В данной статье, которая предназначена для конструкторов приборов, рассмотрена одна из проблем, связанная с обработкой слабых сигналов под шумом. При низких отношениях сигнал/шум, когда SNR достигает некоторого порогового значения, происходит дисперсия сигнала. В результате сигнал распадается на несколько сигналов и получить исходный становиться невозможным. Эта проблема актуальна не только в радиотехнике но также во многих других областях физики, в частности в космологии. Впервые с этой проблемой вплотную столкнулись при разработке ЯКР-спектрометров для обнаружения взрывчатых веществ на больших расстояниях. Максимальное удаления прибора, при котором еще фиксировали сигнал составило всего 35 см. До сих пор этот придел никому не удалось преодолеть. До настоящего времени данная проблема не была достаточно полно освещена в печати, хотя ее существование значительно ограничивает обработку слабых сигналов под шумом. Одно из первых упоминаний об этой проблеме можно найти в книге И. Пригожина «От существующего к возникающему», где он описывает влияние внешних шумов на сигналы, а также указывает на существование критического значения дисперсии сигнала, при которых происходит срыв решения. В рамках этой статьи будет рассмотрен ряд примеров, в которых наблюдается вышеупомянутое явление, а также будет проведено его теоретическое обоснование.

   2.Принцип неопределенности в классической физике.

Для анализа сигналов под шумом при наличии дисперсии сигнала применим современные методы в теории необратимых процессов. В случае К-потоков (в честь Колмогорова) оператору Лиувилля можно сопоставить такой эрмитов оператор Т, что их коммутатор равен константе: [L,T]=(LT-TL)=1 (1) где L=id/dt, T=t. Введем оператор Т соответствующий возрасту или внутреннему времени, который удовлетворяет соотношению U-1TU=T+1,где U=exp(-iLt). Оператор Т допускает спектральное разложение и принимает собственные значения. Поскольку оператор Лиувилля соответствует производной по времени L=id/dt, то сопряженный оператор соответствует времени T=t. Для двух некоммутирующих операторов имеет место соотношение неопределенности LT=1/2[LT] (2) Из соотношения (2) получаем для сплошного спектра оператора L: ft=1/2, (3) т.е.распределение частот и времени не могут одновременно описываться дельта-функциями, а соотношение (3) есть впервые полученное соотношение непределенности в классической физике. Когда SNR падает и достигает некоторого предельного значения, то линейчатый спектр сигнала под шумом переходит в сплошной. При этом из соотношения (3) следует невозможность детектирования сигналов на этих частотах.

   3.Поведение сигнала ЯКР под шумом.

Величина фазовой ошибки определяется отношением SNR, и если это отношение ниже определенной величины (SNR 0.5), наблюдается быстрое ухудшение работы синхронного или квадратурного детектора и последующего накопителя, а начинающиеся срывы синхронизма являются причиной возникновения импульсного шума. Если фаза опорного напряжения стабильна и задается напряжением синтезатора, то фаза сигнала с шумом с уменьшением SNR имеет ошибку, что резко ухудшает процесс накопления. Сложности с выделением сигналов на больших расстояниях возникают из-за дисперсии сигнала под шумом при низких отношениях сигнал-шум, при этом происходит уширение линии спектра и сдвиг расстройки в область низких частот.

   3.1Анализ сигнала ЯКР под шумом с помощью уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова.

Теоретическое обоснование наличия дисперсии следует из решения уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Для вероятности фазовой ошибки можно получить следующее уравнение. При наличии расстройки решение несколько усложняется. При малом отношении SNR зависимость фазовой ошибки от SNR была нелинейной, а дисперсия фазовой ошибки [2-25]. Таким образом из-за дисперсии сигнал настолько искажается, что даже большое количество накоплений не даст его реального вида. Результаты показывают, что линии ЯКР уширяются равномерно. Нарушения симметрии не наблюдается. Данные теоретические выкладки подтверждаются лишь частично опытными результатами[26-32].

   3.2Точки бифуркации.

