Модель Леонтьева «Затраты-выпуск»

Подставляя технологические коэффициенты в (6.1.1), для каждой отрасли получаем балансовое соотношение

Уравнение (6.2.1), где A - постоянная технологическая матрица, - известный вектор спроса, - неизвестный вектор выпуска, называется моделью Леонтьева. Интерпретируя выражение Ax как затраты, эту систему часто называют моделью «Затраты-выпуск».

Модель Леонтьева призвана ответить на вопрос: можно ли в условиях данной технологии удовлетворить конечный спрос? Ответ на этот вопрос сводится к существованию решения системы

Определение 6.1. Модель Леонтьева называется продуктивной, если система (6.2.1) имеет неотрицательное решение , .

Перепишем систему (6.2.1) в виде . Тогда или

Напомним, что матрица называется невырожденной, если она имеет обратную матрицу , определяемую условиями . Матрица B является невырожденной в том и только в том случае, если , где - детерминант (определитель) матрицы B. Обратная матрица существует и неотрицательна, если все главные миноры матрицы B положительны (условие Хокинса-Саймона):

Для того чтобы применить эти условия существования и невырожденности к матрице , приведем ряд дополнительных построений.

Система (6.2.1) является частным случаем (при ) более общей системы

Если для всех i,j , то систему (6.2.3) можно преобразовать в (6.2.4) , положив , где - символ Кронекера. Обратно, система (6.2.4) может быть преобразована в (6.2.3) . Для этого нужно взять достаточно большое положительное число ( ) и положить . Отсюда , причем .

Следовательно, если мы найдем условия существования неотрицательного решения системы (6.2.4) , то тем самым докажем продуктивность модели Леонтьева, получаемой из (6.2.3) при .

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 6.1. Матрица D системы (6.2.4) , элементы которой удовлетворяют условиям (6.2.5) , неотрицательно обратима тогда и только тогда, когда уравнение (6.2.4) имеет неотрицательное решение (т.е. продуктивно).

(Квадратная матрица D называется неотрицательно обратимой, если она невырожденна и ее обратная матрица неотрицательна).

Теорема 6.2. Уравнение (6.2.4) продуктивно тогда и только тогда, когда матрица удовлетворяет условию Хокинса-Саймона, т.е. все главные ее миноры положительны.

Из приведенных утверждений следует, что необходимым и достаточным условием продуктивности модели Леонтьева (6.2.1) является существование неотрицательно обратимой матрицы , т.е. чтобы матрица была невырожденна ( ) и чтобы обратная матрица была неотрицательна.

Итак, если эти условия выполнены, то искомый вектор выпуска x определяется по формуле (6.2.2) . Матрица предоставляет информацию о том, каким образом вектор конечного спроса c пересчитывается в необходимый вектор валового выпуска x. Из линейности модели Леонтьева по x и c следует, что приращение вектора c и соответствующее приращение вектора x связаны между собой уравнением . Следовательно, матрица позволяет вычислить изменение валового выпуска, вызванное изменением конечного потребления. Поэтому матрицу часто называют матричным мультипликатором. Элемент матричного мультипликатора (обозначим через ) можно интерпретировать как количество продукта одного вида, необходимое для выпуска одной единицы продукции другого вида.

Известно, что матрицу можно представить в виде степенного ряда матриц:

,

Если матрица неотрицательно обратима, то ряд (6.2.6) сходится, т.е. сумма (6.2.6) конечна и равна .

Подытоживая сказанное, мы можем утверждать, что для продуктивной модели Леонтьева вектор валового выпуска x представляется матричным рядом

Важным следствием модели Леонтьева являются результаты, получаемые с применением двойственной к ней модели

Существование решения двойственного уравнения (6.2.7) относительно вектора цен связано опять с неотрицательностью всех его элементов.

