Введение

В этой статье мы на примере рассмотрим один из статистических методов прогнозирования продаж. Мы будем прогнозировать прибыль, а точнее размер месячной прибыли. Совершенно аналогично можно делать прогнозы и других показателей продаж: выручка, объем продаж в натуральных единицах, количество сделок, количество новых клиентов и т.д.

Описанный в статье метод прост (относительно, конечно) и не привязан к специализированным программам. В принципе, для составления прогноза достаточно было бы бумаги, карандаша, калькулятора и линейки. Однако, это очень трудоемкий способ, поскольку в процессе возникает много рутинных вычислений. Поэтому мы будем использовать Microsoft Excel (версии 2000).

Помимо простоты у метода есть еще один важный плюс: для прогноза требуется небольшая статистика. Сделать прогноз на 2-3 месяца вперед можно, если есть статистика хотя бы за 13-14 месяцев. Ну а большая статистика дает возможность и прогноз делать на больший период.

Сбор и подготовка статистики продаж

Прогнозирование начинается, конечно, со сбора статистики продаж. Здесь нужно обращать внимание на то, чтобы все сделки были более-менее одного «масштаба», и чтобы количество сделок в месяц было достаточно большое.

Например, розничный магазин. Даже в небольшом магазине в месяц могут делаться тысячи и даже десятки тысяч покупок. Сумма каждой покупки, по сравнению с месячной выручкой, весьма мала — 0,0..01% от выручки. Это хорошая ситуация для прогнозирования.

Если прогноз делается для компании, работающей на корпоративном рынке, то нужно следить, чтобы количество сделок в месяц было хотя бы не менее 100, иначе для прогнозирования нужно применять другие методы. Также, если в статистике продаж встречаются крупные сделки, с суммой, например, около 10% от месячной выручки, то такие сделки надо исключать из статистики и рассматривать отдельно (опять же другими методами). Если крупные сделки не исключить, то они создадут в динамике «выбросы», которые могут сильно ухудшить точность прогноза.

Далее мы будем рассматривать пример со статистикой из таблицы 1. На рисунке 1 данные таблицы представлены в виде графика.

По этим данным мы будем составлять прогноз на 12 месяцев вперед.

Таблица 1. Помесячная статистика прибыли, тыс. руб. Для удобства все месяцы (периоды) пронумерованы подряд, с 1-го по 19-тый.

Период	№ Периода	Прибыль	Период	№ Периода	Прибыль
2004-7	1	839	2005-5	11	3069
2004-8	2	1714	2005-6	12	2220
2004-9	3	2318	2005-7	13	1653
2004-10	4	2629	2005-8	14	3115
2004-11	5	2823	2005-9	15	3961
2004-12	6	3320	2005-10	16	4514
2005-1	7	3316	2005-11	17	4644
2005-2	8	3479	2005-12	18	5066
2005-3	9	3388	2006-1	19	4934
2005-4	10	3263	-	-	-

Рисунок 1 - График помесячной прибыли, данные из таблицы

Существуют две основные модели временного ряда: аддитивная и мультипликативная. Формула аддитивной модели: Y_t = T_t + S_t + e_t Формула мультипликативной модели: Y_t = T_t x St + e_t Обозначения: t - время (месяц или другой период детализации); Y - значение величины; Т — тренд; S — сезонные изменения; е - шум. Разница между моделями хорошо видна на рисунке 2, где приведены два ряда, с одинаковыми трендами, один ряд — по мультипликативной модели, другой — по аддитивной.

Примечание. Могут встречаться такие показатели продаж, у которых сезонные колебания практически отсутствуют.

Рисунок 2 - Примеры рядов: слева — по аддитивной модели; справа — по мультипликативной.

В нашем примере мы будем использовать мультипликативную модель.

Для каких-либо других данных, возможно лучше подошла бы аддитивная модель. Узнать на практике, какая модель подходит лучше, можно либо интуитивно, либо методом проб и ошибок.