Почти все системы в физике можно описать математически с помощью дифференциальных уравнений. В эти уравнения часто входят специальные параметры, которые характеризуют саму систему, например, индуктивность, емкость и так далее. При проектировании физической системы(например какого-то прибора) основной задачей является нахождение возможных значений этих параметров, при которых будут обеспечены требуемые динамические характеристики системы, а также необходимо решить задачу устойчивости физической системы. Решениями дифференциальных уравнений которые описывают физическую систему являются фазовые портреты. В зависимости от значений параметров системы характер решения может резко изменяться, что приводит к появлению новых решений, часть из которых оказываются неустойчивыми. Такие значения параметров называются бифуркационными и просто точками бифуркации. Таким образом, под бифуркацией будем понимать качественное изменение фазового портрета. Слово биффуркация произошло от латинского bifurcus, что означает <<раздвоенный>>. Основы теории бифуркации были заложены А. Пуанкаре и А.М. Ляпуновым в начале ХХ века, затем эта теория была развита А.А. Андроновым и его учениками. Проведем классификацию точек бифуркации.
1.Простейшими бифуркациями на фазовой плоскости могут служить переходы через так называемые негрубые системы первой степени негрубости, когда появляется только одна траектория из запрещенных. К ним относятся: а) состояние равновесия седло-узел; б) сложный фокус; в) сепаратриса, идущая из седла в седло или из седла в то же самое седло – сепаратрисная петля; г) двойной предельный цикл. Среди других типов бифуркаций особый интерес вызывают так называемые локальные. Это бифуркации, при которых происходит перестройка отдельных движений динамической системы. Простейшими и наиболее важными из них являются бифуркации состояний равновесия и периодических движений.
2.Бифуркации состояния равновесия. Основные бифуркации состояния равновесия являются следующие: 1) слияние последующее исчезновения двух состояний равновесия. 2) рождение предельного цикла из состояния равновесия. 3) рождение из одного равновесного состояния трех состояний равновесия (спонтанное нарушение симметрии).
3.Бифуркации рождения периодического движения. Если говорить об исчезновении периодических движений, то данный тип бифуркаций можно разбить на три группы. К первой группе относятся такие бифуркации, при которых период движения Т (или частота) в точке бифуркации, а амплитуда колебания около среднего значения к нулю не стремится. Ко второй группе относится бифуркация исчезновения устойчивого периодического движения в момент его слияния с неустойчивым периодическим движением – так называемая касательная бифуркация. Бифуркации 3-й группы встречаются, как правило, в системах зависящих от двух и более параметров. Применим теорию бифуркаций к сигналам ЯКР и найдём точку бифуркации для нашей системы, используя Метод матричного набора. Сигнал ЯКР представим в виде зависимости амплитуды от частоты. В качестве параметра в нашей системе выступает отношение сигнал/шум(SNR). На рисунках видно, что при отношении сигнал шум порядка 0.05 линия ЯКР начинает уширяться. Появляются биения на низкочастотном крыле линии ЯКР, которые показывают, что система при больших флуктуациях не сразу находит нужное решение, пока не победит какая то флуктуация. Таким образом и возникает необратимость. Особенно это хорошо видно на Рис.6, когда при малейшем понижении отношения сигнал-шум решение срывается. Оно просто отсутствует. Все линии явно асимметричны, что и говорит о нарушении симметрии. Процессы в системах при нарушении симметрии впервые изучил П.Хиггс[33]. Однако он рассматривал квантовые явления. В условиях больших флуктуаций можно рассмотреть чисто классический случай, когда мы ничего не говорим о квантовой теории. Мы будем рассматривать классические поля. В качестве исходного сигнала взят сигнал от мины, на который накладывается шум и делается попытка выделить сигнал из-под шума. Из графиков видно, что при SNR<0.05 вознивают дополнительные максимумы. Происходит нарушение симметрии при больших флуктуациях, решение система не может однозначно выбрать. Если ввести в Лагранжиан два скалярных поля квадрупольного взаимодействия и векторное поле сигнала ЯКР с шумами, то при нарушении симметрии могут возникать массовые фотоны, которые и поднимают крыло линии ЯКР на низких частотах. Это аналог явления Хиггса. При изменении качества оцифровки первичного сигнала наблюдался сдвиг точки бифуркации. Поэтому использование таких АЦП как National Instruments 5112 со 100000 точек отсчета позволяет разработать новые методы программного детектирования сигнала. Хорошо видны переходные явления в виде виглей, что обусловлено неустойчивостью системы после точки бифуркации, а также спектром масс массовых мягких фотонов.

