не двигается (угловая скорость – ноль). Очевидно, что это желаемое положение, и ничего предпринимать не надо (скорость равна нулю).
Приложения нечеткой логики
Во-первых, необходимо определить в общих словах области применения нечеткого управления.
Использование нечеткого управления рекомендуется…
* для очень сложных процессов, когда не существует простой математической модели
* для нелинейных процессов высоких порядков
* если должна производиться обработка (лингвистически сформулированных) экспертных знаний
Использование нечеткого управления не рекомендуется, если…
* приемлемый результат может быть получен с помощью общей теории управления
* уже существует формализованная и адекватная математическая модель
* проблема не разрешима