Выделение тренда

В формулах моделей рядов динамики (Y_t = T_t + S_t + e_t и Y_t = T_tS_t + e_t) фигурирует тренд T_t, такой тренд мы будем называть «точным».

В практических задачах выделить точный (вернее, «почти точный») тренд T_t может оказаться технически очень сложно (см. например, пункт [5] в списке литературы).

Поэтому мы будем рассматривать приближенные тренды. Самый простой способ получения приближенного тренда — сглаживание ряда методом скользящего среднего с периодом сглаживания равным максимальному периоду сезонных колебаний. Сглаживание почти полностью устранит сезонные колебания и шум.

В рядах с детализацией по месяцам сглаживание нужно делать по 12-ти точкам (то есть по 12-ти месяцам). Формула скользящего среднего с периодом сглаживания 12 месяцев:

Где M_t — значение скользящего среднего в точке t; Y_t — значение величины временного ряда в точке t.

Примечание. Очень редко, но все-же бывают динамики продаж, где длина полного период не только не равна году, но и «плавает». В таких случаях колебания, видимо, вызваны не сезонными изменениями, а какими-то другими, более мощными факторами.

Обратите внимание: поскольку мы вычисляем некоторый средний тренд за последние 12 месяцев, то в поведении приближенного тренда по сравнению с точным, происходит как бы запаздывание на 6 месяцев. Не смотря на то, что тренд, полученный методом скользящего среднего — это не точный, а приближенный (да еще и с запаздыванием), он вполне подходит для нашей задачи.

Прологарифмируем уравнение мультипликативной модели, и если шум e_t не очень большой, то получим аддитивную модель.

Здесь также обозначает шум. Тренд мы выделим (скользящим средним за 12 месяцев) именно для такой преобразованной модели. На рисунке 3 — графики и показателя и тренда M_t.

Рисунок 3 - График прологарифмированной величины показателя и тренда М_и скользящего среднего по 12-ти месяцам. Слева на одном графике и величина и тренд. Справа — тренд в увеличенном масштабе. По оси X — номера периодов.

Примечание. Если темпы динамики небольшие, скажем, 10-15% в год, то и с мультипликативной моделью можно работать как с аддитивной (не логарифмирую).

Прогноз тренда

Тренд мы получили, теперь нужно его спрогнозировать. Прогноз можно бы было получить, например, методом экспоненциального сглаживания (см. [4), но поскольку мы хотим прогнозировать максимально простым методом, то остановимся на обычной параметрической аппроксимации. В качестве функций приближения используем следующий набор:

Линейная функция: y = a + b × t.

Логарифмическая функция: y = a + b × ln(t)

Полином второй степени: y = a + b × t + c × t²

Степенная функция: y = a × t^b

Экспоненциальная функция: y = a × e^{b × t}

Хорошо бы было дополнить набор и другими функциями, но для этого возможностей Excel недостаточно, нужно использовать специализированные программы: Maple, Matlab, MathCad и т.д.

Качество приближения мы будем оценивать по величине достоверности аппроксимации R². Чем ближе эта величина к 1 — тем лучше функция приближает тренд. Это верно не всегда, но в Excel нет других критериев оценки качества аппроксимации. Впрочем, критерия R² нам будет достаточно.

На рисунках 4, 5, 6, 7 и 8и мы сделали аппроксимацию нашего тренда различными функциями и каждая функция аппроксимации продолжена на 12 точек вперед. И еще одна аппроксимация — на рисунке 9, полиномом 5-той степени.

Обратите внимание: если некоторая функция хорошо приближает тренд, то это не всегда означает, что данная функция хорошо тренд прогнозирует. В нашем примере полином 5-той степени делает самое лучшее приближение по сравнению с другими функциями (R² = 1) и, одновременно, дает самый нереальный прогноз.