   3.3 Уравнение Ланжевена. Главным образом, процесс образования бифуркации обусловлен влиянием флуктуаций, как внутренних так и внешних. Под внутренними мы подразумеваем флуктуации порождаемые самой системой. Как правило, эти флуктуации малы. Поэтому особый интерес представляют внешние шумы, от которых и зависят параметры системы. Следовательно они также являются случайными. Одним из первых, кто попытался математически описать влияние внешних шумов был Ланжевен, который занимался анализом броуновскрго движения. Согласно Ланжевену, движение частицы определяется не только скоростью, но также и шумом. Если за X обозначить флуктуирующую величину, а F(x,t) как внешний шум, то можно получить следующее уравнение: dx/dt=V(x)+F(x,t) где V(x) имеет смысл скорости изменения величины x. Данное уравнение называется обобщенным уравнением Ланжевена. Рассмотрим несколько примеров использования уравнения Ланжевена. Пусть дана некоторая макроскопическая система, на которую действует гауссовский белый шум. Тогда уравнение Ланжевена примет вид: dx/dt=-x3+gx2-x, где g - гауссовский белый шум. При g=2 возникает и устойчивое стационарное решение x=0,и неустойчивое решение x=1. В отличие от рассмотренного ранее уравнения Фоккера-Планка, которое только качественно описывает расплывание сигнала под шумом, уравнение Ланжевена позволяет найти, то предельное значение SNR, при котором происходит срыв решения. Применим уравнение Ланжевена к сигналу ЯКР под шумом .Оно дает следующий результат: x=g/2+-(g2/4-1)1/2, где х-фаза сигнала, g-марковский шум. В точке g=2 возникает неустойчивое решение х=1.Такое значение g, при котором происходит раздвоение решения, и называется точкой бифуркации. Линии в спектре FFT расщепляются, уширяются, появляется новые – вероятность достоверного обнаружения (success rate) сильно падает, в случае с ITMPM этого не происходит – вероятность достоверного обнаружения – 97%. Два скалярных поля квадрупольного взаимодействия и и векторное поле сигнала ЯКР с шумами Аm подставим в Лагранжиан. Из уравнения следует векторная волна, кванты которой имеют массу. Эти кванты уже не есть ЯКР. Они способствуют поднятию низкочастотного крыла линии и срыву решения. Поскольку в минах нет токов, нет зарядов, то там существуют свободные электромагнитные волны. Все это и создает сложную картину после точки бифуркации. Методы LPSVD и ITMPM дают примерно одинаковые результаты в локальном ЯКР, обеспечивая значительное повышение информативности и вероятности достоверного обнаружения (success rafe) до 97-99% для расстояний до 35 см, что значительно выше, чем в других методах (электронный нос, быстрый нейтронный анализ – 70%). Наличие ошибок в фазе при изменении расстояний в локальном ЯКР из-за падения SNR делает нецелесообразным применение фазовых импульсных последовательностей и композитных импульсов, которые под шумом искажает форму спектральной линии. ошибка не компенсируется, а в обоих каналах наблюдается искаженный сигнал. Работа с расстройкой в программе SQRC [5] становится затруднительной, т.к. расстройку нельзя сделать оптимальной. В локальном ЯКР SNR падает как 1/r где r - расстояние от образца до поверхностной катушки, т.е. на расстоянии 25 см SNR падает в 25 раз и составляет 0.2, так что для применения методов LPSVD и ITMPM (SNR=0.5) требуется предварительное накопление сигнала (10 накоплений), но на 12 см в использовании накопителя нет необходимости, что существенно упрощает аппаратуру. Такой эксперимент был выполнен.Использовался детектор А, входивший в детектор В для ДЯКР. Поскольку дисперсия – это второй момент линии, то на 20 см линия ЯКР в RDX уширяется в 4,2 раза, а на 30 см в 5,5 раз и становится 1,6 кГц, т.е. нужно сокращать длительность возбуждающего импульса в 5 раз, увеличивая его мощность в 5 раз, что и делалось в наших экспериментах [1-14]. Легко показать, что на расстояниях боле 10 см эту ошибку уже нельзя не учитывать и требуется подстройка фазы опорного напряжения. Использование параметрических методов спектрального оценивания и подстройки фазы с увеличением расстояния до вещества позволило повысить вероятность достоверного обнаружения до 99,6%, что. Аналогичные эффекты можно наблюдать при вращении CCL3 груп в ЯКР, где под шумом нельзя применять Фурье преобразование, а работа с расстройкой приводит к росту дисперсии.

