Планирование эксперимента в нестандартных областях факторного пространства

Радченко С.Г.

Источник: Вестник ХНТУ. – 2007. – №2(28). – С. 281...285: ил. 4. – Библиогр.: 10 назв.

Постановка проблемы

Многофакторные статистические модели получили значительное распространение в научных и прикладных исследованиях. Они используются при создании и совершенствовании различных сложных систем. Статистические модели особенно необходимы в тех случаях, когда возможности конструирования, производства и эксплуатации, основанные на традиционных физических принципах, исчерпаны или приводят к нецелесообразно большим затратам.

При получении статистических регрессионных моделей необходимо использовать методологию теории планирования эксперимента [1, 2]. Известные традиционные методы планирования многофакторного эксперимента предполагают формы факторных пространств в виде многомерных прямоугольного параллелепипеда (куба), сферы и симплекса. В нестандартных областях факторного пространства поиск наилучших условий получения моделей в общем виде по публикациям не известен, кроме метода регуляризации. Единичные случаи таких задач решались численными методами.

Анализ достижений и публикаций по теме исследования

Причины возникновения нестандартных областей факторного пространства следующие: 1) параметры (факторы) однородного ряда технических и технологических объектов связаны зависимостью близкой к линейной [3, с. 338], 2) обработка результатов эксперимента при условии, что уровни факторов не могут быть достаточно точно выдержаны по матрице плана эксперимента, 3) Обработка результатов пассивного (специально не организованного) эксперимента.

В нестандартных областях факторного пространства наблюдается корреляция факторов и, следовательно, их главных эффектов и взаимодействий при построении регрессионных моделей. Мультиколлинеарность эффектов (взаимная сопряженность их) затрудняет или делает невозможным устойчивое определение структуры и коэффициентов уравнения регрессии, содержательную интерпретацию причинных и структурных связей между эффектами и моделируемым откликом. При значительной мультиколлинеарности эффектов задача является некорректно поставленной и целесообразное использование уравнения регрессии теряет смысл.

Редактор русского перевода сборника статей [4] д.ф.-м.н. Н.Г. Волков считает, что «необходимы устойчивые методы и алгоритмы, обладающие ясными математическими свойствами в смысле их оптимальности» [4, с. 6].

Особенностью широко используемого при получении статистических моделей метода наименьших квадратов является его неустойчивость, «если не делать каких-то дополнительных предположений, которые трудно проверяемы» [5, с. 94]. Поэтому при решении прикладной задачи необходимо, по мнению исследователя, не только сформулировать систему необходимых предпосылок, но и методики их проверок [6]; устойчивость предпосылок и метода получения моделей к сравнительно малым нарушениям принятых условий; систему действий исследователя, если принятые предпосылки не выполняются фактически [7, с. 55...65].

Ведущий научный сотрудник механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова А.М. Шурыгин, обсуждая проблему устойчивости оценивания параметров распределения и статистических моделей, приходит к следующему выводу. «В классической статистике отсутствует понятие устойчивости решения, и этим она невыгодно отличается от других ветвей прикладной математики. Предполагается, что если решение оптимально в рассматриваемой модели, то в похожей модели оно будет близко к оптимальному. Но такое предположение не обосновано. На «неуниверсальность» оценок максимума правдоподобия указывал А.Н. Колмогоров» [8, c. 161].

Некоторые специалисты констатируют сложность и трудность решения проблемы мультиколлинеарности: «Однозначного ответа на этот вопрос нет» [9, c. 94].

Цель статьи

Обоснование методов устойчивого оценивания структуры и коэффициентов многофакторных статистических моделей для произвольных (нестандартных) форм факторного пространства с наилучшими возможными критериями качества полученных моделей.

Основная часть

Факторное пространство, соответствующее многомерному прямоугольному параллелепипеду, принимается за прообраз факторного пространства R_пр.

Используя методы планирования эксперимента, в прообразе всегда можно получить статистические модели с наилучшими характеристиками. Произвольная область факторного пространства, не соответствующая стандартной форме, принимается за образ факторного пространства R_o. Получить в нем статистические модели с наилучшими характеристиками традиционными методами не представляется возможным. Необходимо найти метод перехода от заданного плохо обусловленного факторного пространства R_o образа к хорошо обусловленному факторному пространству R_пр прообраза, в котором и необходимо решать поставленную задачу.

