В статистической модели оперируют показателями, исчисленными для качественно однородных массовых явлений (совокупностей). Выражение модели в виде функциональных уравнений используют для расчета средних значений моделируемого показателя по набору заданных величин и для выявления степени влияния на него отдельных факторов.
        В зависимости от познавательной цели статистические модели подразделяются на структурные, динамические и модели связи. Нас интересуют именно модели связи, и среди них чаще всего использовался корреляционный и регрессионный анализ [4,5,6].

Корреляционный анализ

        Корреляционной связью является такая статистическая связь, при которой различным значениям одной переменной соответствуют разные средние значения другой. Основной особенностью корреляционного анализа следует признать то, что он устанавливает лишь факт наличия связи и степень ее тесноты, не вскрывая ее причин.
        Задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей (причинный характер которых, должен быть выяснен с помощью теоретического анализа) и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.
        Чаще используется линейный коэффициент корреляции. Значение r = -1 свидетельствует о наличии жестко детерминированной обратно пропорциональной связи между факторами, r = +1 соответствует жестко детерминированной связи с прямо пропорциональной зависимостью факторов.
        Подытоживая, следует отметить, что корреляционный анализ требует для его применения теоретического анализа данных для выявления причинного характера связей. Также необходима предварительная подготовка данных для анализа: группировки, исключение аномальных наблюдений, проверка нормальности одномерного распределения, устранение мультиколлинеарности и уточнение набора показателей путем расчета парных коэффициентов корреляции.

Регрессионный анализ

        Задачи регрессионного анализа – выбор типа модели (формы связи), установление степени влияния независимых переменных на зависимую и определение расчетных значений зависимой переменной (функции регрессии).
        При решении задачи аппроксимации с помощью регрессионного анализа наиболее простым вариантом является линейный однофакторный регрессионный анализ, когда предполагается линейная зависимость между фактором (входом) и параметром (выходом):

                                                         (1)

        Применяемый метод нахождения значений коэффициентов – МНК (метод наименьших квадратов), т.е. находит такие коэффициенты, которые минимизируют квадратичную ошибку; или метод максимального правдоподобия, который используется для получения оценок параметров генеральной совокупности по данным выборки.
        Но на практике часто приходится определять вид зависимости не от одного фактора, а от нескольких. Преднамеренное сведение математической модели к линейному виду производится для уменьшения объема расчетов и упрощения вида функции зависимости, допуская при этом погрешность на линеаризацию.
        Регрессионный анализ показывает, во-первых, качество модели, то есть степень того, насколько данная совокупность иксов объясняет Y. Показатель качества называется коэффициентом детерминации R2 и показывает, какой процент информации Y можно объяснить поведением иксов. Во-вторых, регрессионный анализ вычисляет значения коэффициентов В, то есть определяет, с какой силой каждый из Х влияет на Y. Множественный регрессионный анализ (многофакторный) строит уравнение регрессии в форме линейного полинома с центрированным значением переменных (факторов и параметра):

                              (2)

где - ошибка аппроксимации, называемый остаточный член, фиксирующий ту часть информации Y, которая не объясняется факторами Х.
        Недостатком классического регрессионного анализа является сведение формы математической зависимости к линейной, что приводит к достаточно большой погрешности, т.е. к потере точности.
        После получения математической модели необходимо провести статистический анализ, заключающийся в определении адекватности математической модели и оценке значимости коэффициентов уравнения регрессии.
        В идеальной регрессионной модели независимые переменные не коррелируют друг с другом. Однако сильная коррелированность переменных является довольно частым явлением. Это приводит к увеличению ошибок уравнения, уменьшению точность оценивания, снижается эффективность использования регрессионной модели [7]. Поэтому выбор независимых переменных, включаемых в регрессионную модель, должен быть очень тщательным.
        Поиск наилучшей регрессионной модели представляет собой довольно громоздкий процесс.
        Еще одним из недостатков классического регрессионного анализа, в основе которого лежит МНК, является недостаточная устойчивость к изменениям входной информации.
        Следует отметить существование так называемого «парадокса регрессии», который заключается в том, что уравнение регрессии Y от X значительно отличается от зависимости: X от Y.

