Согласно современным историческим сведениям, сплайны (от англ. spline – длинная узкая полоса дерева или металла; рейка) использовались судостроителями еще в XVI веке. Перед ними стояла следующая задача: через опорные точки, расположение которых известно, требуется провести непрерывную гладкую кривую. Задача решалась путем закрепления в этих точках гибкой деревянной рейки, которая, изгибаясь, принимала требуемую форму. Для разрешения проблем подобного рода методами прикладной математики применяется интерполяция [2].

Определение.  Интерполяцией называется приближенное или точное нахождение значений какой–либо величины по известным отдельным значениям этой величины или значениям других величин, связанных с данной.

Форма физического сплайна (отклонение y) определяется уравнением Эйлера [1] для момента изгиба M(x) вдоль рейки:

где E – модуль Юнга, зависящий от свойств материала рейки, I – момент инерции, определяемый формой кривой, R(x) – радиус кривизны.

            Для малых отклонений (y’ << 1) справедливо приближенное равенство

Уравнение Эйлера принимает вид

Момент изгиба между точками закрепления изменяется линейно. Подставляя M(x) = Ax+B в уравнение Эйлера, получаем:

и после двойного интегрирования

Таким образом, форма сплайна задается кубическим полиномом.

Определение. Сплайном порядка m называется функция, которая является многочленом степени m на каждом из частичных интервалов [xi-1, xi] (i = 1, 2, …, n), принимает заданные значения yi в узлах xi (i = 0, 1, 2, …, n) и имеет непрерывные производные до (m – 1)–го порядка включительно.

            Кубический сплайн имеет в узловых точках непрерывные производные до второго порядка включительно. По аналогии с физическими сплайнами обычно используется серия кубических сплайновых сегментов, причем каждый сегмент проходит через две точки.

Цель данной работы – разработка программы, строящей стереоизображение замкнутой сплайновой кривой, проходящей через заданные узловые точки с заданными радиус–векторами P0,…, Pn (см. рис. 1).

Рисунок 1 – Сплайн, проходящий через заданные точки

Векторное параметрическое уравнение сплайновой кривой на i–м частичном интервале имеет вид

            P(t) = Ai + Bi(t - ti-1) + Ci(t - ti-1)2 + Di(t - ti-1)3,                                                     (1a)

где ti-1 ≤ t ≤ ti (i = 1, …, n), n – число сплайновых сегментов

Значения параметра в узловых точках задаются следующим образом: t0 = 0, а разность ti - ti-1 (i = 1, …, n) принимается равной расстоянию между соответствующими узловыми точками.

Коэффициенты многочлена на каждом интервале определяют из условий в узлах:

– условие прохождения кривой через узловые точки:

P(ti-1) = Pi-1 = Ai;                                                                                          (1b)

– условия непрерывности первой и второй производных в узловых точках:

P’(ti - 0) = P’(ti + 0);                                                                                     (1c)

P”(ti - 0) = P”(ti + 0);                                                                                    (1d)

            – циклические концевые условия (требование замкнутости кривой):

P’(t0) = P’(tn);                                                                                               (1e)

P”(t0) = P”(tn).                                                                                               (1f)

Из (1a):                                                                                                                                

            P(ti) = Ai + Bihi + Cihi2 + Dihi3,                                                                                (2)

где hi = ti - ti-1, i = 1, …, n;

P’(t) = Bi + 2Ci(t - ti-1) + 3Di(t - ti-1)2;                                                                     (3)

P”(t) = 2Ci + 6Di(t - ti-1).                                                                                          (4)

Из (3) и (1с):

P’(ti - 0) = Bi + 2Cihi + 3Dihi2 = P’(ti + 0) = Bi+1.                                                  (5)

Из (4) и (1d):

            P”(ti - 0) = 2Ci + 6Dihi = P”(ti + 0) = 2Ci+1.                                                           (6)

Из (6): Di = (Ci+1 – Ci)/(3hi).                                                                                               (7)

Из (1b), (2) и (7):

Bi = (Pi – Pi-1)/hi – Cihi – Dihi2 =

                = (Pi – Pi-1)/hi – Cihi - hi2(Ci+1 – Ci)/(3hi) =

                = (Pi – Pi-1)/hi – hi(2Ci + Ci+1)/3.                                                                        (8)

Подставим (7) и (8) в (5):

