АДАПТИВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ МОРСКИХ ДРИФТЕРОВ

Источник информации: http://www.nbuv.gov.ua/portal/natural/ovp/2008_2009/opt_10/opt10-08.pdf

    Фильтрация временных рядов остается одним из актуальных приложений теории управления. Анализ связанных с этим направлением многочисленных публикаций показывает, что к настоящему времени существует большое число методов фильтрации, в том числе адаптивных, отличающихся типами оцениваемых сигналов, присутствующих помех, прогнозирующих или настраиваемых моделей, критериями и алгоритмами оценивания [1]. Однако во многих случаях получаемые оценки расходятся с действительными значениями элементов оцениваемых рядов, особенно в условиях априорной неопределенности о вероятностных распределениях возмущений. Поэтому проблема создания просто реализуемых адаптивных фильтров с удовлетворительной сходимостью к действительным значениям оцениваемых величин по-прежнему актуальна.
Целью статьи является адаптивная фильтрация временных рядов в виде результатов текущих наблюдений за местоположением морского дрифтера, моделируемых в виде динамической системы первого порядка.
В рассматриваемом случае динамика отклонений реальных значений координат (широты и долготы в градусах) морского дрифтера от средних значений (рисунок 1), как показал предварительный анализ данных, описывается уравнением авторегрессии первого порядка


    где a = –0,672, b = –0,169 (для широты), a = –0,343, b = –0,412 (для долготы), а уравнение наблюдений имеет вид

    c = 1, h = 1, шумы v(t) , w(t) распределены нормально с нулевым математическим ожиданием, дисперсии шумов конечны, но их значения неизвестны.
Ставится задача по совокупности из N последовательных наблюдений координат дрифтера y(t) найти оценки для x(t), которые обозначим . Первый индекс указывает на момент оценивания, второй – на количество используемых наблюдений. При N = t используем упрощенное обозначение вместо .

    При известных характеристиках шумов оценка состояния системы (1), (2) в момент t+1 по наблюдениям y(t),...,y(1), минимизирующая квадратичный критерий, задается рекуррентными соотношениями, составляющими оптимальный алгоритм оценивания (фильтр Калмана). При неизвестных (частично или полностью) ковариационных функциях сообщения или шумов, как в рассматриваемом случае, фильтр Калмана становится неработоспособным. В этих условиях для оценивания координат местоположения дрифтера можно воспользоваться методами адаптивной фильтрации. В отличие от традиционных фильтров адаптивные фильтры предполагают обратную связь. Входной сигнал фильтруется или взвешивается для получения сигнала, который затем сравнивается с полезным, стандартным или обучающим сигналом для определения ошибки. Ошибка, в свою очередь, используется для корректировки весовых коэффициентов фильтра с целью постепенной минимизации ошибки. Другими словами, параметры фильтра подстраиваются таким образом, чтобы обеспечить близкое к оптимальному качество оценивания. Для оценки состояния системы (1),(2) применим схему адаптивной фильтрации [2], предполагая, что x(t) характеризуется плотностью вероятности g(t), а искомая оценка – плотностью вероятности f(x;y) . Информационное расхождение Кульбака между неизвестной плотностью вероятности и его оценкой определяется соотношением [3]

    Величина (3) используется как критерий качества оценивания. Оптимальной с позиций такого критерия принимается оценка, параметры распределения которой наиболее близки к параметрам распределения истинного состояния x(t). Другими словами, оценка x'(t+1) в момент времени t+1 по результатам наблюдений до момента времени t определяется из соотношения

где x – некоторая функция, k(t) – весовой коэффициент, сообщающий минимум информационному расхождению (3).
В соответствии с критерием (3) и соотношением (4) уравнения адаптивного фильтра для нормально распределенных элементов ненаблюдаемой последовательности x(t) системы (1), (2) принимают вид:

    Здесь через обозначена априорная оценка x(t), через – апостериорная в отличие от оптимальных оценок и , получаемых с использованием фильтра Калмана. В уравнения (7), (8) вместо неизвестных дисперсий шумов входят дисперсия оценки состояния и дисперсия наблюдаемой случайной последовательности y(t).
Подстановка в выражения (7), (8) выборочных дисперсий и вместо дисперсий и , соответственно, позволяет найти выражения для коэффициента усиления фильтра

и дисперсии оценки

    Фильтр для системы (1),(2), описываемый выражениями (5), (6) и (9), (10) реализован с использованием прикладного программного обеспечения RATS (ESTIMA) [5].
Для анализируемой системы коэффициент усиления адаптивного фильтра k(t) настраивается достаточно быстро и приблизительно с 10 измерения устанавливается на уровне 0,9379 (рисунок 2) (для широты) и на уровне 0,996 (для долготы). На графиках, изображенных на рисунке 3, представлена последовательность оцененных значений координат, на рисунке 4 – последовательности ошибок оценивания. Анализ ошибок оценивания показал, что они статистически независимы и распределены по нормальному закону с нулевым средним. Результаты экспериментальных исследований приведены в таблице 1.


    Сформированный алгоритм позволяет решать задачу фильтрации в темпе поступления измерений по каналу космической связи. Результаты эксперимента демонстрируют его быструю сходимость к действительным значениям оцениваемых величин.
    Будущие исследования могут быть связаны с оцениванием случайных последовательностей с малым значением дисперсии и разработкой программного обеспечения для исследования многомерных систем большой размерности.


    Библиографический список
    1. Балакришнан А.В. Теория фильтрации Калмана / А.В. Балакришнан. — М.: Мир, 1988. — 168 с.
    2. Первухина Е.Л. Использование информационной меры в процедурах оценки дискретных стохастических систем при неизвестных ковариациях шумов / Е.Л. Первухина // Известия РАЕН. Сер. Математика, математическое моделирование, информатика и управление. — 1999. — Т. 3. — № 3. — С. 100–106.
    3. Кульбак С. Теория информации и статистика / С. Кульбак. — М.: Наука, 1967. — 408 c.
    4. Pervukhina E. Adaptive time series filters obtained by minimization of the Kullback-Leibler divergence criterion / E. Pervukhina, J.-F. Emmenegger // International Journal of Applied Mathematics. — 2005. — V. 17. — N 1. — P. 69–89.
    5. Doan T.A. RATS Software Package, User’s Manual, Version 6.0. / T.A. Doan. — Illinois: ESTIMA, 2005. — 364 p.