Детерминированные модели

        Детерминированные модели [8] строятся на основе математически выраженных закономерностей, описывающих физическо-химические процессы в объекте моделирования. Они позволяют однозначно находить значения переменных (которые характеризуют представляющие интерес свойства объекта) для любой заданной совокупности значений входных переменных и конструктивных параметров объектов моделирования.
        Для большинства процессов химической технологии характерно наличие взаимодействия потоков веществ, в которых происходят также химические превращения. Поэтому в основу математического описания, как правило, кладутся уравнения балансов масс и энергии в потоках, записанные с учетом их гидродинамической структуры.
        При использовании таких моделей особое внимание должно уделяться разработке эффективных алгоритмов решения системы уравнений математического описания.
        Часто детерминированные модели чрезвычайно сложны и имеют очень сложные граничные условия. Это приводит к необходимости использовать в математическом описании, например, конкретных потоков упрощенные описания гидродинамики на основе идеализированных моделей.
        При наличии в процессе нескольких потоков веществ, а также потоков, состоящих из нескольких фаз (например, газ - жидкость, жидкость - твердое и т.п.), для каждого потока и для каждой фазы обычно записываются свои уравнения гидродинамики.
        При построении детерминированной модели важное значение имеет разумное сочетание требуемой сложности модели с допустимыми упрощениями. Слишком сложное математическое описание, учитывающее множество, возможно, второстепенных факторов и явлений, может оказаться неприемлемым из-за необходимости выполнения огромного объема вычислений при решении входящих в него уравнений. Наоборот, слишком упрощенное математическое описание может привести к принципиально неправильным выводам о свойствах объекта моделирования.

Экспертные модели

        Построение экспертной модели осуществляется с помощью методов экспертных оценок [9] - это методы организации работы со специалистами-экспертами и обработки мнений экспертов, выраженных в количественной и/или качественной форме с целью подготовки информации для принятия решений.
        Решение принимается с помощью систематического опроса специалистов, обладающих опытом практической работы, способных оценить важность вопроса, выбрать один из альтернативных путей его решения. Эти методы применяются при отсутствии необходимой информации, ограниченности времени для решения вопроса на основе формализованных методов.
        Сущность экспертных методов заключается в усреднении различными способами мнений (суждений) специалистов-экспертов по рассматриваемым вопросам. От метода проведения опроса напрямую зависит качество и объективность экспертной оценки. Основным недостатком данного метода является то, что экспертный метод полностью наследует ошибки экспертов.
        Поскольку число экспертов обычно не превышает 20-30, то формальная статистическая согласованность мнений экспертов (установленная с помощью тех или иных критериев проверки статистических гипотез) может сочетаться с реально имеющимся разделением на группы, что делает дальнейшие расчеты не имеющими смысла.

Обзор инструментальных средств

Математическая постановка задачи

        Качество полученного кокса зависит в значительной мере от подготовки углей и правильности составления угольной шихты [2]. На коксохимические заводы уголь поступает обычно со многих шахт и углеобогатительных фабрик, и специалист должен не только знать свойства и состав углей, но и умело составлять из них смесь, которая дает наилучший кокс. Составление угольных шихт для коксования (шихтование) производится эмпирически. Одно из основных требований к качеству кокса — высокая прочность при достаточной крупности.
        Основные характеристики, описывающие шихту (входные параметры модели):

• зольность (7-10%),
• сернистость (0,5-3%),
• влажность (4-10%),
• марка угля.

        Основные характеристики, описывающие кокс (выходные параметры модели):

• зольность (9-12%),
• сернистость (1,6-2%),
• влажность (2-3%),
• структурная прочность(65-85%),
• выход летучих веществ (1-2%),
• общая пористость (45-55%),
• реакционная способность (0,47-0,82 мл/(г*с)).

        Принятые марки угля: Д – длиннопламенный, Г – газовый, Ж – жирный, К – коксовый, О – отощенный, С – спекающийся и Т – тощий.
        Пусть множество представляет характеристики шихты. Требуется найти набор аппроксимирующих функций вида:

                                                             (3)

где – расчетное значение зависимой переменной, т.е. одного из показателей готового кокса;
     – факторы, показатели шихты.
        При этом задача сводится к оптимизационной задаче – минимизации квадратичной ошибки:

                                                 (4)

где – ошибка аппроксимации;
     – априорное значение выходного параметра;
     – расчетное значение выходного параметра;
     – размер выборки.
                

Таблица 1 – Ограничения на значения показателей

Выбор и обоснование метода символьной регрессии

        Метод решения задачи – метод символьной регрессии (рисунок 1) генетического программирования [15,16], который предложен вследствие своих преимуществ по сравнению с другими методами моделирования. Данный метод является эволюционным методом, т.е. он основан на процессе естественной эволюции, который развивает в процессе работы алгоритма решения, которые представляют собой математические формулы.

