Скалярные методы конечных элементов были использованы гражданскими механиками, чтобы проанализировать материалы и структурные проблемы с 1940 года. Однако до 1960-х годов никто не знал, что FEM коды были разработаны для решения задач электромагнетизма. Некоторые из первооткрывателей в этой области были Сильвестр [1], Зинкевич [2], и Векслер [3]. Начальные ПЭМ-кодов на основе CEM моделирования были применены к проблемам электро-и магнитостатики. Позже они были использованы для решения высокочастотные проблемы в 2-х измерениях. Практические 3-мерные коды не появятся до 1980-х годов в основном из-за проблем с вектором паразитов [4, 5] и ненадежные поглощающие граничные условия [6]. Нежелательные отражения от поглощающих границ продолжает оставаться проблемой с двухполупериодным 3D FEM кодом и сегодня.

Как BEM методы, методы конечных элементов могут быть основаны на различных составах (даже метод моментов). Однако BEM методы всегда решают интегральное уравнение и FEM методы всегда решают дифференциальное уравнение. Каждый код FEM делит всю область задачи на мелкие элементы. Для 2D проблемные элементы, как правило, треугольники или прямоугольники. Для 3D-проблемные элементы, как правило, тетраэдры (4 лица) или кирпича (6 граней). Домен должен быть конечным и ограниченным. Моделирование неограниченной (например, излучение) проблемы требует предметной области и будет ограничена специальными элементами, которые поглощают всю падающую энергию. Эти элементы называют ABC (Поглощающие граничное условие) элементами.

Неизвестные в скалярном коды FEM три ортогональных компонент поля в "узлы" (вершин) каждого элемента. Неизвестные в векторном коды FEM являются компоненты поля по краям каждого элемента. Скалярные коды концептуально проще, но они не подходят для двухполупериодного моделирования, так как они чувствительны к ложным решениям, которые могут привести к значительным и непредсказуемым ошибкам в решении. Векторного МКЭ коды имеют гораздо меньше шансов проявить эти паразитные.

Для создания системы линейных уравнений, руководящий дифференциальных уравнений и связанные с ними граничные условия преобразуются в интегро-дифференциальной форме либо с помощью вариационного метода или взвешенной остаточной (момент) способом. Вариационные методы решения для искомой величины путем минимизации функционала энергии. Взвешенная, остаточная методы умножить слабая форма уравнений Максвелла на весовую функцию и проинтегрируем по каждому элементу. В конечном счете, матричного уравнения создается в форме,

где [X] является вектором неизвестных в поле, [B] есть вектор источник терминов и [A] разреженных матриц, единственное ненулевое значение соответствует позиции в матрице, соответствующим ребрам, которые имеют элемент. .

Как правило, матрицы, порожденные кодами FEM являются большие матрицы, порожденные кодами BEM применяются к аналогичным геометрии. Это потому, что гриддинга, весь объем проблемы требует большого количества элементов, чем просто гриддинга интерфейса материала. Однако FEM матрицами пользуются очень редко, но они не обязательно требуют больше памяти и вычислительных ресурсов, чтобы решить проблему, чем маленькая, но плотная матрица, порожденная кодами МГЭ.

Как указывалось ранее, моделирование неограниченной проблемы требует специальных поглощающих элементов (Азбука). Многие формулировки этих элементов были предложены ранее [6-13].Азбука, которая была разработана для 2D кодов FEM работает очень хорошо, однако 3D FEM Азбука хорошо работает только в предписанных углах падения и приводит к необходимости находить границы достаточно далеко от других структур. Гибридные FEM / BEM коды устранили открытые поверхности объема МКЭ с BEM, а значит нет необходимости использовать Азбуку [14]. К сожалению, в BEM часть полученной матрицы очень плотная, что может значительно увеличить количество вычислительных ресурсов.

Пожалуй, самая привлекательная черта метода конечных элементов является возможность конфигурации модели, которые имеют сложную геометрию и включает различные материалы. Электрические свойства каждого элемента определяются самостоятельно и элементы могут быть как малые так и большие.

В таблице 4 приведены различные сильные и слабые стороны методов конечных элементов моделирования. Обратите внимание, что возможности того или иного программного обеспечения для моделирования зависят от конкретной формулировки, матрицы и решать любые методы оптимизации работы.

Таблица 4: Сильные и слабые стороны метода конечных элементов

Литература

1. P. Silvester, "High-order finite element waveguide analysis (Program Descriptions)," IEEE Trans. on Microwave Theory and Tech., vol. 17, no. 8, pp. 651-652, Aug. 1969.
2. O. C. Zienkiewicz, A. K. Bahrani, and P. L Arlett, "Numerical solution of 3-dimensional field problems," Proc. IEE (London), vol. 115, pp. 367-369, Feb. 1968.
3. B. H. McDonald and A. Wexler, "Finite-element solution of unbounded field problems," IEEE Trans. on Microwave Theory and Tech., vol. 20, no. 12, pp. 841-847, Dec. 1972.
4. D. R. Lynch and K. D. Paulsen, "Origin of Vector Parasites in Numerical Maxwell Solutions," IEEE Trans. on Microwave Theory and Techniques, vol. 39, no. 3, pp. 383-394, Mar. 1991.
5. D. R. Lynch and K. D. Paulsen, "Elimination of Vector Parasites in Numerical Maxwell Solutions," IEEE Trans. on Microwave Theory and Techniques, vol. 39, no. 3, pp. 395-404, Mar. 1991.
6. Y. Li and Z. Cendes, "High-accuracy absorbing boundary condition," IEEE Trans. on Magnetics, vol. 31, no. 3, pp. 1524-1529, May 1995.
7. A. Bayliss, E. Turkel, "Radiation boundary conditions for wave-like equations," Communications on Pure and Applied Mathematics, vol. 33, pp. 707--725, 1980.
8. A. Bayliss, M. Gunzburger, E. Turkel, "Boundary conditions for the numerical solution of elliptic equations in exterior regions," SIAM Journal of Applied Mathematics, vol. 42, pp. 430-451, 1982.
9. T.G. Moore, J.G. Blaschak, A. Taflove, G.A. Kriegsmann, "Theory and application of radiation boundary operators," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 36, pp. 1797-1812, 1988.
10. J. Berenger, "A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves," J. Comput. Phys. 114, pp. 185-200, 1994.
11. J. M. Jin, and W. C. Chew, "Combining PML and ABC for finite element analysis of scattering problems," Micro. Opt. Tech. Lett., vol. 12, pp. 192-197, 1996.
12. Wu J-Y, Kingsland DM, Lee J-F, Lee R. , "A Comparison of anisotropic PML to Berenger's PML and its application to the finite-element method for EM scattering," IEEE Trans. on Antennas and Propagat., vol. 45, no.1, pp. 40-50, 1997.
13. R. Mittra and M. Kuzuoglu, "A review of some recent advances in perfectly-matched absorbers for mesh truncation in FEM," IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium, 1997 Digest, vol. 2, pp.1302 -1305, 1997.
14. M. Ali, T. H. Hubing, and J. Drewniak, "A hybrid FEM/MOM technique for electromagnetic scattering and radiation from dielectric objects with attached wires," IEEE Trans. on Electromag. Compat., vol. 39, no. 4, pp. 304-314, Nov. 1997.