            (Pi – Pi-1)/hi – hi(2Ci + Ci+1)/3 + 2Cih + 3hi2(Ci+1 – Ci)/(3hi) =

             = (Pi+1 – Pi)/hi+1 – hi+1(2Ci+1 + Ci+2)/3; =>

 

=>        hiCi/3 + (2hi/3 + 2hi+1/3)Ci+1 + hi+1Ci+2/3 = (Pi+1 – Pi)/hi+1 - (Pi – Pi-1)/hi.          (*)

Из (1e) и (3):

            B1 = Bn + 2Cnhn + 3Dnhn2.                                                                                     (9)

Подставим (7) и (8) в (9):

(P1 – P0)/h1 – h1(2C1 + C2)/3 = (Pn - Pn-1)/hn –

– hn(2Cn + Cn+1)/3 + 2Cnhn + 3hn2(Cn+1 – Cn)/(3hn); =>

=>       2h1C1 + h1C2 + hnCn + 2hnCn+1 = 3(P1 - P0)/h1 – 3(Pn - Pn-1)/hn.                         (**)

Из (1f) и (4):

            2C1 = 2Cn + 6Dnhn.                                                                                                (10)

Подставим (7) в (10):

            2C1 = 2Cn + 6hn(Cn+1 – Cn)/(3hn), => C1 – Cn+1 = 0.                                            (***)

            Уравнения (*), (**) и (***) образуют систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с n + 1 уравнениями и неизвестными. Из нее находятся коэффициенты Ci, затем коэффициенты Ai, Bi, Di находятся из уравнений (1b), (8), (7). Полученная СЛАУ не является системой специального вида, и к ней неприменимы специальные методы решения. В разработанной демонстрационной программе эта система уравнений решается методом Гаусса с выбором главного элемента [3].

            По уравнению (1a) после нахождения его коэффициентов можно для любого допустимого значения параметра t найти координаты соответствующей точки сплайна. Изображение сплайновой кривой строится по точкам методом линейной аппроксимации.

             Следующий шаг – создание стереоизображения. Во многих приложениях важно увеличение восприятия трехмерной глубины сцены. Бинокулярное зрение дает очень сильное восприятие глубины,  потому что система глаз-мозг смешивает в одно два различных изображения, видимых каждым глазом. Стереография пытается создать изображение с характеристиками, аналогичными настоящему бинокулярному зрению.

Один из методов создания стереоизображений называется цветовым анаглифом [1]. Суть его в том, что создаются двумя разными цветами два изображения – одно для левого и другое для правого глаза. При просмотре через соответствующие светофильтры левый глаз видит только левое изображение, а правый – только правое. Система глаз-мозг объединяет оба плоских изображений в одно трехмерное.

            На рис. 2 показана схема хода лучей при просмотре стереоизображения, а также приведены расчетные схемы и зависимости, необходимые для вычисления координат точек стереоизображения.

Рисинок 2 – Схема движения лучей

            Здесь P – точка видимого трехмерного изображения, PR и PL – точки на экране, предназначенные для наблюдения правым и левым глазами соответственно. Приведенные зависимости позволяют для каждой найденной точки P сплайновой кривой определить экранные координаты соответствующих ей точек PR и PL стереоизображения, которое, так же как и сплайн, строится методом линейной аппроксимации.

            Демонстрационная программа написана на языке C++ с использованием графической библиотеки OpenGL и предназначена для функционирования в операционной системе MS Windows XP [3]. Программа позволяет интерактивно задавать узловые точки сплайна, а также осуществлять вращение кривой для удобства просмотра.

Замечание: для наблюдения стереоизображения необходимы анаглифические очки с красным и синим светофильтрами.

Пример работы программы приведен на рис. 3.

Рисунок 3 – Результат работы программы

Кубические сплайны являются мощным и удобным средством получения гладких интерполяционных кривых. Кусочные сплайны из многочленов невысокого порядка не требуют больших вычислительных затрат и не вызывают численных отклонений, свойственных многочленам высокого порядка. Кубический сплайн удобен еще и тем, что это кривая наименьшего порядка, допускающая точки перегиба. К недостаткам кубических сплайнов можно отнести необходимость учитывать влияние направления и величины касательных векторов, а также невозможность локальной коррекции сплайновых кривых [1].

Литература

1. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики: Пер. с англ. – М.: Мир, 2001.

2. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: учебное пособие для вузов. – М.: Наука. Гл. ред. физ–мат. лит., 1989.

3. Черносвитов. А. Visual C++ 7: учебный курс. – СПб.: Питер, 2001.