ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ОЦЕНКИ РАЗМЕРНОСТИ РЕКОНСТРУКЦИИ АТТРАКТОРА

Чечурин А. В.

Московский государственный университет приборостроения и информатики

 

Источник: http://window.edu.ru/window/library/pdf2txt?p_id=44640

 

Один из способов изучения различных процессов и явлений состоит в построении и исследовании их математических моделей. Часто при изучении процессов и явлений нет возможности получить полную информацию о внутреннем устройстве изучаемого объекта. Возникают проблемы адекватного определения переменных состояния системы, представляющих собой набор величин, меняющихся во времени. Эволюции состояния во времени в общем случае могут соответствовать случайные, детерминированные процессы или их суперпозиция. Количество переменных состояния x_j, j=1,2..n (или порядок системы уравнений) определяют размерность динамической системы.

Динамическую систему (ДС) [1] можно представлять как объект любой природы (физический, химический, биологический, социальный, экономический и т. д.), состояние которого изменяется во времени в соответствии с некоторым динамическим законом, то есть как результат действия детерминированного оператора эволюции..

На практике чаще всего нет возможности измерить зависимость от времени всех координат состояния системы. Наиболее типичной является ситуация, когда доступной для измерения является только одна из характеризующих процесс величин, одна из координат состояния x_j. Зависимость величины, описывающей состояние системы, от некоторой независимой переменной, которая чаще всего является временем или пространственной координатой, называется (наблюдаемой) реализацией системы x_j(t). Ситуация, при которой единственный способ получения представления об устройстве системы состоит в изучении ее реализаций, а любая другая информация является недоступной, привела к возникновению понятия «черного ящика». Единственной информацией о таких системах является сигнал, подаваемый на вход, и сигнал, измеряемый на выходе, причем существование первого сигнала не является обязательным. Зависящая от времени реализация с некоторым шагом t, называется одномерным временным рядом x_j(it)=x_jt , j=1,2..n; i=1,..,M. Как правило, неизвестна и размерность фазового пространства системы.

Путь к решению проблемы построения фазовых портретов ДС был предложен Паккардом и др. Основная идея состоит в возможности восстановления фазового портрета методом задержки по одномерной реализации. Восстановленный портрет, отражает качественное поведение функционирующей системы, и является, по теореме Такенса, топологически эквивалентным ее аттрактору [2].

Как известно, аттрактор ДС определяется следующим образом [1].

Пусть имеется некоторая конечная (или бесконечная) область G₁, принадлежащая фазовому пространству D системы ДС с зафиксированными значениями всех параметров a, которая включает подобласть G₀. Области G₁ и G₀ удовлетворяют следующим условиям:

• для любых начальных условий x(0) (или x₀) из области G₁ при t->±бесконечности все фазовые траектории рано или поздно достигают области G₀;
• область G₀ представляет собой минимальное компактное подмножество в фазовом пространстве системы;
• если фазовая траектория принадлежит области G₀ в момент времени t=t₁(n=n₁), то она будет принадлежать 0 G всегда, т. е. для любого t>=t₁(n>n₁) фазовая траектория будет находиться в G₀.

Если эти условия выполнены, то область G₀ называется аттрактором ДС. Область G₁ называется областью, или бассейном притяжения, аттрактора G₀ .

В [3] подробно описан алгоритм реконструкции фазового пространства методом задержки/запаздывания по одномерной реализации x_ji.

Пусть существует зависимость наблюдаемой переменной от времени x_j(t) , зададим некоторый временной шаг и целое число m, и построим m-мерный вектор, компонентами которого являются значения x_j в моменты времени t, t-т, t-2т,.. t-(m-1)т:

тогда вектор x(t)  задает точку в m-мерном пространстве, которая с течением времени t перемещается по некоторой траектории. В дискретном случае:

При переборе по i получается дискретный набор точек m-мерного пространства.

Если анализируемая система находится в установившемся режиме, то получаемое при описанном построении изображение и есть реконструированный аттрактор.