Рисунок 1 – Решение задачи с использованием метода символьной регрессии
(анимация: объём – 123 Кб; размер – 183х697; количество кадров - 11; задержка между кадрами - 50 мс; задержка между последним и первым кадрами - 200 мс; количество циклов повторения - бесконечное)

        Генетический алгоритм отличается от других оптимизирующих и поисковых процедур следующими особенностями [17]:
             1. работает не с параметрами, а с закодированным множеством параметров;
             2. осуществляет поиск из популяции точек, а не из единственной точки;
             3. использует целевую функцию непосредственно, а не ее приращение;
             4. использует не детерминированные, а вероятностные правила поиска решений;
             5. каждая новая популяция состоит из жизнеспособных особей (хромосом);
             6. каждая новая популяция лучше (в смысле целевой функции) предыдущей;
             7. в процессе эволюции последующая популяция зависит только от предыдущей.
        Чтобы эволюция была возможна, организмы должны отвечать 4 важнейшим свойствам:
             1. каждый индивид в популяции способен к размножению;
             2. отличия индивидов друг от друга влияют на вероятность их выживания;
             3. каждый потомок наследует черты своего родителя;
            4. ресурсы для поддержания жизнедеятельности и размножения ограничены, что порождает конкуренцию и борьбу за них.
          Все эти свойства обеспечивают операторы генетического алгоритма.
        Задачей метода символьной регрессии является нахождение такого математического выражения функциональной зависимости, которое с минимальной погрешностью аппроксимирует заданные выборкой значения.
        Для формирования особи (математического выражения) должно быть определено функциональное и терминальное множество [17,18]. Следует отметить, что предложенный метод не требует использования заранее предопределенной формы функции зависимости.
        Для данной задачи определено функциональное множество: «+,-,*,/,^(возведение в степень)»и терминальное множество: значения факторов (Х) и вещественных констант из интервала [-5,5].
        Для представления особи использована древовидная структура [17], пример которой представлен на рисунке 2.

Рисунок 2 – Древовидное кодирование особей

        Каждый узел дерева представляет собой либо терминал (переменную, константу), либо символ функции. Все операторы функционального множества требуют двух аргументов. Если в узле записан символ функции, то узел должен иметь потомков – аргументы функции, т.е. терминалы. Оконечные узлы – это всегда терминалы.
        Настраиваемые параметры алгоритма: вероятность кроссинговера, вероятность мутации, процент «элиты», количество итераций алгоритма или точность решения, размер популяции.
        В качестве фитнесс-функции (функции оценки пригодности особи) в программе будет использована:

                                           (5)

         Данная целевая функция является непрерывной и стандартизированной.
        Значение пригодности каждой особи (т.е. ее значение целевой функции) определяется как среднеквадратическая ошибка аппроксимации данной особью-формулой данных выборки.
        В начале работы алгоритма необходимо инициализировать популяцию особей. Общим для всех представлений является ограничение на размер – на глубину дерева – не более 20 уровней. Наиболее эффективное значение этого параметра будет определено экспериментально.
        Для инициализации особей будут применяться два метода [17]. Первый - метод Роста деревьев: дерево начинает строиться с корня, запись в узел производится случайным образом из множества, включающего терминальное и функциональное множество. Если выбирается функция, то процесс рекурсивно продолжается для ее потомков. Второй метод - Полный. Строится дерево аналогично методу роста, но узел выбираются только из множества функций, пока дерево не достигнет заданной глубины. Затем заполняются оконечные узлы из множества переменных и констант.
        Использование только полного метода инициализации способствует вырождению генетического материала и преждевременной сходимости [17]. Поэтому применяется комбинированный метод. Популяция делится на 2 равные части, каждой части ставится своя максимальная глубина (например, 20 и 30). Половина деревьев из каждой группы строится по методу роста, другая - по полному методу.
        Критерием завершения алгоритма является достижение заданной точности решения или выполнение заданного количества итераций эволюции.
        Для отбора особей-родителей будет использован метод линейного ранжирования [17], т.к. он применим без модификаций для задачи минимизации и не требует масштабирования для предотвращения преждевременной сходимости.
        Оператор кроссинговера для древовидного представления будет осуществляться обменом поддеревьями. Случайным образом выбираются 2 особи, а затем узел в одном дереве и в другом дереве. Для обмена поддеревьями требуется убедиться, что поддеревья взаимозаменяемы, иначе – продолжать подбор узла. Поддеревья отделяются в соответствующих узлах, и ставятся на место соответствующего поддерева в другом дереве. На рисунке 3 представлено образование потомка методом обмена поддеревьев особей-родителей.

