где a - масштаб, b- смещение
Источник: Інформатика та комп'ютерні технології - 2008 / Матеріали IV науково-технічної конференції студентів, аспірантів та молодих учених. - Донецьк, ДонНТУ - 2008, с. 324-326.
В отличие от традиционно применяемого при обработке сигналов преобразования Фурье, анализирующая функция которого покрывает всю временную ось, вейвлет-преобразование дает результаты, обладающие большей информативностью. Применив Фурье-преобразование, мы получаем представление о характеристиках сигнала в частотной области, но не о временной локализации его компонент. Эта проблема частично решаема за счет применения искусственных методов, например, окон данных. Но при обработке нестационарных сигналов применение оконного Фурье-преобразования довольно проблематично, поэтому целесообразней использовать вейвлет-преобразование, которое находит частотно-временные характеристики сигнала.
Основная идея вейвлет-преобразования отвечает специфике многих временных рядов, демонстрирующих эволюцию во времени своих основных характеристик -среднего значения, дисперсии, периодов, фаз и амплитуд гармонических компонентов.
Вейвлет-анализ применяется при:
Для решения этих задач могут применяться дискретное и непрерывное вейвлет-преобразование в зависимости от критериев получения приемлемого решения. Получить набор вейвлет-коэффициентов в случае дискретного преобразования быстрее, и он дает достаточно точное представление о сигнале при меньшем объеме получаемых в результате данных. Непрерывное преобразование требует больших вычислительных затрат, но, вместе с этим, позволяет детальнее рассмотреть структуру сигнала. Выбор того или иного метода зависит от поставленной задачи и типа имеющихся данных, которые необходимо обработать, от возможностей вычислительной техники и от того, в каком виде необходимо представить результат. В свою очередь вейвлет-преобразование может быть двух видов - прямое и обратное, которые соответственно переводят сигнал в вейвлет-коэффициенты и обратно.
В настоящее время известно большое число базисных вейвлетов. Как было упомянуто выше, члены любого семейства вейвлетов должны удовлетворять условию конечности нормировочного множителя; одним из таких семейств являются вейвлеты с нулевыми моментами (VMWF, Vanishing Momenta Wavelet Family), иногда их называют гауссовыми вейвлетами, так как функции этого семейства являются производными гауссовой экспоненты.
Формула вейвлет-преобразования выглядит следующим образом:
Основные свойства, которыми должны обладать вейвлеты - частотно-временная локализация и наличие нулевых моментов. Эти свойства особо полезны при рассмотрении временных рядов с полиномиальным трендом. Игнорируя тренд, они позволяют сразу исследовать высокочастотные компоненты ряда.
На рисунке 1 представлен сигнал и его вейвлет-спектр. Темные области -области минимума, светлые - максимума.
Простейшая схема дискретного вейвлет-преобразования состоит в следующем: исходный сигнал делится на две равные субполосы. В результате рекурсивного повторения этого процесса для обеих субполос получается древовидное разбиение спектра, из которого возможно полное восстановление сигнала. Если после разбиения сигнала было произведено квантование, то возможность полного восстановления зависит от расчета фильтров анализа и синтеза (например, биортогональная система фильтров), а также от корректного продолжения сигнала конечной длины после границы.
Вейвлет-преобразование сигнально-независимо. Октаво-полосное разбиение спектра, производимое им, подходит для многих, но не для всех реальных сигналов. Поэтому требуется преобразование, адаптирующееся к сигналу, но имеющее быстрый алгоритм вычисления. Было разработано несколько методов решения этой проблемы, основанных на пакетах вейвлетов (алгоритмы одиночного, двойного, частотно-временного деревьев и дерева гибкой временной сегментации). В этой области можно отметить работы Р. Койфмана и М. Викерхаузера.
В последнее время развиваются вейвлеты второго поколения, основанные на конструировании во временной области, то есть вне зависимости от преобразования Фурье. К ним относится лифтинг-схема. В этом случае вейвлет-преобразование включает в себя несколько этапов, на каждом из которых выполняются три шага (разбиение, предсказание и обновление), в результате которых сигнал sj длиной 
точек разбивается на два набора точек 
и 
длиной 
.
Неоспоримое преимущество подхода, используемого лифтинг-схемой, состоит в том, что, во-первых, процесс преобразования происходит очень быстро, во-вторых, набор вейвлет-коэффициентов занимает объем, совпадающий с размером исходных данных, и, в-третьих, обратное преобразование восстанавливает сигнал абсолютно точно, что практически недостижимо при использовании гауссовых вейвлетов.
Однако лифтинг-схема имеет ряд ограничений, наиболее существенные из которых связаны с выбором масштабов преобразования. Масштаб, на котором проводится анализ сигнала, может быть выбран только из фиксированного ряда значений.
Область использования вейвлет не ограничивается анализом свойств сигналов и полей различной природы, полученных численно или экспериментально. Они также применяются для прямого численного моделирования - как иерархический базис, хорошо адаптированный для описания динамики сложных нелинейных процессов.