По рисункам мы видим, что значение R² ближе всего к единице у параболы (полином 5-той степени уже не рассматриваем). Следующая по качеству аппроксимация — прямая линия. Хотя формально парабола аппроксимирует лучше всех, но ее поведение, особенно перевал в отдаленных точках, представляется не очень правдоподобным. Тогда можно взять аппроксимацию прямой, но мы найдем компромисс: среднее арифметическое между параболой и прямой.

Рисунок 10 - Тренд M_t и его прогноз. По оси X — номер периода.

Результат прогноза тренда M_t — на рисунке 10. Итак, мы получили прогноз тренда.

Прогноз показателя

Прогноз тренда у нас есть. Теперь можно сделать прогноз самого показателя. Формула очевидна:

Ln(Y_t+1) = 12 × M_t+1 – Ln(Y_t) – Ln(Y_t-1) – ... – Ln(Y_t-10)

Y_t+1 = exp(Ln(Y_t+1))

До периода t = 19 у нас есть фактические данные. Для t = 20..31 у нас есть спрогнозированный тренд M_t, а значения показателя мы будем считать последовательно, сначала для t = 20, потом для t = 21 и т.д.

Результаты прогноза — на рисунке 11 и в таблице 2.

Рисунок 11 - Прогноз показателя. По оси X — номер периода.

Сравнение прогноза и реальных данных

На рисунке 12 — графики прогноза и фактических данных.

В таблице 3 приведено сравнение реальных данных и спрогнозированных. Посчитаны ошибки прогноза, абсолютные: Прогноз-Факт; и относительные: 100%*(Прогноз-Факт)/Факт.

Обратите внимание, что ошибки прогноза смещены в положительную сторону. Причина этого может быть как в несовершенстве метода, так и в каких-то объективных обстоятельствах, например, в изменении ситуации на рынке в прогнозируемом периоде.

Точность прогноза

Какую точность прогноза можно считать хорошей? Это во многом зависит от исходных данных и применяемой для прогноза модели.

Таблица 2. Прогноз показателя.

Период	№ Периода	М	Ln(Y)	Y
2006-2	20	8,1861	8,6494	5707
2006-3	21	8,2205	8,5408	5119
2006-4	22	8,2531	8,4816	4825
2006-5	23	8,2839	8,3987	4441
2006-6	24	8,3129	8,0533	3144
2006-7	25	8,3401	7,7367	2291
2006-8	26	8,3655	8,3488	4225
2006-9	27	8,3891	8,5675	5258
2006-10	28	8,4109	8,6765	5864
2006-11	29	8,4309	8,6833	5904
2006-12	30	8,4491	8,7487	6303
2007-1	31	8,4655	8,7007	6007

Рисунок 12 - Фактические данные и спрогнозированные. По оси X — номер периода.

Даже если модель очень хорошо описывает динамику реальных данных, что в общем-то большая редкость, то остаются еще шумы, которые вносят свою ошибку. Например, если уровень шума составляет 10% от значения показателя, то и ошибка прогноза будет не меньше 10%. Плюс, как минимум, еще несколько процентов ошибки добавятся из-за несоответствия модели и динамики реальных данных.

А вообще, лучший способ определить точность — это многократно делать прогнозы для одного и того же процесса и на основании такого опыта определять точность эмпирически.

Заключение и список литературы

В этой статье мы рассмотрели сильно упрощенный метод прогнозирования. Тем не менее, при отсутствии резких изменений на рынке и внутри компании, даже такой простой метод дает удовлетворительную точность прогноза месяцев на 10 вперед.

Литература

1. Крамер Г. «Математические методы статистики».— М.: «Мир», 1975.

2. Кендэл М. «Временные ряды».— М.: «Финансы и статистика», 1981.

3. Андерсон Т. «Статистический анализ временных рядов».— М.: «Мир», 1976.

4. Бокс Дж., Дженкис Г. «Анализ временных рядов. Прогноз и управление».— М.: «Мир», 1976

5. Губанов В.А., Ковальджи А.К. «Выделение сезонных колебаний на основе вариационных принципов. Экономика и математические методы». 2001. т. 37. № 1. С. 91-102.