Рисунок 1 - Силы, действующие на погруженное тело.
Кукиб С.В., студент, Скорынин Н.И., кандидат технических наук, профессор
Донецкий национальный технический университет
Если твёрдое тело обтекается потоком жидкости или перемещается в пространстве, заполненном неподвижной жидкостью, то возникают гидродинамические силы взаимодействия между телом и жидкостью.
Рассмотрим свободное падение твёрдого тела массой m в неограниченном объёме покоящейся жидкости, плотность которой p значительно меньше плотности тела pТ.
Опущенное в жидкость тело под действием силы тяжести G=pТgVТ и архимедовой силы Pa=pgVТ где g – ускорение свободного падения, а VТ – объём тела, будет двигаться вниз. При появлении относительной скорости между телом и жидкостью возникает сила сопротивления:
где cx - безразмерный коэффициент, зависящий от формы тела, шероховатости поверхности, режима движения; S – площадь миделя тела (площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную вектору скорости); v – скорость тела относительно среды.
Тогда дифференциальное уравнение движения тела под действием этих сил можно записать в виде:
Если pт >> p, то слагаемым Ра можно пренебречь (например, в случае падения тела в воздухе). Рассмотрим случай, когда pт и p сравнимы.
Подставим выражения для GT, Pa и R в формулу:
После преобразований получим уравнение:
из которого найдём так называемую критическую скорость vкр, при которой тело движется относительно жидкости равномерно.
Полученная скорость также называется скоростью свободного падения или гидравлической крупностью.
Коэффициент сопротивления в большой степени зависит от режима обтекания тела, а следовательно, критерием является число Рейнольдса [2]:
где v – скорость движения тела относительно окружающей жидкости; dэ – эквивалентный по объёму диаметр шара; n, m - кинематическая и динамическая вязкости жидкости; p - плотность жидкости.
Эксперименты показали, что для большинства тел при Re<1 режим обтекания ламинарный. Так как Re пропорционально v и dэ, то ламинарный режим обтекания возможен либо при обтекании тела с малыми скоростями, либо при малых размерах самого тела (dэ<1 мм). [2]
Для этих же условий на основании исследований Стокса для тел шарообразной формы:
где r – радиус тела.
Bыразим коэффициент сопротивления cx:
Подставив значение для cx в уравнение получаем формулу критической скорости для мелких частиц:
Возникновение турбулентного режима обтекания наблюдается у тел разной формы и с различной степенью шероховатости поверхности при разных числах Рейнольдса (для большинства частиц, не имеющих определённой формы, при Re>800).
При турбулентном режиме движения скорость определяется по формуле (4), а коэффициент сопротивления cx зависит от формы и шероховатости поверхности тела. Значения cx для некоторых твердых тел приведены ниже [2]:
Шары с гладкой поверхностью – 0,38-0,44;
Шары при относительной шероховатости 0,01-0,02 - 0,62-0,66;
Кубы с гладкой поверхностью – 1,0-1,2;
Гравий окатанный – 0,8-1,3;
Уголь кусковой кубообразной формы – 1,0-1,4;
Порода кусковая кубообразной формы – 1,1-1,5.
В качестве примера найдём критическую скорость для кускового угля кубообразной формы при следующих параметрах:
pТ=1300 кг/м3
p=1300 кг/м3
a=5*10-2 м
Тогда S=a2, V=a3 . Следовательно, расчётная формула примет вид:
Принимаем коэффициент сопротивления cx=1,2 и подставляя исходные значения получаем vкр=0,5 м/с.
Если тело поместить в вертикальный поток жидкости, движущийся вверх со скоростью vкр, тело будет оставаться в покое относительно неподвижной системы координат (стенок трубы). Если поток будет двигаться вверх со скоростью, большей vкр, тело будет подниматься вверх.
На этом явлении основаны системы гидро- и пневмотранспорта. Гидро- и пневмотранспорт находит широкое применение при намыве плотин, чистке каналов, гидродобыче, пневмотранспорт - для транспортирования сыпучих материалов.