НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ РЕЗАНИЯ

Чернышев Е.А., Волосенко К.С. Донецкий национальный технический университет, г. Донецк, Украина

   Для теоретического исследования динамики системы резания при механической обработке используются различные подходы. В 2000-е гг. в работах Ю.Г. Кабалдина применение получили: принципы самоорганизации, фрактальный и вэйвлет-анализ и др. Результаты, полученные при решении математических моделей, в значительной мере зависят от тех концептуальных основ и исходных предпосылок, которые исследователь заложил в создаваемую модель, и от принятых им допущений. Речь здесь не идет об «имитационном моделировании» с использованием различных симуляторов, работающих по принципу «черного ящика», т.к. пользователь соответствующих программных средств, вводя исходные данные и получая результаты численного решения, отчужден от самой математической модели, которая зачастую ему вовсе неизвестна. В силу этого подобные инженерные программы, предназначенные для численного решения известных математически однотипных задач, не имеют теоретической ценности, характерной для аналитических моделей, созданных под конкретный физический процесс и полностью контролируемых.

   Отметим, что само понятие аналитического исследования претерпело изменения. Если раньше аналитическое исследование подразумевало точное аналитическое реше-ние уравнений (в противовес численному), то в последние десятилетия с усложнением решаемых задач, ранее недоступных в принципе, аналитический метод можно распро-странить скорее не на метод решения, а на сам метод создания математической мо-дели. В связи с этим точнее говорить об аналитическом моделировании, которое, вооб-ще говоря, не исключает и численного решения уравнений. Актуальным здесь является уже анализ результатов численного решения аналитической модели. Рассмотрим неко-торые вопросы аналитического моделирования динамики системы резания при точе-нии.

   Обычно рассматриваются две приведенные массы – инструмент и заготовка, со-вершающие малые колебания в различных направлениях. От выбора этих направлен-ий, точнее, от их количества, во многом зависит достоверность математической модели. Очевидно, что необходим учет по меньшей мере четырех степеней свободы, соответствующих тангенциальным и радиальным колебаниям приведенных масс. Что касается осевых колебаний, то, по-видимому, учесть их для заготовки довольно сложно в силу ее закрепления в приспособлении. Если же рассматривать осевые колебания совместно заготовки и шпинделя, то это существенно усложняет модель, т.к. в данном случае непонятно, что считать приведенной массой заготовки – ведь тангенциальные и радиальные колебания заготовки можно считать не зависящими от массы шпинделя, а осевые зависят. Поэтому представляется возможным пренебречь осевыми колебаниями заготовки для сохранения сравнительной простоты модели.

   Одним из важнейших свойств создаваемой математической модели является принятая зависимость силы резания – считается ли она периодической, стохастической или просто постоянной величиной. Этот вопрос решается, вообще говоря, с некоторой долей произвола, т.к. аналитической зависимости силы резания от времени не сущест-вует. Имеющиеся эмпирические формулы расчета величины силы резания характери-зуют среднее значение силы за длительный промежуток времени, а коэффициенты этих формул являются случайными величинами. Однако данные об их дисперсиях в литературе не приводятся.

   Термин «постоянная величина» применительно к силе резания употреблен здесь как «не зависящая явно от времени». Безусловно, в каждый момент времени мгновен-ная величина силы резания будет зависеть, помимо прочих физических факторов, от колебаний резца и заготовки, которые изменяют мгновенные значения скорости реза-ния и подачи. Поэтому постоянство силы резания – это абстракция, характерная для идеальной системы резания, в которой отсутствуют любые колебания.

   Очевидно, что на этой стадии создания модели делается выбор в пользу автоном-ной или неавтономной динамической системы. В принципе любая выбранная модель не является заведомо обоснованной, а определяется в значительной мере задачами моделирования. Однако, на наш взгляд, модель обязательно должна учитывать влияние малых колебаний на фактические (мгновенные) значения режимов резания и, следова-тельно, на мгновенную величину силы резания, что в литературе называется коорди-натной связью [1]. Эта связь обусловливает нелинейность динамической системы и, вообще говоря, невозможность ее точного аналитического решения. Кроме того, накла-дываются дополнительные условия, вызванные физикой процесса: режимы резания должны быть строго положительными. При неположительном значении хотя бы одного из режимов сила резания становится равной нулю, т.е. резание отсутствует. В этот момент система переходит в режим свободных затухающих колебаний, которые продолжаются до тех пор, пока все режимы не станут положительными, т.е. пока ре-зание не возобновится. Этот регулирующий механизм может быть причиной автоколебаний. Примечательно также то, что автоколебания характерны только для автономных систем, что следует учитывать при выборе неавтономной системы. Кроме того, разрывная характеристика силы резания, как уже обнаружено [2], в ряде случаев приводит к хаотическим колебаниям и появлению странных аттракторов, причем эти явления наблюдаются в широком диапазоне режимов резания.

   На этом этапе возникает вопрос о количественном критерии хаотичности. В ра-боте [2] в качестве такового принята фрактальная размерность фазовой траектории, ко-торая к тому же используется как критерий динамической устойчивости и возникнове-ния автоколебаний. Но возможно ли использовать для автономных систем отображе-ние Пуанкаре и что в таком случае принять за частоту нанесения точек? – этот вопрос также является актуальным для динамики автономной системы резания и может дополнять «фрактальный критерий» (или противоречить ему). Во всяком случае, естественно ожидать непротиворечивости двух критериев.

   Интересным является и анализ изменения силы резания, принятой изначально постоянной величиной, вследствие влияния на нее малых колебаний, который подводит к вопросу возможной стохастичности силы резания в сугубо детерминированной системе. Вопрос в такой постановке ранее не ставился.

   Особенно важной задачей является исследование динамической устойчивости системы резания (с учетом изложенных выше свойств математической модели) по Ля-пунову. В последнее время использованию аналитических методов уделяется мало внимания, хотя они – в отличие от популярных ныне инженерных программ – позво-ляют установить и обобщить качественные закономерности. К сожалению, зачастую предпочтение отдается быстроте получения численных результатов в ущерб аналити-ческим исследованиям. Теория устойчивости А.М. Ляпунова как раз может быть ис-пользована для анализа устойчивости автономной системы резания.

   Также не ставилась задача о нахождении особых точек на фазовой плоскости, об исследовании устойчивости в окрестности других особых точек, кроме подразумеваю-щегося «по умолчанию» положения равновесия (когда все независимые координаты равны нулю). Возможно, предстоит разработать сам метод решения этой задачи, уточ-нить понятие и найти в общем виде функцию потенциальной энергии применительно к системе резания. Некоторые поставленные вопросы будут рассмотрены в дальнейших работах авторов.

Список литературы:

1. Орликов М.Л. Динамика станков. К: Вища шк., 1989. – 272 с.

2. Кабалдин Ю.Г., Биленко С.В., Саблин П.А. Математическое моделирование динамической устойчивости системы резания в виде нелинейного осциллятора с раз-рывными характеристиками // Вестник машиностроения. – 2006. - №10. - С. 35 – 43.