УДК 681.124.077
Информационные аспекты автоматики (автоматов)
Лушпенко В. С. ст. гр. СП-04 Б
рук. Иванова Л. И.
Донецкий государственный технический университет
Любой
логической переменной
можно поставить в соответствие участок электрической цепи, который
будет проводить ток при
и не будет при
.
Тогда последовательному соединению элементов будет соответствовать
логическое умножение переменных, а параллельному – логическое
сложение. Чтобы управлять состоянием элемента
цепи, можно использовать переключатель – если он включен,
,
если он выключен –
.
Функцию
– отрицание – можно реализовать с помощью
размыкающего реле (если контакт
замкнут, то через электромагнит идёт ток. он притягивает и размыкает
контакт
,
если
разомкнут, то
замкнут). Аналогично можно реализовать функцию
– с помощью замыкающего реле. Понятно, что, используя
несколько электромагнитов, можно с помощью одного „управляющего”
контакта
контролировать состояние нескольких других контактов. Вместо реле
можно использовать любое другое аналогичное по действию устройство
(механические переключатели с фиксированным количеством положений,
радиолампы, полупроводниковые элементы и др.).
Поскольку любую логическую функцию можно задать формулой, составленной с помощью булевых операций, каждая такая функция может быть реализована с помощью электрической схемы, составленной из комбинаций последовательных и параллельных соединений контактов и реле. Такие схемы называются контактно-релейными. Множество таких схем можно превратить в булеву алгебру, если их произведение определить как результат их последовательного соединения, а сложение – как результат параллельного соединения. Операция отрицания осуществляется с помощью какого-либо инвертора (реле, транзистор и т. п.). при этом две схемы считаются одинаковыми, если они одновременно проводят или не проводят ток при одинаковом состоянии управляющих контактов. Построенная таким образом алгебра схем изоморфна алгебре логики, а это позволяет использовать для схем средства алгебры логики.
Впервые на подобную возможность указал известный физик Пауль Эренфест в 1910 г., но систематические исследования в этой области начались а конце 30-х гг. после работ американца К. Шеннона (который затем прославился как „отец теории информации”) и советского физика В. И. Шестакова.
Для
конструирования схемы, обеспечивающей включение и выключение лампы
любым из двух выключателей требуется, чтобы переключение любого
выключателя зажигало лампу, если она не горит и гасило в
противоположном случае независимо от положения второго выключателя.
Сопоставим выключателям переменные
и
,
а лампе переменную
.
Если оба выключателя выключены, т. е.
и
,
то лампа не горит (
).
Если мы включили один выключатель (
или
),
- лампа загорается. Если мы включаем второй выключатель, лампа
гаснет.
Таблица,
описывающая зависимость
.
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Функция, соответствующая такой таблице имеет вид
.
Электрическая схема для такой функции:
В
современной технике широко используются автоматы. С точки зрения
математики – это устройства для преобразования информации. В
данной работе рассматриваются конечные автоматы. Это значит, что на
вход подаётся и на выходе выводятся конечные порции
алфавитно-цифровой информации; информация на выходе зависит не только
от входной информации, но и от внутреннего состояния автомата;
автомат может иметь лишь конечное число внутренних состояний.
Поскольку любая информация, в т. ч. и алфавитно-цифровая может быть
представлена в двоичном виде (например, азбука Морзе), можно считать,
что на вход автомата подаётся набор нулей и единиц –
,
а на выходе выводится другой набор нулей и единиц –
.
Получив на вход сигналы
,
автомат через некоторое время („задержка”)
выдаёт сигналы
и меняет своё внутреннее состояние. Если же величины
зависят только от входных данных
,
то говорят, что автомат не имеет памяти. Автоматы без памяти также
называют комбинационными схемами.
В
том случае, когда автомат не имеет памяти, величины
являются логическими функциями от входных данных
.
Такой автомат можно реализовать с помощью m
контактно-релейных схем – каждая схема будет реализовывать
функцию одной выходной переменной. Информация на входе задаётся
включением или выключением i-го
контакта, который соответствует
.
Считается, что
принимает значение 1, если i-я
схема пропускает ток и 0, если нет. Поскольку с помощью
контактно-релейных схем можно реализовать любую логическую функцию, в
принципе, можно собрать любой автомат без памяти, если известно, как
он должен функционировать.
Однако автомат, синтезированный с помощью основных правил формирования логических функций получается весьма громоздким и сложным. Поэтому весьма логично для упрощения внутреннего устройства автомата упрощать полученную логическую функцию средствами алгебры логики.
Пример. Определить бит переноса при суммировании трёх битов.
Таблица.
|
|
|
|
Пояснение |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
Функция
имеет вид:
.
Электрическая схема, соответствующая этой функции:
Упростим её:
В
результате упрощений вместо 3 отрицаний, 8 умножений, 3 сложений
получили 2 сложения и 3 умножения.
Схема, соответствующая этой функции:
Современные ЭВМ являются типичными примерами автоматов с памятью. Важнейшие компоненты ЭВМ – каналы ввода – вывода, арифметическое устройство и запоминающее устройство. В первом приближении арифметическое устройство, предназначенное для арифметической и логической обработки данных, можно рассматривать как автомат без памяти, который получает информацию, как через каналы ввода-вывода, так и из запоминающего устройства.
В современных вычислительных машинах вместо контактно-релейных схем используются полупроводниковые элементы, но математический принцип синтеза остается прежним. А в первых вычислительных машинах (в 40-х годах) использовались именно контактно-релейные схемы. В серийных машинах первого поколения (50-е годы) использовались радиолампы, в машинах второго поколения применялись полупроводниковые элементы – транзисторы, резисторы и т. п.; в современных ЭВМ применяются так называемые «интегральные схемы». Однако булева алгебра неизменно остается важным орудием синтеза и анализа автоматов.
Отметим, что булевы операции и идеи алгебры логики широко используются и в современных языках программирования (Алгол, Фортран и др.), помогающих управлять работой ЭВМ.