Источник: 6 – я Международная молодежная научно – техническая конференция «Современные проблемы радиотехники и телекоммуникаций» РТ – 2010 – Севастополь: 2010 г, с. 380
Аннотация: Анализ численной стабильности методов построения ортогональных базисных функций.
В процессе проектирования системы летательного аппарата (ЛА) должна быть решена задача оптимального синтеза, т.е. должен быть произведен выбор структуры и параметров системы, обеспечивающих её оптимальное качество.
Сложность математического описания ЛА, нестационарность и нелинейность процессов в ней, случайность факторов, влияющих на ЛА, обуславливают сложность задачи и не позволяют создать строго в математическом плане метода оптимального синтеза. Именно из – за невозможности получения адекватного теоретического описания приблизительно 40% всех возникающих проблем решаются с помощью экспериментальных испытаний [3]. Для увеличения эффективности летных испытаний и уменьшения материальных затрат на их проведение, необходимо обеспечить измерение наиболее информативных параметров, использование высокоточных систем измерения и оптимальную обработку полученных данных. Именно об обработке мы и будем говорить.
Процесс снятия измерительной информации неизбежно связан с такими проблемами:
Устранить указанные проблемы возможно при использовании алгоритмов сглаживания, основывающихся на различных критериях. Мы предлагаем использовать в качестве такого – метод наименьших квадратов (МНК) [4]. В качестве базиса для построения модели на основании критерия наименьших квадратов, в общем случае, используется система линейно независимых базисных функций (ЛНБФ), однако, для упрощения расчетов во множестве ЛНБФ выделяют более узкое подмножество функций, удовлетворяющих условию ортогональности. Это будут ортогональные базисные функции (ОБФ).
На данном этапе развития науки известно несколько способов построения ОБФ. В этом докладе мы смоделировали и сравнили численную стабильность трех алгоритмов построения ОБФ – классический метод Шмидта (КМШ), модифицированный метод Шмидта (ММШ) и трехчленную рекуррентную формулу (ТРФ) [1,2].
При реализации этих методов на компьютере, при повышении степени ортогональных полиномов и увеличении интервала ортогонализации, за счет ошибок округления, вводимых машиной, главный критерий ортогональности векторов перестает выполняться , что ведет к созданию не ортогонального базиса для реализации МНК, а косоугольного. Нахождение коэффициентов при ЛНБФ отличается от нахождения коэффициентов при ОБФ, что ведет к появлению дополнительных погрешностей в расчетах. А при контроле качества и разработке ЛА это недопустимо.
В результате исследования получили, что использование трехчленной рекуррентной формулы при построении ОБФ высоких степеней на длинных интервалах, имеет неоспоримое точностное преимущество перед остальными методами ортогонализации (наиболее нестабильным оказался классический метод Шмидта).