Физико-металлургический факультет
Кафедра промышленной теплотехники
Специальность: тепловые электрические станции
В работе будет сделан обзор литературы по разностным схемам, рассмотрены методы повышения их устойчивости и быстроты сходимости. Также будут рассмотрены задачи с нелинейными по границам условиям. В итоге работы будет представлен наиболее эффективный из методов решений нелинейных задач теплообмена.
Процессы тепломассообмена являются доминирующими во всех способах получения энергии, создания микроклимата внутри жилых и промышленных зданий (кондиционирование, вентиляция, отопление - зимой и охлаждение - летом). Эти процессы развиваются как внутри помещений, так и в ограждающих конструкциях. Стены жилых и общественных зданий, теплоэнергетических агрегатов, котлов, методических и нагревательных печей, колодцев и т.д. подвергаются воздействию окружающей среды и теряют в ней тепловую энергию.
При проектировании различных теплоэнергетических агрегатов: котлов, нагревательных и плавильных печей, тепловых двигателей, компрессоров, холодильных машин, технологического оборудования металлургической, химической и пищевой промышленности следует учитывать процессы переноса теплоты, так как они становятся определяющими при выборе конструкции. Работоспособными и экономичными будут конструкции, в которых осуществляется оптимальный тепловой режим. Прогнозировать такие режимы на натурном объекте не всегда удобно и экономически выгодно, поэтому на помощь очень часто приходит теория подобия и последующий численный эксперимент.
Многие задачи тепломассообмена, с которыми приходится сталкиваться инженеру, не поддаются аналитическому решению, и единственная возможность их теоретического анализа – получение численного решения.
Аналитическими методами можно решить лишь определённый класс дифференциальных уравнений в частных производных при постоянных коэффициентах переноса. Получение решения нелинейных уравнений в аналитической форме при зависимости коэффициентов переноса от искомой функции возможно лишь в исключительных случаях.
Особую сложность вызывает так называемая внешняя нелинейность, обусловленная, например, наличием излучения энергии на поверхностях исследуемой области. Универсальными методами нахождения приближенного решения дифференциальных уравнений, применяемыми для широкого круга задач математической физики, являются методы конечных разностей.
Область непрерывного изменения аргументов заменяется конечным, дискретным множеством точек (узлов), называемых сеткой. Вместо искомой функции непрерывных аргументов ведётся поиск функции дискретных аргументов, определяемой в узлах сетки – сеточной функции. Производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются (аппроксимируются) соответствующими разностными соотношениями, т.е. линейной комбинацией значений сеточной функции в нескольких узлах сетки. Таким образом, дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений. Краевые (начальное и граничные) условия также заменяются соответствующими разностными условиями для сеточной функции.
Совокупность правил написания разностных уравнений и краевых условий, выраженных в разностной форме, можно назвать разностной схемой, а узлы, задействованные в ней – шаблоном. Набор узлов, соответствующих фиксированному моменту времени, называют временным слоем.
Получаемое решение разностной задачи будет приближенным решением исходной задачи. Очевидно, что переход к дискретным аргументам подразумевает стремление разностной задачи к исходной при измельчении сетки. В этом случае схема должна гарантировать и сходимость получаемого решения.
Замена дифференциальной задачи разностной заранее предусматривает введение ошибки, т.е. – погрешности аппроксимации. Она характеризуется величиной невязки, получаемой при подстановке точного решения исходной задачи в разностную. Такую поверку осуществляют, например, на основе разложения точного решения в ряд Тейлора в узлах сетки. Невязку оценивают величиной показателя степени шагов сетки в отбрасываемых членах ряда. Если при этом краевые условия или источниковый член исходного уравнения аппроксимируется с иной погрешностью, то её учитывают в общей оценке точности.
До сих пор использовалось предположение, что арифметические вычисления в разностной задаче производятся точно, т.е. решение получается с любым количеством значащих цифр. Практически же они ведутся с конечным числом знаков. На каждом этапе вычислений допускаются ошибки округления, которые можно рассматривать как возмущение начальных данных для последующего этапа вычислений.
Если малые ошибки округления на промежуточных этапах вычислений при измельчении сетки приводят к искажению решения, к «расхождению», то такую схему называют неустойчивой. Поэтому схема должна гарантировать слабую зависимость получаемого решения разностной задачи от малого изменения входных данных. Если это требование выполняется, то схему называют устойчивой.