УДК 53.01 : 004.94
Доклад на региональную студенческую конференцию "Физика и научно-технический прогресс" (ФиНаТ-2005)
Шевченко Л.В., старший преподаватель кафедры физики
Садыкбаев А.В.
Донецкий национальный технический университет
Моделирование физических процессов
Цель данной работы – практически проверить теоретические знания о математическом маятнике. Для этого воспользуемся построением компьютерной модели математического маятника. Фактически, мы проводим пассивный вычислительный эксперимент.
Представленная модель математического маятника создана в программном комплексе MatLab/Simulink. Модель описывает самый простой вариант математического маятника, в котором тело подвешено на нерастяжимой нити и колебания в системе незатухающие.
Прежде чем описывать математическими формулами модель маятника, нужно представить как выглядит исследуемое тело. На рисунке 1 показан исследуемый маятник .
Рис. 1
В данный
момент тело, подвешенное на нерастяжимой нити длинной , отклонено на некоторый
угол
от
положения вертикали. Легко найти составляющие угла отклонения :
В
дальнейшем, при построении модели математического маятника будем использовать
вместо греческого обозначения угла сочетание
. Это связано с тем, что
при проектировании модели в системе моделирования нельзя пользоваться
греческими буквами.
Для удобства, возьмём нить длиной 1 метр. Тогда:
Перед тем как приступить непосредственно к моделированию, нам нужно описать поведение математического маятника. В этом заключается основное отличие пассивного вычислительного эксперимента от активного. В данной работе мы работаем с моделью, все необходимые свойства которой уже известны заранее [4].
Опишем движение маятника. Как известно, уравнение движения математического маятника имеет вид:
,
где – угол
отклонения маятника от положения равновесия
. Но в такой форме, уравнение не
устраивает нас. Найдём из уравнения угол
:
В данном уравнении мы видим зависимость изменения угла отклонения маятника с течением времени. Теперь, после того, как у нас есть уравнения, описывающие движения маятника, можно приступить к созданию программной модели. В системе моделирования Simulink, все модели строятся из блоков, которые соединяются между собой соединительными линиями [1, 2]. Готовая модель показана на рисунке 2.
Рис. 2
Каждый блок модели подписан:
– интегратор;
– константа «1»;
– изменение знака
поступающего выражения на противоположный;
– блок тригонометрических
функций (
,
,
и т.д.);
– блок визуализации.
На схеме видно, что процесс вычисления нового значения угла отклонения итеративен. Сама схема условно разделена на 2 части (см. рис. 3): часть вычисления значения угла и часть вывода результатов моделирования в качестве графика.
Рис. 3
При
получении нового значения угла , результаты поступают на блок
визуализации
,
который по полученным значениям строит графики зависимости изменения угла от
времени.
После
сборки схемы модели, нужно запустить процесс моделирования нажатием на кнопку :
После
завершения процесса симуляции, результаты работы можно увидеть в блоке
визуализации (см.
рис. 4) [3].
Рис. 4
Как видно
из рисунка 4, графиком колебаний математического маятника в таком случае
является прямая линия. Иными словами положение маятника на протяжении всего времени
не изменяется. В чём же дело? Если взглянуть на схему модели, то видно, что на
интеграторы подаются начальные условия (угловая скорость) и
. Значит, нужно
сдвинуть маятник с места. Сделать это можно или задав начальную угловую
скорость отличную от нуля, или начальный угол отклонения отличный от нуля.
Выбирая между двумя способами изменения положения маятника, будем
руководствоваться принципами наглядности. И действительно, процесс отклонения и
отпускания нити с привязанным на конце грузом более нагляден, чем процесс
придания скорости телу.
Изменим начальный угол отклонения маятника, как показано на рисунке 5.
Рис. 5
В системе Simulink углы задаются в радианах. Изменения показаны на рисунке 6.
Рис. 6
Результатом симулирования будет графики, изображённые на рисунке 7.
Рис. 7
На трёх
графиках показано изменение угла отклонения , горизонтальную составляющую
движения
и
вертикальную составляющую движения
. Для отображения результатов
выбран авто масштаб.
Однако использование специализированных сред моделирования не является единственно возможным путём моделирования поведения маятника. Для осуществления задачи, можно было воспользоваться любым языком программирования и тогда бы результаты выводились в той форме, в которой пожелал бы программист. Но такой подход сильно усложняет задачу и не позволяет сосредоточиться только на процессе моделирования.
На рисунке 8-9 изображена демонстрационная программа моделирования математического маятника в среде Macromedia Flash 6.0.
Рис. 8
Данная модель демонстрирует процесс гармонических колебаний математического маятника. Выводятся графики зависимости угла отклонения от вертикали и скорости движения от времени. В виде изменяющихся диаграмм показаны значения кинетической и потенциальной энергий. В каждый момент времени показаны значения угла отклонения и скорости. Для расчетов взяты следующие значения: длина нити-1 метр, угол первоначального отклонения - 20 градусов.
Рис. 9
Литература:
© Садыкбаев А.В., Шевченко Л.В., 2005