Задача формулируется как задача выбора оптимальных долей снимаемых средств, которые минимизируют дисперсию финансового результата бизнес-процесса при заданном уровне ожидаемого дохода (двойственной задачей является задача максимизации ожидаемого дохода при заданном уровне риска). Элементарный стохастический бизнес-процесс (ЭБП) — это одна операция продолжительностью , в начале которой вкладывается (расходуется) сумма , а через время возвращается большая сумма , которая не известна заранее, а является случайной величиной. Если d — коэффициент дисконтирования, — начальный уровень оборотных средств, — (стохастические) коэффициенты рентабельности, то в общем случае задача имеет вид:

        Где ER — заданное (минимальное) значение ожидаемого дохода, через [...] обозначено математическое ожидание в нулевой момент времени, причем оптимизация ведется с учетом ограничений (балансов) на движение финансовых средств:

        Первое уравнение отражает изменение оборотных средств в результате реализации бизнес-процесса в один период, второе выражает величину снимаемых на потребление средств через долю в общей сумме оборотных средств, третье выражение отражает разбиение всей суммы оборотных средств на потребление и реинвестирование.

        Здесь и далее предполагается, что случайные величины не могут принимать значения меньше –1, так что величина оборотных средств, полученных в результате реализации бизнес-процесса, всегда положительна.

        Используя формулы (4) — (6), выражение для NPV (без учета начальных вложений , которые являются аддитивной константой и не влияют на оптимизацию) можно преобразовать к следующему виду:

        Таким образом, задача оптимального управления финансовым потоком бизнес-единицы представляет собой задачу оптимального выбора долей реинвестирования , таких, что дисперсия результата от работы бизнес-единицы минимальна при заданном математическом ожидании результата.

        Сформулированная выше задача при соответствующем преобразовании переменных управления есть задача построения оптимального инвестиционного портфеля

        Введем следующие обозначения. Пусть Rі — дисконтированный доход на инвестиции в бизнес-единицу (случайная величина) за i периодов (дисконтированный коэффициент наращения бизнеса), т.е.

        Пусть также «веса», соответствующие различным Ri обозначаются через

        Тогда NPV финансового потока бизнес-единицы имеет вид (см.формулу (7), без учета начальных вложений):

        Можно показать, что при этом между наборами переменных управления существует и обратное соответствие

        для значений , удовлетворяющих

        При этом решение исходной задачи получается как преобразованное по формуле (11) решение задачи

        Заметим, что задача (13) — (15) есть задача выбора оптимального портфеля инвестиций, если под Ri (дисконтированный стохастический коэффициент наращения бизнеса) понимать «доходности активов», а под — веса этих активов в портфеле. При этом ограничение (15) соответствует частному случаю задачи выбора оптимального портфеля с запретом на «короткие позиции».

        Важнейшую роль в управлении инвестициями играет теория оптимального портфеля, связанная с проблемой выбора эффективного портфеля, максимизирующего ожидаемую доходность при некотором, приемлемом для инвестора уровне риска. Теоретико-вероятностные методы позволяют дать определения «ожидаемой доходности» и « риска» портфеля, а статистические данные — получить оценку этих характеристик.

        При построении эффективного портфеля будем считать, что инвестор избегает риска, т.е. из двух вариантов инвестирования с одинаковой ожидаемой доходностью, но различными уровнями риска он выберет тот, риск которого меньше. Если инвестор стоит перед выбором одного из эффективных портфелей, то оптимальным портфелем будет наиболее предпочтительный из них.

        Гарри Марковиц разработал математическую модель, демонстрирующую, как инвесторы могут максимально снизить риск при заданной ставке доходности. Подход Марковица начинается с предположения, что инвестор в настоящий момент времени имеет конкретную сумму денег для инвестирования. Эти деньги будут инвестированы на определенный промежуток времени, который называется периодом владения. В конце периода владения инвестор реализует произведенный продукт, полученный в результате вложения в начале периода, после чего либо использует полученный доход на потребление, либо реинвестирует доход в развитие предприятия (либо делает то и другое одновременно) [4].

        Уильям Шарп использовал результаты исследований Г. Марковица в качестве отправного пункта для дальнейших исследований, в ходе которых определил влияние модели Марковица на цены финансовых активов. Сделав допущение, что в любой момент времени цены на финансовые активы будут изменяться, чтобы обеспечить равновесие спроса и предложения каждого рискованного актива [5]. Структура активов, выведенная в теоретических построениях Шарпа, в наши дни очень широко используется в качестве основы для регулирования степени риска во многих областях теории и практики финансов. В частности при оценке эффективности инвестиций в стохастическом окружении получила широкое распространение такая мера эффективности, как отношение Шарпа (отношение ожидаемого дохода к риску).

        Усложним модель из [3] добавляя дополнительный критерий Уильяма Шарпа.

        Где R — доходность портфеля (актива); Rf — доходность от альтернативного вложения (как правило, берётся без рисковая процентная ставка); E[R — Rf] — математическое ожидание;

        Числитель представляет собой среднюю разницу доходности фонда и без рисковой ставки (равной ставке рефинансирования). Стандартное отклонение в знаменателе является мерой риска, т.е. вероятности того, что полученная инвестором доходность будет отличаться от ожидаемой. Так как мы рискуем, отдавая деньги в управление на фондовом рынке, того, чтобы просто положить их в банк, то мы ожидаем получить доходность выше простого депозита в банке, и это превышение и будет премией за риск. Чем выше отношение премии к нашему риску, тем лучше фонд, т.е. при выборе фонда предпочтительными будут те, у которых коэффициент Шарпа будет выше. Логично предположить, что такой выбор будет идеальным.

Выводы

        В работе проанализированы наиболее распространенные подходы формирования портфеля в условиях стохастического окружения. При этом наиболее качественно позволяет смоделировать инвестирование в стохастическом окружении подход Шарпа, позволяющий учитывать и регулировать степень риска финансовых вложений. Мера эффективности, выведенная Шарпом (отношение ожидаемого дохода к риску), позволяет перейти от многокритериальной задачи к задачи оптимизации одного критерия, что может найти более широкое применение на практике. Также был использован коэффициент Сортино, который позволяет оценить доходность и риск инвестиционного инструмента, портфеля или стратегии.

Список литературы

1. Крушвиц Л., Шефер Д., Шваке М. Финансирование и инвестиции. Сборник задач и решений, Питер, 2000. — 297 c.
2. Markowitz H.M. Portfolio selection, Journal of Finance, 1952, vol. 7, N1.
3. Соколов Д.Г. Бизнес-единица в стохастическом окружении: задача оптимального реинвестирования /Управление большими системами /Сборник трудов молодых ученых. Выпуск 4. Общая редакция — Д.А. Новиков. М.:ИПУ РАН, 2003. — 127 с.