Таким образом, задача реконструкции фазового пространства системы разбивается на 2 подзадачи:

1. выбор временной задержки;
2. выбор размерности реконструкции.

Существует много способов нахождения временной задержки, каждый из которых характерен для определенной задачи. Одним из традиционных является метод нахождения временной задержки как первого нуля автокорреляционной функции [4]: необходимо выбрать т, так, чтобы корреляция между x_j,i,x_j,i+т, была по возможности минимальной.

Задержка т выбирается равной времени первого пересечения нуля автокорреляционной функции. Недостатком данного метода является чувствительность к шуму.

В данной статье исследуются алгоритмы определения размерности реконструкции аттракторов ДС.

1. Метод Грассбергера-Прокаччиа [3]. Рассмотрим временной ряд, полученный в результате записи наблюдаемой переменной величины в последовательные равноотстоящие моменты времени, x_j1,x_j2..x_jV. Зададимся некоторым целым m и используем идею реконструкции аттрактора методом запаздывания в пространстве размерности m, т. е.

Рассмотрим корреляционный интеграл C(e), показывающий относительное число пар точек аттрактора, находящихся на расстоянии, не большем e:

где Q – функция Хевисайда, т.е.

– расстояние в m-мерном фазовом пространстве,

где N – число точек X_i на аттракторе.

где D₂ - корреляционная размерность аттрактора.

При увеличении е величина С(е) достигает насыщения С(е)->1 (при е , сравнимых с размером аттрактора). С другой стороны, при очень малых значениях е число пар точек X_i, X_j , расстояние между которыми не превышает е , становится малым (из-за конечности числа точек на аттракторе) и статистика становится бедной. Следовательно, на практике степенной закон выполняется только в ограниченном диапазоне значений е , который и может быть использован для определения размерности аттрактора.

Учитывая, что из (1) следует

получаем оценку размерности аттрактора как тангенс угла наклона прямой, аппроксимирующей график корреляционного интеграла С(е) в двойном логарифмическом масштабе.

Алгоритм состоит в следующем.

Делаем реконструкцию аттрактора методом запаздывания. Затем оцениваем его размерность по методу Грассбергера-Прокаччиа, т. е. вычисляем корреляционный интеграл, откладываем полученную зависимость на графике в координатах (log(е),log(С(е))) , ищем на ней наиболее линейный участок и определяем угловой коэффициент (рис.1). Описанную процедуру выполняем несколько раз, рассматривая последовательно m = 1, 2, 3, ... .

Наличие или отсутствие насыщения зависимости D₂ при увеличении m рассматривается как критерий того, генерируется ли сигнал динамической системой или же он является шумовым. Если наблюдается насыщение на некотором уровне D₂ , то эту величину D₂ принимаем в качестве оценки корреляционной размерности аттрактора динамической системы, породившей наблюдаемый сигнал. Основываясь на оценке D₂ и теореме о вложении [1], получаем, что размерность фазового пространства этой динамической системы n<=2D₂+1 . Независимую оценку этой величины (размерности вложения) дает число m, начиная с которого наступает насыщение зависимости D₂ .

2. Оценка размерности реконструкции на основе метода «ложных близких соседей» [5]. Если реконструируется траектория динамической системы, то через каждую точку должна проходить только одна траектория, т. е. удовлетворительная реконструкция не должна содержать самопересечений траектории. Cамопересечений в массиве дискретных точек X_i,j скорее всего никогда не будет, поэтому ищут так называемых «ложных близких соседей» — пары векторов, которые оказались близкими в реконструкции, но их прообразы находились далеко (рис. 2).