   4 .Заключение.

Рассмотренная проблема является одной из важнейших проблем в физике ,поскольку накладывает сильные ограничения на обработку слабых сигналов под шумом. На сегодняшний день нет четких алгоритмов решения этой проблемы ,хотя она заслуживает пристального внимания. Данная проблема носит фундаментальный характер и является одним из ограничений законов природы за пределы которого пока не удается заглянуть[24-31].     

Литература:


1. 1.V.S.Grechishkin, Appl.Phys. A 55, 505-507, 1992.
2. V.S.Grechishkin, Appl.Phys. A 58, 63-66, 1994.
3. В.С.Гречишкин, Н.Я.Синявский и др., Известия вузов, Физика, №7,58-61, 1992.
4. V.P.Anferov et al, Rev.Sci.Instr. 71(4), 1656-1659, 2000.
5. В.С.Гречишкин, Известия вузов, Физика, №12, 107-109, 1994.
6. T.N.Rudakov et al, Meas.Sci.Techn. 8, 444-448, 1997.
7. M.D.Rowe, J.A.S.Smith, Eurel International Conference, The detection of abandoned land mines, 7-9 October, p.62-66, 1996.
8. Э.О.Азизов, В.С.Гречишкин, Ю.М.Луганский и Г.И.Луганская, Двухчастотный импульсный спектрометр ЯКР 14-N, Известия АН СССР, Серия физическая, т.42, №10, 1978.
9. Yung-Ya Lin, P.Hodgkinson, M.Ernst, and A.Pines, A Novel Detection-Estimation Scheme for Noisy NMR Signals: Application to Delayed Acquisition Data, J.Magn.Res. 128, 30-41, 1997.
10. S. Marple, Digital Spectral Analysis with Applications, Prentice-Hall, 1987.
11. Hua Y., and Sarkar T.K., Matrix Pencil Method for Estimating Parameters of Exponentially Damped/Undamped Sinusoids in Noise, IEEE Trans.Acoustics, Speech and Signal Processing, vol.38, num.5, pp.814-824, May 1990.
12. В.С.Гречишкин,Вестник КГУ,3,86-95,2003.
13. В.С.Гречишкин,Л.В.Анферова,Специальная техника,3,42-49,2004.
14. В.С.Гречишкин,А.А.Шпилевой,В.И.Бурмистров,Специальная техника,5,29-35,2004.
15. И Пригожин,От существующего к возникающему,Москва,Наука,1985.
16. А.А.Соколов,Ю.М.Лоскутов,И.М.Тернов,Квантовая механика,Москва,1962.
17. Э.Ферми,Квантовая механика,Москва,Мир,1965.
18. В.С.Гречишкин,Спец.Техника,1,25-30,2005.
19. Г.Липкин,Квантовая механика,Москва,Мир,1977,592 стр.
20.В.С.Гречишкин,Р.В.Гречишкина,Т.А.Карпинская,Теория волн,КГУ,86 стр.2001,
21. В. С. Гречишкин,Р.В.Гречишкина,Т.А.Карпинская,Основы теория цепей,161 стр.2005.
22.В.С.Гречишкин,Специальная техника,N1,29-35,2005..
23.В.С.Гречишкин, В,Л.Анферова,Известия вузов,Физика,N2,40-46,2005.
24.V.S.Grechishkin,Detection of BulkExplosives,v.138,137-147,2004,Netherland.
25.В.С.Гречишкин,Л.В.Шерстнева,ВИНИТИ,N1210-B20-04/
26.В.С.Гречишкин,Л.В.Шерстнева,ВИНИТИ,1211-В2004.
27.В.С.Гречишкин, Известия вузов, Физика, №12,107-109,1994.
28.В.С.Кирчанов, В.С.Гречишкин, Б.В.Дресвянкин, Журнал физической химии, №53, 63-66,1979.
29.Дж.Прокис, Цифровая связь, М.Радио и связь,2000.
30.В.С.Гречишкин,Ядерные квадрупольные взаимодействия в твердых телах,М.Наука,1973,264 стр.
31.В.С.Гречишкин,О.П.Сельчихин,Проблемы математических и физических наук,78-79,2001,Калининград.
32.V.S.Grechishkin,Detection of Explosives and Landmines,v.66,217-225,2002,Netherland.
33.P.W.Higgs,Phys.Rev.Letters,v.13,N16,508-509,1964.