Усольцев А.А. Векторное управление асинхронными двигателями: Учебное пособие по дисциплинам электромеханического цикла / Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации, Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет). — Санкт-Петербург, 2002. — 43 с., с. 12-14.

1.4. Уравнения статора и ротора в векторной форме.

Уравнения Кирхгофа для фазных напряжений статора АД имеют вид

1
2 (1.4.1)
3

При наличии нулевых составляющих к выражениям (1.4.1) следует добавить уравнение

4

Перейдем к векторной форме записи выражений (1.4.1), умножив второе уравнение на A, а третье на A2, а затем складывая все три уравнения и умножая их правую и левую части на 2/3. В результате получим

5 (1.4.2)
6

Аналогичные преобразования можно выполнить с системе координат x-y и для фаз ротора, получив при этом

7 (1.4.3)

Уравнения (1.4.2) и (1.4.3) записаны в разных системах координат. Для перевода уравнения ротора в неподвижную систему координат α-β умножим обе его части на оператор поворота на текущий угол поворота системы координат υ-ejυ и представим в производной вектор потокосцепления ротора в новой системе как 8. После преобразований, опуская индексы координатной системы, получим уравнение ротора в векторной форме в системе координат статора

9 (1.4.4)
10

где ω = dυ/dt — текущая скорость вращения ротора.

Переход к неподвижной системе координат в уравнении ротора привел к разложению слагаемого, соответствующего ЭДС индукции, на две составляющие: первая составляющая dψ2/dt связана с изменением потокосцепления во времени вследствие измерения во времени токов и называется ЭДС трансформации, по аналогии с процессами ее возбуждения в соответствующей электрической машине; вторая — ω ψ2связана с изменением потокосцепления вследствие вращения ротора и называется ЭДС вращения. Разложение ЭДС индукции на составляющие является математической операцией, связанной с преобразованием системы координат при условии инвариантности мощности и в некоторых случаях это разложение можно истолковать, исходя из физических процессов в машине.

Уравнения (1.4.2) и (1.4.4) записаны для неподвижной системы координат и их можно объединить в общую систему для решения. Кроме того, оба этих уравнения можно представить в некоторой произвольной системе координат m-n, вращающейся с произвольной угловой частотой ω(mn). Для этого с ними нужно проделать преобразования аналогичные выражениям (1.4.4), в результате которых мы получим уравнения:

11 (1.4.5)
 12,

из которых уравнения для любых других систем координат получаются подстановкой в (1.4.5) соответствующей частоты вращения ω(mn).

Выражения (1.4.5) показывают, что выбором системы координат можно упростить задачу, исключив ЭДС вращения, но только в одном из уравнений.

В дальнейшем мы будем использовать следующие индексы систем координат:
α-β — неподвижная система координат (13) ориентированная по оси фазы a обмотки статора;
x-y — система координат, вращающаяся синхронно с ротором (14) и ориентированная по оси фазы a его обмотки;
d-q — система координат, вращающаяся синхронно с потокосцеплением ротора (15) и ориентированная по его направлению;
m-n — произвольно ориентированная система координат, вращающаяся с произвольной скоростью 16.

В любой электрической машине угловая частота вращения магнитного поля статора Ω1 связана с угловой частотой вращения магнитного поля ротора Ω2 и угловой частотой вращения ротора Ω следующим соотношением — 17, где положительный знак соответствует согласному направлению вращения. Но частоты вращения полей статора и ротора определяются частотами соответствующих токов и числом пар полюсов обмоток zp, т.е. 18 и 19, где ω1 и ω2 — частоты токов статора и ротора. Отсюда

20 (1.4.6)

где 21 — угловая частота вращения ротора электрической машины с одной парой полюсов.