Если уравнение (6.2.7) имеет неотрицательное решение , то двойственная модель Леонтьева называется прибыльной. Это свойство является двойственным к понятию продуктивности модели Леонтьева в том смысле, что выполнение одного из свойств влечет справедливость другого. Данное положение является следствием наличия тесной математической связи между взаимно двойственными уравнениями (6.2.1) и (6.2.7) . Действительно, рассмотрим "двойственные" к (6.2.3) и (6.2.4) уравнения

Теорема 6.3. Для того чтобы модель Леонтьева (6.2.1) была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы двойственная к ней модель (6.2.7) была прибыльной.

Мы здесь рассмотрели классическую (исходную) модель Леонтьева, которая описывает производство по схеме затраты-выпуск. Значимость модели Леонтьева заключается еще и в том, что она применяется для описания ряда других экономических задач, а также служит отправной точкой для различных обобщений. В качестве подтверждения этого приведем интерпретацию уравнения (6.2.1) как модели международной торговли и модификацию модели Леонтьева как оптимизационной задачи.

При трактовке уравнения (6.2.1) как модели торговли n означает число торгующих между собой стран, - национальный доход i-ой страны, - национальные расходы i -ой страны, - объем импорта из страны i в страну j , приходящийся на одну единицу национального дохода страны j. Элементу придается смысл коэффициента внутреннего потребления своей продукции i -ой страной.

И в такой интерпретации, очевидно, все элементы модели Леонтьева должны быть неотрицательными и, более того, национальный доход и национальные затраты всегда являются положительными величинами. В данном случае модель (6.2.1) дает ответ на вопрос: каковы должны быть объемы национальных доходов стран, обеспечивающие стабильный уровень национальных расходов и установившийся режим обмена товарами между странами?

Выше было замечено, что одним из существенных упрощений модели Леонтьева является отсутствие в ней первичных (невозобновляемых) факторов производства. Модель будет более близкой к реальности, если наряду с воспроизводимыми (вторичными) ресурсами, описываемыми в (6.2.1) произведением Ax, будут учтены и первичные факторы. Оказывается, такое обобщение превращает модель Леонтьева в оптимизационную задачу.

Предположим, что в модели (6.2.1) каждый товар производится с использованием продукций всех отраслей и еще m видов первичных ресурсов. Обозначим через количество k-го первичного фактора, затрачиваемого в производство x_j количества j-го товара, а через - количество k -го первичного фактора, необходимое для производства одной единицы товара вида j . Из определения этих величин следует, что, как и в случае вторичных ресурсов, имеет место выражение .

Таким образом, для каждого товара j мы имеем n+m видов представления его выпускаемого объема:

Как следует из (6.2.10) и (6.2.11) , для любых i и k

Так как уравнения (6.2.12) относятся к товарам каждой отрасли, используемым как на производственное, так и на конечное потребление, должно быть

Введем в рассмотрение матрицу

Обозначим через и векторы цен вторичных и первичных ресурсов соответственно.

Поставим следующий вопрос: при каком векторе выпуска реализация конечного продукта приведет к максимальному доходу с учетом наличного запаса первичных ресурсов? В ответ получаем следующую задачу линейного программирования:

По правилам, приведенным в §2.4 (см. (2.4.2) и (2.4.4)), напишем для (6.2.14)-(6.2.15) двойственную задачу с новой переменной :

Введем изменение масштаба цен и запишем двойственные задачи (6.2.14)-(6.2.15) и (6.2.16)-(6.2.17) в более компактном виде:

Согласно общего определения равновесия (см. §5.3), набор будет равновесным в модели Леонтьева, если выполнены соотношения

Благодаря линейности задач (6.2.18) и (6.2.19), такое равновесие существует.

В качестве упражнения читателю предлагается доказать существование равновесия (6.2.20). Указания: либо показать выполнение условий теоремы Эрроу-Дебре из §5.4; либо доказать напрямую, применяя схему доказательства теоремы Эрроу-Дебре, т.е. подведя к теореме Какутани о неподвижной точке для полунепрерывного сверху отображения множества нормированных цен

B начало