Рисунок 3 – Выполнение оператора кроссинговера и узловой мутации

        Перед сохранением особей-потомков, полученных в результате оператора кроссинговера, необходимо проверять размер потомков, и с учетом этой проверки выполнять или отменять обмен.
        Мутация может быть узловая (1%), усекающая (1%) и растущая (3%). Растущей мутации отдается предпочтение, т.к. этот оператор обладает большими возможностями [17]. При выполнении оператора мутации также будет проверяться размер мутировавшей особи.
        Для формирования новой популяции из текущего расширенного потомками поколения применимы 2 метода. Первый – элитарная схема, заключающаяся в копировании заданного количества особей с наилучшими значениями фитнесс-функции в последующую популяцию. Второй метод – пропорциональный отбор, основанный на прямопропорциональности вероятности выбора особи и её значения фитнесс-функции.
        Принципиальная схема работы алгоритма состоит из следующих основных фаз (рисунок 4):
       

Рисунок 4 – Основные фазы процесса эволюции решений

        Программная реализация метода решения задачи будет выполнена в среде C++ Builder 6.0.

Заключение

        В магистерской работе предложено решение актуальной научной задачи – оптимизации параметров коксования углей. Для получения представления о современном состоянии разработок по теме работы был выполнен и отражен в работе научный поиск материалов. Внимание уделялось моделям и методам моделирования и оптимизации процесса коксования угля с целью его оптимизации, а также инструментальным средствам, позволяющим выполнить аппроксимацию по заданной выборке данных.
        В результате анализа собранной информации были выявлены достоинства и недостатки применяемых моделей, методов и программных средств и определено направление собственных исследований. Разработана математическая постановка задачи, выбран метод решения – метод символьной регрессии генетического программирования. Для метода решения определены параметры: кодирование решений, проблемно-ориентированные операторы кроссинговера и мутации, функция оценки пригодности потенциального решения.
        Дальнейшая работа заключается в реализации предложенного метода решения данной задачи, определении наиболее эффективных значений параметров алгоритма, проверке адекватности построенной модели, определении оптимальных значений параметров шихты для получения качественного кокса.

Литература

        1. Шубеко П.З. Непрерывный процесс коксования / П.З. Шубеко, Г.И. Еник – М.: “Металлургия”, 1974. – 224 c.
        2. Иванов Е.Б. Технология производства кокса / Е.Б. Иванов, Д.А. Мучник – «Вища школа», 1976. – 232 c. – 71-74, 105-112 c.
        3. Кауфман А.А. Теория и практика современных процессов коксования: cборник примеров и задач / А.А. Кауфман, В.Д. Глянченко, С.А. Косорогов – Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2005. – 61 c. – 11-19 c.
        4. Реакционная способность кокса и методы ее регулирования: материалы междунар. науч. конф. [«Химия, химическая технология и биотехнология на рубеже тысячелетий»], (Томск 11-16 сент. 2006 г.) – Томский гос. политех. ун-т, 2006. – 51 с. – с. 11-16с.
        5. Гребенюк А.Ф. Расчеты процессов коксового производства / А.Ф. Гребенюк, А.И Збыковский. – Донецк, 2008 – 188 с.
        6. Оптимизация качества каменноугольного пека в условиях ОАО “Авдеевский коксохимический завод”: научно-практ. конф. ["Донбасс 2020: наука и техника - производству"], (Донецк 5-6 фев. 2002 г.) – Д: Донецкий нац. тех. ун-т, 2002.
        7. Крыштановский А.О. Ограничения метода регрессионного анализа / А.О. Крыштановский // Социология – Режим доступа к журн.: http://socioline.ru/node/529.
        8. Моделирование тепловых свойств кокса: сб. трудов международ. науч. конф. [«Математические методы в технике и технологиях»] – Кострома: КГУ, 2004. - Т.1.
        9. Грешилов А.А. Математические методы построения прогнозов / А.А. Грешилов , В.А. Стакун, А.А. Стакун – Москва, 1997. – 106 с. – с. 28-29, 91-93.
     10. Dispulus : программ. продукт [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.rmltech.com/.
     11. DTREG: программ. продукт [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.dtreg.com/index.htm.
       12. Deductor 5: программ. продукт [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.basegroup.ru/.
        13. Мучник Д.А. Расчеты и прогнозирование показателей качества металлургического кокса с использованием ПК: учебное пособие / Д.А. Мучник, В.М. Гуляев – Днепродзержинск, 2007. – 225 с.
      14. AtteStat: программ. продукт [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://attestatsoft.com/download.htm.
        15. Genetic Programming: An Introduction / W. Banzhaf, P. Nordin, R. Keller, F. Francone. – San Francisco, 1998.
        16. Koza J. R. Genetic Programming: On the Programming of Computers by Means of Natural Selection / J. R. Koza. – MIT Press, Cambridge, 1992.
        17. Скобцов Ю.А. Основы эволюционных вычислений: учебное пособие для вузов/ Ю.А. Скобцов. – Донецкий нац. техн. ун-т. – Донецк: ДонНТУ, 2008.
        18. Zelinka I. Symbolic regression – an overview / I. Zelinka. – Tomas Bata University Zlin, 2002.

        Вверх