Корреляционные зависимости между некоторыми величинами при обработке втулок

Коваленко В.И.

Источник: Сборник научных трудов «Технология и автоматизация машиностроения». Киев: Техника, 1971. Вып.7., с. 39-43

В результате проведенных исследований при обработке биметаллических втулок размером d × D × L = 20 × 25 × 40 мм с толщиной бронзового слоя в стальной втулке 1 мм установлена корреляционная зависимость двоякого рода.

При обработке партии втулок инструментом, настроенным на определенный размер, найдена зависимость между внутренними диаметрами обработанных втулок и заготовок этих втулок. В случае увеличения внутренних диаметров заготовок втулок при одних и тех же условиях обработки уменьшается припуск на обработку и внутренние диаметры обработанных отверстий увеличиваются. Полученная зависимость хорошо согласуется с известным положением о копировании погрешностей заготовок на готовых деталях вследствие отжатий системы СПИД. На рисунке а в качестве примера показан график одной из таких зависимостей (где d_вт и d_заг - соответственно обозначают внутренние диаметры втулок и заготовок).

Кроме того, установлена зависимость между радиальными биениями наружной поверхности втулок относительно оси отверстия и внутренними диаметрами этих втулок. Увеличение на первой операции внутренних диаметров втулок приводит к большим радиальным биениям наружной поверхности относительно оси отверстия (см. рисунок б, где Б – радиальное биение наружной поверхности; Δd_вт - отклонение внутреннего диаметра втулки от номинального размера).

Количественно корреляционная зависимость между величинами Y и X оценивается коэффициентом корреляции r_xy, который указывает на тесноту связей между двумя случайными величинами и изменяется от -1 до +1. Пример определения корреляционной зависимости приведен в таблице. Более подробно эти вопросы изложены в специальной литературе [1, 2].

В верхней части таблицы для диаметров отверстий заготовок d_заг даны интервалы X, середины интервалов x_i и новые значения случайных величин x_i'. В левой части таблицы для диаметров отверстий d_вт приведены соответствующие значения Y, y_i и y_i'. В центре таблицы (внутри выделенного жирной линией прямоугольника) приведены эмпирические частоты, общие для величин X и Y. Эти частоты обозначены m_x'y'. Например, для значений x_i' = 0 и y_i' = 0 частота m_x'y' = 6 (это значение в таблице выделено одной звездочкой). При x_i' = 1 и y_i' = 0 частота m_x'y' = 7 (выделена двумя звездочками). Значения промежуточных величин помещены в пяти строках (1-5) нижней части и в трех графах (1’-3’) правой части таблицы. В строке 1 и графе 1’ соответственно приведены эмпирические частоты m_x' и m_y' раздельно для величин X и Y. В строках 2 и 3 даны вычисленные величины m_x' x' и m_x' (x')², а в графах 2’ и 3’ – значения m_y' y' и m_y' (y')². Промежуточные результаты вычисления величин ∑m_x' x', ∑m_y и ∑m_y' y' даны в квадратах, выделенных жирной линией. Далее используя полученные результаты, по зависимостям, приведенным в любом курсе математической статистике, вычисляются эмпирические средние значения x и y, а также эмпирические среднеквадратические значения S_x и S_y. Затем выполняются горизонтальные строки 4 и 5.

Для построения графика корреляционной зависимости необходимо вычислить условные средние X и Y:

Где y₀ - начальное значение случайной величины Y; h_y - ширина интервала при разбивке значений случайной величины Y на группы.

В качестве величины y₀ принята середина интервала y_i для значения y_i' = 0, т.е. y₀ = 29,7605 мм. Ширина интервала h_y определяется как разность любых двух соседних значений середин интервалов y_i. Например, y_i = 29,6675 мм для y_i' = -3 и y_i = 29,6365 мм для y_i' = -4. Тогда h = 29,6675 - 29,6365 = 0,031 мм.

Вычислим величину y_x, например, для x_i' = 0. При этом ∑m_x'y' y' = 14 (строка 4), m_x' = 18 (строка 1). Подставляя значение величин в формулу (1), получаем что

Коэффициент корреляции r_xy определяется по формуле

(2)

где N = ∑m_x' = ∑m_y' - число опытов; m_x'y' - частота совместного наступления событий X и Y.

При замене суммы величин горизонтальных строк 1-5 обозначением строк, и суммы величин вертикальных граф 1’-3’ их обозначением, выражение (2) значительно упрощается:

(3)

Например, по данным таблицы

Для оценки (по способу Фишера) отличия полученного значения коэффициента корреляции r_xy от нуля вычисляется ряд вспомогательных величин.

Для r_xy = 0,367 по приложению XIII к РТМ 44-62 [2] определяем значение Z = 0,3848, тогда

Для t = 3,67 по положению IV к РТМ 44-62 [2] находим величину Ф (t) = 0,49988. Вероятность того, что отклонение r_xy = 0,344 от нуля случайно,

В данном примере

За уровень значимости P_{r = 0} обычно принимают 0,05 или 0,01. В данномслучае P_{r = 0} = 0,00012 < 0,01, следовательно значение коэффициента r_xy = 0,367 нельзя считать случайным, т. е. исследуемые величины X и Y являются коррелятивными. Корреляционное уравнение между этими величинами имеет вид

Подставляя значения величин из таблицы, находим, что

или после преобразования

Заменяя величину y_x на d_вт, а x на d_заг, окончательно получаем, что

Графически вычисленные корреляционные зависимости представлены на рисунке а.

Литература

1. Кутай А.К., Кордонский X.Б. Анализ точности и контроль, качества в машиностроении с применением методов математической статистики. М.- Л., Машгиз, 1958.

2. Методика статистической обработки эмпирических данных. Руководящие технические материалы РТМ 44-62. М., Стандартгиз, 1966.