Пусть X_i^m и X_j^m X — два близких соседа в реконструкции размерности т, a X_i^m+1 и X_i^m+1 X соответствуют им в реконструкции размерности т+1. Если они являются истинно близкими соседями, то чаще всего будут близки в обеих реконструкциях (редкие исключения возможны из-за особенностей исследуемой динамической системы). В то же время ложные близкие соседи в реконструкции m, как правило, превращаются в отдаленных с ростом т. Пары, для которых X_i^m-X_j^m - мало, a X_i^m+1-X_j^m+1 нет, и получили название «ложных ближайших соседей» (FNN — false nearest neighbours). Если теперь увеличивать m и оценивать количество FNN, то при достижении нужной размерности, при которой достигается правильная реконструкция, это количество резко уменьшается. По уменьшению можно найти минимальное m. Недостатком данной методики является сложность оценки «близких» и «не близких» пар точек.

Недостатком данной методики является сложность оценки «близких» и «не близких» пар точек.

3. Нейросетевой подход для оценки размерности реконструкции [6]. Для получения оценки размерности аттрактора можно использовать четырехслойную автоассоциативную ИНС типа I_m,h_n,h_k,O_m где нижние индексы означают количество нейронов во входном слое I , скрытых слоях h и выходном слое O. Данная ИНС относится к категории многослойных персептронов, причем для рассматриваемой задачи принципиальным является условие m > n, то есть наличие «узкого горла», с помощью которого и осуществляется сжатие информации на предмет выделения ее существенной части. Характерный образец такой сети с одним нейроном в «узком горле» представлен на рис. 3.

Рассматриваются свойства автоассоциативной ИНС на предмет выявления того, насколько точно ее поведение соответствует поведению анализируемой динамической системы при фиксированном числе n нейронов в узком горле. Число нейронов входного (и, соответственно, выходного) слоя выбираются равными размерности вложения m . Далее постепенно увеличивают число нейронов в узком горле n=1,2... и обучают сеть, подавая на вход вектора X_k,k=1,2..M(m-1)т и фиксируя качество обучения с учетом того, что в идеале значения x на входе сети и значения y на ее выходе должны совпадать. Практически для оценки качества обучения используется показатель информативности:

Для определения оценки размерности аттрактора рассматриваются ИНС с числом нейронов в «узком горле» 2,3,4,… , и исследуется зависимость I₁ от них.

Методы 1 и 3 были опробованы на временных рядах, пораженных следующими ДС: отображение Хенона, системами Ресслера и Лоренца. Аттракторы ДС приведены на рис. 4.

Используя метод Грассбергера-Прокаччиа, были получены результаты, приведенные на рис. 5–7. На рисунках график а — корреляционный интеграла в двойном логарифмическом масштабе; график б — зависимость углового коэффициента наиболее линейных участков от размерности реконструированного аттрактора.

Используя НС для оценки размерности аттрактора, были получены результаты, показанные на рис. 8–10. На графиках изображена зависимость показателя информативности от числа нейронов в «узком горле» при различных размерностях реконструкции m )

Анализ полученных результатов показывает, что полученная по временным рядам различными способами размерность аттракторов, в основном, совпадает с размерностью исходной модели. В то же время применение нескольких методов определения размерности повышает уровень достоверности результатов.

Литература

1. Анищенко В. С. и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / Анищенко В. С. и др., Астахов В. В., Вадивасова Т. Е., Нейман А. Б., Стрелкова Г. И., Шиманский-Гайер Л. Под ред. В. С. Анищенко.— М.–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

2. Никульчев Е. В. Инвариантные геометрические методы качественной теории моделирования и управления системами с нелинейной динамикой: Дисс. .. докт. техн. наук.— М.: МГУПИ, 2006.

3. Кузнецов С. П. Динамический хаос (курс лекций).— М.: Издательство Физико- математической литературы , 2001.

4. Сычев В. В. Вычисление стохастических характеристик физиологических данных.— Пущино, 1999.

5.Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики.— М.: УРСС, 2002.

6. Бородкин А. А. Применение автоассоциативных искусственных нейронных сетей для определения параметров реконструкции аттракторов и их размерностей // Новые информационные технологии: Тезисы докладов XIII Международной студенческой школы- семинара (Крым, май 2005).— М.: МГИЭМ, 2005.