Сглаживание экспериментальных временных рядов

Источник информации: http://www.chuvsu.ru/~rte/uits/liter_uits/plan_exp/glav3_3.htm

    Одной из наиболее практически значимых задач является построение плавных временных зависимостей функции , если эта функция имеет случайную составляющую. Дискретную зависимость называют временным рядом или, в общем случае, дискретным случайным процессом. Общие свойства и методы описания случайных процессов мы рассмотрим в пятой главе настоящего пособия. По сравнению с экспериментальными зависимостями , которые мы считали результатом однофакторного эксперимента и рассмотрели выше, особенности экспериментальных временных рядов заключаются в следующем:
    1. На практике обычно приходится анализировать временные ряды с достаточно большим количеством отсчетов (не менее нескольких десятков).
    2. Отсчеты, как правило, производятся через равные промежутки времени (равноотстоящие узлы зависимости при )
    3. Зависимость заведомо немонотонна и, чаще всего, ограничена. Поэтому, если выбрать конечный интервал то для любого с увеличением длины временного ряда количество значений , попадающих в интервал будет увеличиваться.
    4. Приближающую функцию, аппроксимирующую временной ряд по всей его длине, как правило, невозможно описать аналитически.
    Особенности временных рядов хорошо поясняет простейший пример. Проведем однофакторный эксперимент, регистрируя значения входных и выходных параметров одновременно, в моменты времени , через равные промежутки . Тогда функциональная зависимость , описывающая результаты эксперимента, задается параметрически, через два временных ряда , .
    В теории обработки временных рядов существует множество способов их сглаживания: фильтрация с использованием преобразования Фурье, кусочная аппроксимация многочленами и др… Мы рассмотрим два простейших, но принципиально разных вида сглаживания, которые, в какой-то мере, обобщают особенности этой процедуры:
      1) метод скользящего среднего;
      2) медианное сглаживание.
    Рассмотрим две случайные зависимости, показанные на рис.1. Зависимости имеют одинаковую регулярную составляющую , а случайные составляющие зависимостей отличаются: зависимость рис.1,б кроме мелких случайных флуктуаций имеет редкие выбросы достаточно большой амплитуды.

а                                    б
Рис. 1
    Целью сглаживания является получение плавной зависимости . Метод скользящего среднего предполагает выбор окна усреднения , и для каждого рассчитывается среднее значения на этом интервале:
    Этот метод позволяет сгладить случайную составляющую зависимости, то есть избавиться от высокочастотных флуктуаций. При этом фильтрация высоких частот зависит от длины интервала усреднения .
    Если применить метод скользящего среднего к зависимости рис.1,б, имеющей значительные, но редкие выбросы, то полученная сглаженная зависимость резко отличается от . Выбросы, за счет их высокой амплитуды, сильно влияют на среднее значение, как только попадают в интервал усреднения, то есть каждый выброс искажает на интервале длиной . В случае, когда выбросы имеют редкий и случайный характер, для выделения регулярной составляющей метод скользящего среднего неприемлем.
    При наличии редких выбросов (рис.1,б) удобнее применять метод медианного сглаживания, в котором на «скользящем» интервале для получения используется не среднее значение функции, а медиана.
Рис. 2
    Пусть на интервал попало четыре значения временного ряда , и одно из значений сильно отличается от других (см. рис.2, точка 3). Построение медианы по предполагает, что медианный центр, обозначенный звездочкой, будет находиться в области точек 1, 2 и 4, так как выше и ниже его должны находиться по две точки. Таким образом, выброс в точке 3 на сглаженной зависимости будет устранен.
    Необходимо иметь в виду, что зависимости и , полученные методом скользящего среднего и методом медианного сглаживания отличаются. Их отличие возрастает при увеличении частоты возникновения аномальных выбросов. Если выбросы возникают в анализируемой временной зависимости достаточно часто, то они могут рассматриваться как неотъемлемая характеристика флуктуационной составляющей и их устранение при сглаживании искажает адекватное описание случайного ряда. Для оценки частоты выбросов могут использоваться разные критерии, например, средняя частота возникновения выбросов на выбранном временном интервале или отношение их общего количества к длине временного ряда. Кроме того, возникает вопрос: флуктуации какой амплитуды считать выбросами? Более подробно выбросы случайных процессов будут рассмотрены в пятой главе.