МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ РЫНОЧНЫХ ЦЕН НА БАЗЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ПАУТИНООБРАЗНОЙ МОДЕЛИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ

Моспан А.А.

Руководитель Назарова И.А.

IV Международная научно-практическая конференция молодых ученых, аспирантов, студентов «Современная информационная Украина: информатика, экономика, философия»,
Государственный университет информатики и искусственного интеллекта, 13-14 мая 2010 г.

  Кризисные явления, произошедшие в последнее время, требуют дальнейшего развития методов экономико-математического моделирования и, в частности, изучения поведения динамики рыночных цен. В данной статье рассмотрена нелинейная паутинообразная модель ценообразования, суть которой заключается в поиске равновесной цены на рынке недвижимости на основе анализа кривых спроса и предложения.

  Рассмотрим динамику цен на рынке недвижимости в сочетании с ценами на рынке земли. Предположим, что все компании-застройщики имеют единую цель и примерно одинаковый уровень доходов. Пусть цена характеризуется следующей нелинейной функцией, обратной функции спроса: P=a-b√Q, где Q – выпуск продукции.

  Имеем спрос на землю в период t – D1 , спрос на жилье в период t – D2 , и, соответственно, P1 и P2 – цены на землю и жилье. Таким образом, функции спроса можно представить в следующем виде:

D1(t) = b0 - b1*P1(t) + b2*P1(t)²,    D2(t) = c0 - c1* P2(t) + c2*P2(t)²,            (1)

  В соответствии с законом спроса, кривая спроса имеет невозрастающий характер, и характеристики в (1) должны соответствовать следующим условиям:

2b2*P1(t) - b1 < 0;     2c2*P2(t) - c1 < 0;    4b2b0 - (b1)² > 0;     4c2c0 - (c1)² > 0.            (2)

  Таким образом, рынок земли взаимосвязан с рынком жилья. Отметим, что непосредственного влияния рынок жилья не оказывает на рынок земли, но с ростом цен на землю предложение на рынке недвижимости снижается. В таком случае функции предложения земельных участков (S1) и жилья (S2) в период t могут быть следующими:

S1(t) = a0 + a1*P1(t) + a2*P1(t)²,    S2(t) = d0 + d1*P2(t) + d2*P2(t)² - d3*P1(t)            (3)

  В соответствии с законом предложения, кривая предложения имеет неубывающий характер, и зависимости в (3) должны удовлетворять условиям:

2a2*P2(t) + a1 > 0;    2d2*P2(t) + d1 > 0.            (4)

  Предложение будет иметь место в случае, если:

P1(t) > (-a1 + √(a1² - 4a2*a0))/(2a2);     P2(t) > (-d1 + √(d1² - 4d2*d0))/(2d2).            (5)

  Определим,

Z(P) = D(P) - S(P)            (6)

  где Z(P) – функция излишнего спроса, прямо пропорционально зависящая от цены, которая заполняет разницу между спросом и предложением. При низкой цене, излишний спрос существует, и, при высокой, излишний спрос тоже существует, таким образом, равновесная цена P* , которая удовлетворяет Z(P*) = 0. Подставляя (1) и (3) в (6), получим:

Z(P1(t)) = b0 - a0 - (a1 + b1)P1(t) + (b2 - a2)P1(t)²;
Z(P2(t)) = c0 - d0 - (d1 + c1)P2(t) + (c2 - d2)*P2(t)² + d3*P1(t);
t=0,1,2..             (7)

  Введем положительные параметры α1 – параметр цены на землю, который корректирует цену на жилье, контролируемую правительством посредством планов земельных участков; α2 – параметр цены на жилье.

  Сформируем динамическую модель цен на землю и жилье в виде:

P1(t) = P1*(t - 1) + α1*Z(P1(t-1));
P2(t) = P2*(t - 1) + α2*Z(P2(t-1));
t = 0,1,2…,            (8)

  Данные функции характеризуют процессы изменения цен на жилье и землю, и представляют собой двухмерное нелинейное пространство, которое может рассматриваться как дискретная динамическая система.

  Исследование модели ценообразования для рынков недвижимости и земли производилось в программном пакете E&F Chaos. Программа разработана в Центре нелинейной динамики в экономике и финансах (Center for Nonlinear Dynamics in Economics and Finance, CeNDEF) [1-2]. Изначально воспользуемся графическим анализом, который позволит наглядно изучить паутинообразный процесс (см. рис. 1). С помощью функции «Next Iteration» можно пошагово добиться определения равновесной цены (либо отклонения от нее).

Рис. 1 – «Паутинообразная» модель рынка недвижимости c заданными параметрами

  Благодаря дополнительной настройке «Iterations» можно задать произвольное количество итераций. Хаотические изменения цены во времени, или другими словами чувствительность цены, можно отобразить диаграммой «Time Series». На рис. 2 приведено изменение цены на земельные участки во времени.

Рис. 2 – Чувствительность цены на недвижимость Р1 во времени

  Программный пакет E&F Chaos позволяет создавать новые, более сложные модели, и обладает широким набором средств для проведения исследований и визуализации результатов анализа динамики ценообразования. Результаты исследований показывают, что изменение цены на землю имеет значительное влияние на рынок недвижимости, и динамика рынка меняется, в использовании «игроками» разной скорости его перестройки.

  Список литературы

1. Center for Nonlinear Dynamics in Economics and Finance. – Режим доступа: http://www1.fee.uva.nl/cendef/ CeNDEF
2. Diks C., Hommes C., Panchenko V., Roy van der Weide Art. E&F Chaos: A User Friendly Software Package for Nonlinear Economic Dynamics // Comp. econom..- 2008.- P.221-244.