Источник: http://financepro.ru/management/6496-lukashin-ju.p.-adaptivnye-metody-kratkosrochnogo.html
Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования
1. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
Временной ряд - это множество наблюдений, получаемых последовательно во времени. Если время изменяется дискретно, временной ряд называется дискретным. Мы будем рассматривать только дискретные временные ряды, в которых наблюдения делаются через фиксированный интервал времени, принимаемый за единицу счета. Переход от момента одного наблюдения к моменту следующего наблюдения будем называть шагом.
Если значения членов временного ряда точно определены какой-либо математической функцией, то временной ряд называется детерминированным. Если эти значения могут быть описаны только с помощью распределения вероятностей, временной ряд называется случайным.
Явление, развивающееся во времени согласно законам теории вероятностей, называется стохастическим процессом. В дальнейшем будем называть его просто процессом. Анализируемый отрезок временного ряда может рассматриваться как одна частная реализация (выборка) изучаемого стохастического процесса, генерируемого скрытым вероятностным механизмом.
Среди стохастических процессов выделяют класс процессов, называемых стационарными. Обозначим член временного ряда, наблюденный в момент t через хt . Стохастический процесс называется стационарным, если его свойства не изменяются во времени. В частности, он имеет постоянное математическое ожидание 
(т. е. среднее значение, относительно которого он варьирует), постоянную дисперсию 
, определяющую размах его колебаний относительно среднего значения, а также постоянную автоковариацию н коэффициенты автокорреляции. Ковариация между значениями хt+k отделенными интервалом в к единиц времени, называется автоковаркацней с лагом (задержкой) к и определяется как
Он обладает тем свойством, что -1 ≤ ρk ≤1
Для описания временных рядов используются математические модели. Представим, что временной ряд хt, генерируемый некоторой моделью, можно представить в виде двух компонент
где величина εt, генерируется случайным неавтокоррелированным процессом с нулевым математическим ожиданием и коночной (не обязательно постоянной) дисперсией, а величина может быть генерирована либо детерминированной функцией, либо случайным процессом, либо какой-нибудь их комбинацией. Величины εt и ξt различаются характером воздействия на значения последующих членов ряда. Переменная ?t, влияет только на значение синхронного ей члена ряда, в то время как величина ξt в известной степени определяет значение нескольких или всех последующих членов ряда. Через величину ξt осуществляется взаимодействие членов ряда; таким образом, в ней содержится информация, необходимая для получения прогнозов.
Назовем величину Е, уровнем ряда в момент а закон эволюции уровня во времени трендох(. Таким образом, тренд может быть выражен как детерминированной, так и случайной функциями, либо их комбинацией. Стохастические тренды имеют, например, ряды со случайным уровнем или случайным скачкообразным характером роста.
Приведем пример детерминированного тренда:
где а1, а2, а3 - постоянные коэффициенты; t - время.
Пример тренда смешанного типа:
Известно множество определений уровня и тренда ряда (см. 134, с. 161), отличных от принятых нами. Существующие понятия тренда противоречивы и имеют условный характер. Каждое из этих определений скорее указывает на частный способ оценки тренда, в не на его сущность. Очень часто под трендом понимают детерминированную составляющую процесса, что значительно обедняет содержание термина и препятствует его применению для анализа временных рядов в общем случае.
Компоненты временного ряда εt и ξt, ненаблюдаемы. Они являются теоретическими величинами. Их выделение и составляет предмет анализа временного ряда в задаче прогнозирования. Оценку будущих членов ряда обычно делают по прогнозной модели. Прогнозная модель - это модель, аппроксимирующая тренд. Прогнозы - это оценки будущих уровней ряда, а последовательность прогнозов для различных периодов упреждения τ - 1, 2….k составляет оценку тренда.
При построении прогнозной модели выдвигается гипотеза о динамике величины ξt т. е. о характере тренда. Однако в связи с тем, что уверенность в гипотезе всегда относительна, рассматриваемые нами модели наделяются адаптивными свойствами, способностью к корректировке исходной гипотезы или даже к замене ее другой, более адекватно (с точки зрения точности прогнозов) отражающей поведение реального ряда. Простейшая адаптивная модель основывается на вычислении так называемой экспоненциальной средней, к изучению которой мы переходим.