Впервые предложено использовать топологическое отображение прообраза факторного пространства в образ факторного пространства [7, c. 190...197]. Две системы R_пр и R_o при взаимно однозначном и взаимно непрерывном отображении будут изоморфными, т. е. равными по виду, форме. Понятие изоморфизма включает в себя как частный случай понятие гомеоморфизма. Гомеоморфные пространства топологически эквивалентны. При рассмотрении топологического отображения метрические свойства множеств X_пр (прообраз) и X_o (образ) не используются. Следовательно, отображаемые множества X_пр, X_o могут характеризоваться различными метрическими свойствами.

Сформулированы в общем виде пять методов ортогонального представления коррелированных факторов.

1) Ортогональность представления коррелированных факторов путем отображения точек прообраза – значений уровней факторов X_iипр в соответствующие им точки образа – значения уровней факторов X_iиo (1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ и ≤ N) [7, c. 195].

Функции f_iотоб и обратные функции f_iотоб^-1 должны быть непрерывны. Функции отображения f_iотоб впервые предлагается для случая линейного ограничения формы образа задавать в виде структуры полного факторного эксперимента 2^k.

Для случая криволинейного ограничения формы образа впервые предлагается использовать ограничительные линии второго порядка и криволинейные поверхности, полученные на основе структуры многофакторного эксперимента 3^k или 3^k–p.

где 1 – значение фиктивной независимой переменной x₀ ≡ 1; x₁, x₂, ..., x_k – линейные ортогональные контрасты факторов X₁, X₂, ..., X_k; z₁, z₂, ..., z_k – квадратичные ортогональные контрасты факторов X₁, X₂, ..., X_k; k – число факторов; N_П(N_Д) – общее число структурных элементов, равное соответственно 2^k, 3^k или 3^k–p; p – дробность реплики; p = 1; 2 для k = 4; 5. Предполагается, что k = 2, ..., 5.

Коэффициенты функции отображения f_iотоб определяют, используя метод наименьших квадратов.

На рис. 1, 2 и рис. 3, 4 показаны области образа и прообраза соответственно при линейных и криволинейных ограничениях образа для k = 2; 3. Однозначность функции f_iотоб^–1 была подтверждена путем анализа якобиана: в области прообраза он не равен нулю. Коэффициенты парной корреляции факторов r_ij(X_iо, X_jо) в образе отличны от нуля, а в собственных кодированных координатах образа r_ij(x_iо, x_jо) и в прообразе r_ij(X_iпр, X_jпр) равны нулю.

Рис. 1. Системы натуральных и собственных кодированных координат областей образа и прообраза при линейном ограничении образа, k = 2

Рис. 2. Области образа и прообраза при линейном ограничении образа, k = 3

Отображение точек плана эксперимента X_iuпр прообраза в точки X_iuо образа с использованием функций отображения (1) фактически представляет получение плана эксперимента в образе при условии использования в прообразе и образе собственной кодированной системы координат (рис. 3).

Хорошие свойства оценок коэффициентов статистических моделей в области прообраза и их единственность сохраняется при топологическом отображении и в области образа, что следует из доказанной проф. Т. Андерсоном леммы 3.2.3 и следствия из нее 3.2.1 [10, c. 69].

Рис. 3. Системы натуральных и собственных кодированных координат областей образа и прообраза при криволинейном ограничении образа, k = 2

Рис. 4. Области образа и прообраза при криволинейном ограничении образа, k = 3

В основу исследования и обоснования топологического отображения принята теория групп преобразований. Фигуры прообраза Ф_пр и образа Ф_о находятся в отношении эквивалентности, так как для них выполняются бинарные отношения эквивалентности: рефлексивность, симметричность, транзитивность. Гомеоморфность фигур Ф_пр и Ф_о была подтверждена проведенным вычислительным экспериментом [7, c. 295...298].

Другие методы и подходы устойчивого оценивания статистических моделей: 2) установление собственной кодированной системы координат в области прообраза и в области образа [7, c. 286...289], 3) планирование эксперимента с использованием фиктивных факторов [7, c. 328...341], 4) применение сложных функций [7, c. 341...344], 5) выбор оптимальных координат факторного пространства [7, c. 344...351].

Выводы и перспективы дальнейших исследований

1. Впервые предложен, разработан и обоснован метод гомеоморфного отображения для построения оптимальных планов экспериментов и повышения устойчивости регрессионных моделей в условиях взаимной сопряженности факторов.

2. При использовании разработанного метода устойчивого оценивания в произвольной по форме факторном пространстве образа можно планировать эксперимент и получать наилучшие возможные критерии качества статистических моделей.

В дальнейшем необходимо продолжить разработку анализа вкладов эффектов факторов X_iо по полученным статистическим моделям в области образа.